圆柱型功能梯度双材料界面裂纹问题研究

王 慧，张雪霞，赵文彬，赵志耀

(太原科技大学应用科学学院，太原 030024)

功能梯度材料(Functionally Graded Materials)，是依据不同的用途，通过前沿的材料复合技术将不同性能的材料复合，使其组成和结构呈连续性梯度变化的一种新型复合材料。这种材料在很多领域都被广泛应用，圆柱型复合材料作为一类典型的工程结构，被广泛应用于不同的领域。在这种复合材料中，界面对于传输载荷来说很重要，但同时亦易于损坏。最严重的界面损坏就是脱离或者开裂，这种损坏可能会导致材料机械性能急剧下降，甚至导致材料结构发生突发性破坏。因此，为了提高机械性能，圆柱型复合材料有时被设计为功能梯度结构，其具有沿着某一方向连续变化的材料特性。随着功能梯度材料在实践中的应用，圆柱型功能梯度材料已经吸引了许多人的关注。Li和Zou[1]运用改进的有限元方法，对圆柱型功能梯度材料内外层之间的弧形裂纹的断裂问题进行了分析。嵇醒[2]等对圆柱型界面裂纹进行了探讨,得出了对于不存在裂纹尖端接触区的圆柱型界面裂纹,裂纹尖端附近应力具有与平面界面裂纹情形相同的振荡奇异性,如果裂纹尖端存在接触区,裂纹尖端附近应力不存在振荡奇异性,而是通常的1/2奇异。Pan[3]等推导出关于各向同性材料与功能梯度材料组成的圆柱型结构在静态应变条件下一个简单的平面应变的解。张雪霞[4]，李俊林[5]等对正交异性双材料Ⅱ型混合界面裂纹附近相关力学情况进行了分析，通过对相关应力函数的构造，推出了双材料Ⅱ型界面裂纹尖端受面内载荷作用下的位移场、应力场的理论公式，并对振荡奇异性进行了说明。仲政[6]等对一种特殊分布的功能梯度材料进行了研究，表明材料梯度分布不同，圆柱型结构中应力和位移沿半径方向有不同的变化规律，有的情况下规律完全不同。Yan和Gao[7]等用等参有限元方法对功能梯度压电超导圆柱体的外部环形裂纹问题进行了分析，超导圆柱体由铋和银复合而成。通过定义裂纹参数范围来反映磁感应强度和电流密度对裂纹的影响，获得磁场不通过裂纹表面的条件和裂纹外部广义临界状态模型，并得到分析零场冷却和场冷却活化过程的超导圆柱体的磁通密度分布。时朋朋[8-9]等人对功能梯度材料弱间断界面的反平面裂纹问题以及压电压磁功能梯度双材料的周期界面裂纹问题都进行了分析。Li和Lee[10-11]使用分离变量和积分方程的方法，研究了外层覆盖功能梯度材料的实心圆柱，并且对在径向载荷作用下的混合型界面裂纹问题进行了分析，将该圆柱型功能梯度材料结构设计的结果进行了优化。Xian-Fang Li[12]等对双材料在剪切力加载到环形界面裂纹表面时的应力强度因子以及尖端场问题进行了分析。根据裂纹的轴对称问题得到了混合边界条件，求解出一组没有振荡奇性的封闭解。

近年来，研究复合双材料界面裂纹问题的文献很多，但对于圆柱型功能梯度双材料界面裂纹问题的研究较少，仍有许多问题需要做进一步研究。本文研究受轴向剪切力作用的圆柱型功能梯度双材料界面裂纹尖端场问题。针对内外两层为功能梯度材料的圆柱型复合材料的弧形界面裂纹问题，建立力学模型。运用分离变量的方法，借助边界条件和待定系数法，推导出圆柱型复合材料界面裂纹尖端附近的应力以及位移的表达式。

1 基本问题

图1为分层的圆柱型复合材料的横截面。该复合材料内外两层为同心的非均匀圆柱，内层功能梯度材料半径为r1，外层功能梯度材料半径为r2.在两层材料粘合处上有一条张开角度为2α的弧形裂纹，将圆柱型结构横截面的圆心o作为原点，x轴型裂纹张开角度为2α，并且整个圆柱型结构关于x轴对称。

图1 含弧形界面裂纹的圆柱型复合材料

Fig.1 A cylindrical composite with an arc-shaped interface crack

经过裂纹中心且垂直于裂纹面，y轴与x轴垂直，分别建立直角坐标系和对应的极坐标系，则圆弧假设圆柱型复合材料内外两层分别为功能梯度材料，则在轴向剪切力作用下，其切应力与轴向位移的关系可分别表示为：

(1)

(2)

式中：βi是功能梯度材料的非均匀性参数，并且是无量纲的。

在轴向剪切力作用下，其平衡方程分别为:

(3)

把式(1)代入式(3)，同时结合式(2)，圆柱型复合材料内外两层功能梯度材料的控制方程可表示为:

(4)

假设该裂纹的圆柱型复合材料受到轴向剪切力的作用，由于断裂问题的对称性，所以只研究x轴上半部分即可，则此问题的边界条件和连续性条件可转化为:

w1→有限值，r→0；

(5)

w2(r2,θ)=0,0≤θ≤π；

(6)

(7)

w2(r1,θ)=w1(r1,θ),α≤|θ|≤π；

(8)

τrz(r1,θ)=-τ0,0<|θ|<α.

