对一道试题的探究

童官丰

摘 要 数学老师经常会碰到很多优秀的试题，有些试题看似简单易答，但都是精心设计过的，如果深入思考会发现内涵丰富。如果我们能够充分挖掘试题的价值，对提升我们的课堂效果，提升学生的思维是非常有帮助的。

关键词 原题；多种解法；反思

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）01-0198-01

下面是笔者对一道优秀试题的探究过程，写出来与同行分享。

原题呈现：

如图（1），CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AE⊥BC，垂足为E。求∠C的大小。

分析：这是一道考查圆的基本性质的基础题，适合学习了圆的基本性质后的阶段性巩固复习。经过深入分析，笔者发现拥有多种解法。

解法一：利用三角形全等和垂径定理求解。

如图（1）易得△AOF≌△COE，所以AF=CE，由垂径定理可知BC=AB=2BD，所以∠C=30°。

解法二：利用垂径定理和圆周角定理求解。

如圖（1）由垂径定理可知 ∠AOD=2∠C，

∠COE=2∠C，所以∠C=30°。

解法三：利用圆心角定理和方程思想求解。根据题意可以列出两种不同的方程来解。

（ⅰ）如图（1）由圆心角定理可知∠AOC=2∠B，设∠C=x，∠B=90°-x，所以∠AOC=180°-2x，∠AOC=90°+x.所以180°-2x=90°+x，所以∠C=30°.

（ⅱ）如图（1）由圆心角定理可知∠AOC=2∠B，设∠B=y，∠AOC=2y，所以∠EOF=2y，所以y+2y=180°，所以∠B=60°，

所以∠C=30°。

解法四：利用圆的轴对称性求解。

如图（2）连接AC，由圆的轴对称可知AC=BC，AC=AB所以AC=AB=BC，所以△ABC是等边三角形，所以∠B=60°，所以∠C=30°。

解法五：利用全等三角形和方程思想求解。

如图（3）连接OB， 易得△AOF≌△COE，

设∠A=∠C=∠ABO=∠CBO=x，所以∠ABC=2x，

得到3x=90°，所以∠C=30°.

解法六：利用垂径定理和直角三角形斜边

上的中线性质。

如图（4）连接EF，由垂径定理可知EF既是RT△ABE斜边上的中线也是RT△CBF斜边上的中线，所以EF=BF=BE，所以△BEF是等边三角形，所以∠B=60°，所以∠C=30°。

解法七：利用垂径定理和三角形重心性质。

如图（2）连接AC，由垂径定理可知E，F分别为BC，AB中点，所以O为△ABC的重心。所以CO=AO=2OE，所以∠C=30°。

反思：

纵观得到的这些解法，解法一、二、三、四几乎涵盖了圆的基本性质这一章的所有内容，用这一题就起到了全章复习的作用，效率倍增。解法六，七构思巧妙，令人眼前一亮。通过对这个问题的深入思考，笔者明显感受到优秀的试题本身就是一个宝藏，它蕴含着诸多特点和性质，作为老师要善于利用，充分挖掘题目的内涵进行分析和研究，在课堂上抽丝剥茧，一点点展示出题目的魅力，引导学生产生思维的火花，想出更加精彩的解法。