基于层序驱动的地震多尺度弹性阻抗反演方法*

杨千里 刘志国

(1.中国地震局地球物理研究所 北京 100081； 2.中海油研究总院有限责任公司 北京 100028)

叠前反演包括AVO反演[1-3]及弹性阻抗反演。弹性阻抗反演综合了叠后反演及AVO反演的优势，具有较好的稳定性及抗噪性，保留了振幅随偏移距变化的相关信息,利用反演得到的不同入射角的弹性阻抗体可以提取纵波速度、横波速度、密度及泊松比等弹性参数，进而预测储层的空间分布及识别油气。弹性阻抗的概念被提出之后[4]受到了国内外学者的普遍关注，也开展了大量研究[5-9],目前反演方法和技术逐渐成熟，被广泛应用于实际生产。随着勘探程度的加深，隐蔽油气藏、河流相薄储层油气藏已成为重点关注方向。这些油气藏地质背景复杂，储层厚度较薄，空间分布变化大，叠前地震资料信噪比较低，有效频宽较窄，再加上反演方法本身的不适定性，反演结果受到局部极小值的严重影响，降低了弹性阻抗反演的可靠性。由于常规弹性阻抗反演结果难以识别薄储层，因此改进反演方法提高弹性阻抗反演结果的分辨率已成为地球物理工作者研究的重点。

层序地层学[10]认为，地质剖面是由一系列地质体组成的，每个地质体都是由成因上相同或相近、具有沉积上周期性和旋回性的层序体组成的。杜世通[11]提出了地震层序模型，认为地震层序由两个部分组成，即层序体[12-14]分界面的反射和层序体内部旋回性结构的地震响应。地震资料是不同尺度层序体的综合响应，并以较大级别层序体的响应为主，而低级别层序体由于受强低频信号背景影响，反射能量被压制而难以识别。小波变换[15]具有良好的时频局部化性质，高频部分有较好的时间分辨率，低频部分有较好的频率分辨率。通过小波变换将地震数据转换为时频域，可以清晰地划分不同级别的层序体，识别较低级别的层序体。吴国忱 等[16-17]分别讨论了小波变换的多分辨率特性，并利用该特性在小波相剖面中进行层序体划分，进而研究沉积地层及内部结构，为提高地震分辨率及地质解释奠定了基础。夏竹 等[18]对小波时频谱中的各种分叉结构进行归纳，依据频谱的发育特点识别较低级次的层序细节,实现了对薄储层的高精度预测。自此，利用小波变换对地震及测井资料进行高分辨率定量解释的方法已走向成熟[19-21]。

本文通过建立复合正旋回模型正演弹性阻抗及部分角度叠加的地震记录，利用正演计算的合成记录进行时频分析，验证了弹性阻抗同样存在多尺度特征，并同叠前地震资料的多尺度相空间存在对应关系。在此基础上，把层序地层学理论与叠前地震反演相结合，提出了多尺度叠前反演方法：利用小波变换的多分辨率特性划分地震层序体，明确地震资料的多尺度分布特征，之后将分角度叠加的地震数据体进行多尺度分解，以达到拓宽有效频带、提高地震资料分辨率的目的；结合贝叶斯理论建立目标函数，分别对每个层序尺度的数据体进行弹性阻抗反演。该反演过程是逐级进行的，将较大尺度的反演结果作为较小级别层序尺度的初始模型，最终得到高分辨率的弹性阻抗，进而提取弹性参数。模型测试和实际资料反演表明，该方法运算简便，反演结果的分辨率远高于常规弹性阻抗反演，适用于复杂探区薄储层的横向预测。