(9)

式中：-τ0为作用在裂纹面上等效切应力。可从实际作用的应力中通过叠加来确定。故讨论圆柱型功能梯度双材料界面裂纹尖端场问题被转换为求解偏微分方程组式(4)-式(9)的边值问题。

2 分离变量法

通过分离变量的方法求解方程组(4)，把位移函数wi(r,θ)写成分离变量形式

wi(r,θ)=Ri(r)Φi(θ)

(10)

把式(10)代入到方程组(4),得到

(11)

式(11)两边同除以Ri(r)，整理可得

(12)

(13)

只有当n为整数时式(12)的解恒存在，在此条件下，式(12)有两个线性无关的解是cos(nθ)和sin(nθ).由于此问题以θ=0的轴向截面对称，只保留cos(nθ).最终位移函数wi(r,θ)可以用无穷级数表达如下：

(14)

(15)

其中：

(16a)

(16b)

把条件(5)代入式(14)，可以得到

Bn(n)=0

(17)

把条件(6)代入式(15)，可以得到

Dn(n)=Q1(n)Cn(n)

(18)

把条件(7)代入式(14)、式(15)，结合式(17)和式(18),可以得到

An(n)=Q2(n)Cn(n)

(19)

式中：Q1(n)和Q2(n)为已知函数，

为将式(8)和式(9)描述的混合边值问题转化为奇异积分方程，引入如下的位错密度函数：

(20)

由式(8)和式(20)知位错密度函数满足：

(21)

根据式(14)、式(15)和式(20)可知，g(θ)为奇函数，因此有单值性条件g(0)=0.将式(14)和式(15)代入式(20)，利用有限傅里叶余弦变换，可得:

(22)

式中：Q3(n)为已知函数，

将式(22)代入应力场，再将结果代入边界条件式(9)，得到如下积分方程：

(23)

式中：Q4(n)为已知函数，

基于Q4(n)的收敛性，积分方程式(23)进一步分离奇异性，化为Cauchy奇异积分方程，从而可求出g(s)的数值解。在此基础上可以进一步求得裂纹尖端无量纲应力强度因子的数值解。

3 裂纹尖端应力场和位移场

将式(14)、式(15)结合式(2)代入式(1)，分别得到圆柱型功能梯度双材料在裂纹尖端附近的位移和应力的表达式

(24)

Cn(n)cos(nθ)

(25)

(26)

sin(nθ)

(27)

(28)

(29)

其中：Cn(n)可由方程(22)解得。

4 结论

运用分离变量法和待定系数法，研究了内外分别为功能梯度材料的圆柱型复合双材料在径向应力条件下的界面开裂问题，分析了圆柱型双材料的界面裂纹尖端场。得到圆柱型双材料界面裂纹尖端附近位移和应力的形式表达式。其结果可应用于受轴向剪切力作用圆柱型复合材料界面开裂问题的理论分析。

参考文献：

[1] LI, C Y, ZOU, Z Z, DUAN Z P. Stress intensity factors for functionally graded solid cylinders[J]. Engineering Fracture Mechanics, 1999, 63： 735-749.

[2] 王清, 嵇醒, 王远功. 纤维增强复合材料圆柱型界面裂纹分析 [J]. 力学学报, 1997, 29(4)： 421-428.

[3] PAN E, ROY A K. A simple plane strain solution for functionally graded multilayered isotropic cylinders.[J]. Engineering Fracture Mechanics, 2006, 24(6)： 727-740.

[4] 张雪霞, 崔小朝, 杨维阳, 等. 正交异性双材料的Ⅱ型界面裂纹尖端场 [J]. 应用数学和力学, 2009, 30(12)： 1399-1414.

[5] 李俊林, 张少琴, 杨维阳. 双材料混合型界面裂纹尖端应力场位移场 [J]. 太原科技大学学报, 2010, 31(5)： 406-412.

[6] 李婷, 仲政, 聂国隽. 一种特殊梯度分布的功能梯度圆柱壳的二维分析 [J]. 力学季刊, 2007, 28(4)： 549-556.

[7] YAN Z, GAO S W, FENG W J. Fracture problem for an external circumferential crack in a functionally graded superconducting cylinder subjected to a parallel magnetic field [J]. Physica C： Superconductivity and its applications, 2016, 521： 5-12.

[8] 时朋朋, 霍华颂, 李星. 功能梯度弹性材料弱间断界面的周期反平面裂纹[J]. 宁夏大学学报, 2013, 34(1)： 16-21.

[9] 时朋朋, 霍华颂, 李星. 功能梯度压电/压磁双材料的周期界面裂纹问题[J]. 力学季刊, 2013, 34(2)： 191-198.

[10] LI Y D, LEE K Y.Fracture analysis on the arc-shaped interface in a layered cylindrical piezoelectric sensor polarized along its axis [J]. Engineering Fracture Mechanics, 2009, 76(13)： 2065-2073.

[11] LI Y D, ZHANG N, LEE K Y.Fracture analysis on the arc-shaped interfacial crack between a homogeneous cylinder and its coating [J]. European Journal of Mechanics A/Solids, 2010, 29(5)： 794-800.

[12] XIAN-FANG LI, GUO-JIN TANG.Stress intensify factors for an external circular crack at the interface of a bi-material in shear-compression [J]. International Journal of Solids and Structures, 2015, (64-65)： 221-231.