1 方法及实现过程

1.1 弹性阻抗的多尺度特征

根据现代地质韵律学定义，层序体也称作旋回体，其结构特征如粒度、岩性及孔隙度的变化体现了沉积过程的周期性。旋回体的地震响应称为地震旋回体，它是时频分析研究的基本单元。根据沉积物的变化特点，可将地震旋回体划分为正向旋回(水进型)、反向旋回(水退型)、正向-反向旋回(水进-水退型)、反向-正向旋回(水退-水进型)等几种基本类型。其中，正向旋回自下而上沉积物颗粒由粗到细，泥质含量由低到高；反向旋回自下而上沉积物颗粒由细到粗，泥质含量由高到低；其他的混合性旋回是二者的不同组合。地震和测井资料的时频分析可以清晰地展示其多尺度特性，并为层序旋回体的划分提供依据。

纵波阻抗及全叠加地震资料的多旋回、多尺度特性已被熟知，而综合反映地层纵波速度、横波速度及密度的弹性阻抗及分角度部分叠加的地震数据具有同样的特性。为了验证这一结论，本文利用纵波速度、横波速度、地层体积密度建立了一个多级正旋回复合模型(图1)。为了增强模型的合理性，其中的纵波速度由实际工区的钻井分析获得；依据纵波速度，由二次方程[22]计算得到横波速度；由Gardner公式计算得到体积密度。完成建模后，依据Whitcombe给出的标准化弹性阻抗方程[23]计算弹性波阻抗，即

(1)

图1 多级正旋回理论模型Fig.1 Multistage positive cycle theory model

计算得到的多角度弹性阻抗的变化规律(图2a)与层速度及密度的变化规律(图1)基本一致，具有明显的旋回性。根据计算的弹性阻抗，选用30 Hz雷克子波正演得到了角道集合成记录(图2b)。由于角道集的相似性，抽取入射角为9°时的一个合成地震记录进行时频分析(图3)。由图3可以看出：每个正旋回自下而上地层由厚到薄，频率由低到高；整个模型在时频域具有明显的多旋回、多尺度特征。合成记录是多个级别层序体的综合响应，与多尺度层序体的对应关系不如时频域清晰。时频分析结果(图3b)表明，合成地震记录可划分为3个尺度旋回体：①层序尺度的频率为16～28 Hz，对应着图3c中弹性阻抗的大尺度旋回体；②亚层序尺度的频率为28～40 Hz，对应着图3c的中尺度旋回体；③小层序尺度的频带范围为40 Hz以上，对应着图3c中小尺度旋回体薄层。由于相邻的小尺度地层反射波非同相叠加，层序信息在合成记录中能量被压制，表现为弱振幅难以分辨(图3a、c中红圈标注位置)；但小尺度层序体的分布特征被清晰地呈现在时频域剖面中，通过高分辨率处理拓展有效频宽，有效利用小尺度信息，可以提高反演结果的分辨率。理论模型测试表明，弹性阻抗同样具有多旋回、多尺度特征，这为多尺度弹性阻抗反演提供了理论依据。

图2 估算的弹性阻抗(a)和角道集(b)Fig.2 Estimated elastic impedance(a)and angle gathers(b)

图3 时频分析对比(θ=9°)Fig.3 Time-frequency analysis contrast(θ=9°)

1.2 多尺度弹性阻抗反演

在时频域尺度划分的基础上，利用小波分频技术将地震信号分解为具有中心频率的窄带剖面[24]，即尺度地震剖面，其主频与层序尺度主频相对应。利用不同尺度的Morlet小波[25]作为滤波器与叠前数据褶积，获得多尺度层序体的地震数据体。Morlet小波外形上接近地震子波，具有对称性及零相位特征，分解后地震反射同相轴不会发生畸变。Morlet小波的数学表达式为

(2)

式(2)中：t为时间；c为小波系数，控制小波的时宽和频率特征；f0为小波调频参数，控制基函数波形特征。

分频后的地震资料对应于不同尺度的地震层序体。由于地震频宽的限制，本文将地震资料分解为3个层序尺度，即大尺度、中尺度、小尺度。分频过程的数学表达式为

M×S=[Db,Dm,Ds]T

(3)

式(3)中：M为不同尺度小波构造的分解算子；S为分角度叠加地震数据；Db、Dm、Ds为分解后的大尺度、中尺度、小尺度数据体；下标b、m、s代表大尺度、中尺度、小尺度。

令ωb(t)、ωm(t)、ωs(t)为对应的大、中、小尺度的Morlet子波，矩阵M写为

M=

(4)

(5)

(6)

(7)

式(4)～(7)中：t0b、t0m、t0s为大、中、小尺度子波峰值点位置；Tb、Tm、Ts为对应大、中、小尺度子波的总长度；N为采样点个数。

随后提取不同尺度的地震子波，在贝叶斯理论框架下建立目标函数[26]，反演过程中将大尺度反演结果以模型约束的形式注入较小尺度的弹性阻抗反演中，增强了小尺度地震资料的可靠性。弹性阻抗反演流程相当于叠后反演的推广，每个部分角度叠加数据体的反演都可以看作是叠后波阻抗反演。令D=[Db,Dm,Ds]T，地震记录褶积模型为

D=GR+N

(8)

式(8)中：G=[Gb,Gm,Gs]T,Gb、Gm,Gs分别为大、中、小尺度子波对应的褶积矩阵；R=[Rb,Rm,Rs]T，Rb=[r1，r2，…，rN]T,Rm=[rN+1，rN+2，…，r2N]T,Rs=[r2N+1，r2N+2，…，r3N]T,Rb、Rm、Rs分别为大、中、小尺度反射系数，r为采样点反射系数，N为观测数据与褶积模型的残差。

假设观测噪声服从高斯分布，其似然函数可以写为

(9)

式(9)中：σn为多尺度地震数据的标准差。

假设多尺度反射系数服从柯西分布，在此条件下先验概率分布可以表示为

(10)

为了使反演结果稳定可靠，引入先验信息模型做进一步约束,这是决定多尺度弹性阻抗反演结果的关键环节，可将测井资料的低频信息当做大尺度叠前数据的约束模型。当设EI(θ)为弹性阻抗模型，令Rb(θ)为大尺度反射系数，在小反射系数条件下有

(11)

对式(11)两边积分，得到相对弹性阻抗为

(12)

式(11)～(12)中：EI(θ,t0)为初始双程旅行时t0的角度弹性阻抗值，可由模型提供;η为连续时间。

可将式(12)简化为矩阵形式ξb=LRb，其中L为积分矩阵。将大尺度反演结果作为中尺度的约束模型，将中尺度反演结果作为小尺度的约束模型，则中、小尺度的相对弹性阻抗分别表示为

(13)

将式(11)～(13)引入约束权值，写成矩阵形式为

ξ=CR+N′

(14)

其中

(15)

(16)

式(14)～(16)中：ab、am、as为常数，控制着模型约束的权重；N′为通过反射系数计算出的相对弹性阻抗与先验弹性阻抗模型的残差。

令约束模型的标准差为σei，假设N′满足高斯分布，此时的先验分布可写为

(17)

将式(17)与式(9)相乘，得到整体先验分布表达式为

P(R)=Pei(R)·

(18)

根据贝叶斯理论，反射系数后验概率可以表示为

(19)

不考虑常数项，将式(4)与式(18)代入式(19)，得到反射系数后验分布的表达式为

(20)

将式(20)两边取对数，得

(21)

忽略常数项，将式(20)进行整理，得到反演目标函数为

(D-GR)T(D-GR)+(CR-ξ)T(CR-ξ) (22)

令目标函数最小化，即对式(21)求导，令导数为0，得到反演方程为

(GTG+Q+CTC)R=GTd+CTξ

(23)

(24)

式(23)～(24)中：Q为对角矩阵；μb、μm、μs为多尺度反射系数的约束权值，权值越大反演结果越稀疏。

式(24)中的分母项加上了平方，与传统Cauchy分布推导出的Q不同，称之为修正柯西约束项[27]。这样可以更好地保护弱反射系数，提高反演的准确性。求解式(23)得到多尺度反射系数。

反演基本流程如下：

1) 设定反射系数初始向量R(0)以及阈值Tol。

2) 设定参数μb、μm、μs和ab、am、as。

3) 构建矩阵G,Q,C,ξ。

4) 在每次迭代过程中：

a) 利用共轭梯度法求解式(24)得到向量R(k)；

c) 根据求得的结果修改Q以及ξ中的ξm和ξs；

d) 输出最终反演结果。

迭代过程中，中尺度和小尺度的相对阻抗是变化的，为了使最终的反演结果趋于稳定，迭代次数k不能太小，一般10次左右即可得到不错的效果。通过多尺度反演求得反射系数之后，通过道积分可以得到各个尺度的弹性阻抗,即

(25)

在反演迭代过程中，较大层序尺度的信息以趋势约束的形式注入到较小的层序尺度反演中。小尺度反演结果EIs在突出小层序信息的同时，也融合了大、中尺度的弹性阻抗(EIs、EIm)的信息;小尺度反演弹性阻抗为最终结果。与多尺度联合反演[28-29]不同，本文方法具有明显的针对性。大尺度地震数据比较平缓，信噪比较高，反演结果准确，将其作为先验信息约束较小尺度的反演，在一定程度上避免了局部极小点对反演的影响；反演过程可以看作是通过不断收缩目标函数尺度，逼近全局极小点来实现的。因此，本文方法与早期的多尺度逐级寻优思想相似[30-31]，从理论上讲较常规反演具有更高的分辨率和准确性。

2 理论模型测试

为了验证本文方法的有效性，选取入射角为9°、18°和27°的弹性阻抗数据进行多尺度反演测试。以入射角为9°的合成记录为例，根据前文的时频分析结果，选取3个中心频带与3个层序尺度对应一致的Morlet小波作为滤波器与地震数据进行褶积。由图4所示的多尺度分频结果可以看出：大尺度分频结果强轴在每个旋回体的下部，对应大套层序体；中尺度地震数据强轴偏上，对应较薄层的位置；小尺度地震数据强轴位于旋回体顶部，对应旋回体顶部薄层。小波分频结果有效避免了带通滤波存在的正弦调谐现象，基本上体现了原信号不同频率范围的信息，小尺度地震信号分辨率较原始合成记录有显著提升。

利用分频的数据体进行多尺度弹性阻抗反演。如图5所示，以入射角为9°的弹性阻抗反演为例，将多尺度反演结果与常规反演进行对比，可以看出：大尺度反演结果精确展示了模型的大层序；中尺度在大尺度基础上增加了较低级别的层序体；小尺度反演结果与实际模型吻合良好，薄层被清晰地反演出来了。可见，常规反演结果无论从分辨率还是精准程度上都逊色于多尺度反演。

图4 多尺度层序体及弹性阻抗(θ=9°)Fig.4 Multi scale sequence body and elastic impedance(θ=9°)

图5 常规反演与多尺度反演弹性阻抗结果对比(θ=9°)Fig.5 Comparision of elastic impedance of conventional and multi scale inversion(θ=9°)

按照相同的方法反演得到3个角度的弹性阻抗，随后提取各种弹性参数，可以看出：多尺度反演能够有效识别旋回体顶部的薄层，获得的纵、横波速度无论是分辨率还是准确性均优于常规反演结果，即便是不稳定的密度项，也能得到可靠的结果(图6)。模型测试表明，不同尺度的弹性阻抗逐级反演具有明显的针对性，突出了敏感频段的地震信息，提高了反演结果的分辨率及准确性，其效果优于常规弹性阻抗反演。

图6 常规反演与多尺度反演提取的弹性参数对比Fig.6 Comparision of elastic parameters extracted by conventional inversion and multi-scale inversion

3 实际应用效果分析

在模型测试的基础上，将本文方法用于实际地震资料反演。分角度叠加数据体来自西非陆上X工区。该工区叠前数据体主频为20 Hz左右，并存在多次波干扰、信噪比及分辨率较低等不利因素；目的层以A、B两层砂岩为主，平均厚度为30 m，而物性较好的砂岩厚度大多小于10 m，常规反演分辨率有限，难以对目标储层进行有效预测。以近道叠加的地震资料为例，过已钻井地震测线的2个地震道时频分析结果清楚地反映了近道叠加地震数据的时频特征(图7)。

根据时频分析，将地震数据划分为3个尺度：大尺度频率为5～15 Hz；中尺度频带为15～30 Hz，虽然能量有所减弱，但仍然在地震数据主频范围；小层序尺度在30 Hz以上，主要反映小层序沉积组合。选用对应主频为15、25、35 Hz的Morlet小波基，对叠前地震数据体进行多尺度分解。由近道多尺度地震剖面可以看出，小尺度地震资料的信噪比和分辨率明显得到提升，高频信息来自于实际地层，真实可靠(图8)。

通过常规叠前反演、多尺度叠前反演得到相应的3个不同偏移距的弹性阻抗,可以看出多尺度叠前反演结果比常规反演结果具有更高的分辨率(图9)。利用弹性阻抗数据体提取纵波速度、横波速度，泊松比等弹性参数，进行储层预测及流体性质识别。与叠前常规反演相比，多尺度反演的纵波速度和横波速度分辨率明显提高(图10)。M2井的纵横波交会图(图11)表明砂岩为高纵波速度、高横波速度，其中砂岩横波速度基本大于2 500 m/s，据此可识别砂岩储层(图12)。由图12可以看出，常规反演的横波速度不能有效识别薄层砂岩，而多尺度反演的横波速度能够有效识别A、B两个砂层。井旁道对比(图13)表明，多尺度反演可以更细致地描绘出小尺度层序体，与井曲线吻合度更高，进一步验证了本文方法的有效性。

图7 西非陆上X工区近道叠加地震数据时频分析结果Fig.7 Time-frequency analysis results near offset stack seismic data in X area,West Africa

图8 西非陆上X工区近道多尺度地震剖面Fig.8 Multi-scale seismic profiles near offset stack in X area,West Africa

图9 西非陆上X工区叠前常规反演与多尺度反演的弹性阻抗剖面对比Fig.9 Comparision of elastic impedance profiles of conventional and multi scale prestack inversion in X area,West Afirica

图10 西非陆上X工区叠前常规反演与多尺度反演速度剖面对比Fig.10 Comparision of velocity profiles of conventional prestack inversion and multi-scale inversion in X area,West Africa

图11 西非陆上X工区M2井纵横波速度交会图Fig.11 Crossplot of P-wave and S-wave velocity in Well M2 in X area，West Africa

图12 西非陆上X工区过M2井地震测线常规反演与多尺度反演横波速度剖面对比Fig.12 Comparision of S-wave velocity profiles of conventional inversion and multi-scale inversion of a seismic line cross Well M2 in X area,West Africa

图13 西非X工区M2井旁道常规与多尺度反演横波速度剖面对比Fig.13 Comparision of S-wave velocity profiles of conventional inversion and multi scale inversion of Well M2 up-hole trace in X area,West Africa

4 结论

1)将弹性阻抗反演技术与层序地层学理论相结合，提出了多尺度弹性阻抗反演方法：利用地震资料的多尺度空间与沉积层序体的对应关系，通过小波分频技术将地震资料分解为多个层序尺度，兼顾了中低频信息，扩展了相对低频和相对高频，在提高地震资料分辨率的同时也避免了高频假象，为后续的反演提供了可靠依据；在贝叶斯理论框架下建立目标函数，利用多尺度逐级寻优特性进行弹性阻抗反演，大尺度地震数据较平缓，反演结果准确，将其作为先验信息约束较小尺度反演，在一定程度上避免了之后的反演受局部极小点所困扰，通过不断收缩目标函数尺度，逼近全局极小点实现整个反演，理论上比常规反演有更高的准确性。

2)模型测试结果及实际地震资料的多尺度弹性阻抗反演结果表明，本文方法在抗噪性及反演稳定性方面远好于常规稀疏脉冲反演，能够有效识别旋回体小层序尺度薄层，对薄储层的识别效果有实质性提升。

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