一种非最小相位过程的PI-PD控制器整定方法

牛瑶瑶, 张井岗

(太原科技大学 电子信息工程学院，太原 030024)

非最小相位过程是指在右半S平面存在零点、极点或者有时滞环节的被控过程。非最小相位过程在工业中常见于以下系统：精馏塔、锅炉汽包水位的控制系统等。其中，具有右半S平面零点并且含有时滞的非最小相位过程更为典型。因为右半S平面零点的存在，系统输出响应的起始阶段方向与最终稳态阶段方向相反，从而使控制器输出正反馈信号；在被控对象受到外界干扰影响的情况下，因为时滞的存在，控制器消除干扰的影响较为缓慢，结果导致了系统的调节时间较长且超调量较大。采用传统的控制策略，不能让此类被控过程达到理想地控制效果。

对于非最小相位过程，许多学者进行了大量的仿真和分析。依据闭环系统中的特征方程，文献[1]研究出两种新型结构的PID控制器，但利用该方法整定的控制器仅与过程模型参数有关，不便应用于实际系统中。针对这一问题，文献[2-3]给出了一种IMC-PID控制器的解析策略，仅有一个可调参数。文献[4-5]分别利用Smith预估补偿控制结构，讨论分析了直接分解与全通分解的整定策略，并且比较了两种分解策略对系统的影响，但文献的控制结构较复杂。文献[6]提出将控制过程分为负调的抑制阶段和输入的跟踪阶段，利用遗传算法优化控制器参数，但该控制器需要设计7个参数。文献[7]给出了一种模糊PID控制器的设计方法，也使用遗传算法优化参数。文献[8]为改变不稳定零点，采用了内模控制极点镜像映射的策略，虽然可调参数仅有一个，但并未对其鲁棒性进行分析。文献[9]利用PID参数两步整定法确定参数，但系统响应的调节时间过长。文献[10]采用Smith预估控制结构设计PI-PD控制器，该策略降低了系统响应的超调量，缩短了调节时间，但未明确给出参数Kc，TI的选择方法，且该控制结构较复杂。

针对非最小相位过程，本文基于PI-PD控制给出一种参数整定策略。该策略基于内模控制原理，给出了PI与PD控制器的参数整定公式。本文所提出的策略参数调整方便，仿真结果证实了该策略的有效性。

1 内模控制结构

图1为内模控制的结构框图，其等效结构框图如图2.图中R是控制系统的输入信号，D是干扰信号，Y是输出信号，Gp(s)是系统的被控过程对象，Gm(s)是系统的被控过程数学模型，Gc(s)是反馈控制器，Q(s)是内模控制器。

图1 内模控制结构

Fig.1IMCcontrolstructure

图2 内模控制结构等效图

Fig.2IMCequivalentstructure

由图1和图2可知：

(1)

对于图1，系统的闭环响应为：

(2)

当模型精确时，也就是Gp(s)=Gm(s)，系统的设定值跟随特性为：

(3)

系统的干扰抑制特性为：

(4)

对于图2，设定值跟随特性为：

(5)

干扰抑制特性为：

(6)

2 内模PID控制器的设计

典型的非最小相位的传递函数为：

(7)

其中，Kp、a、τ、T1和T2均大于零。

由上式可知，传递函数中包含一个右半S平面零点，为了使控制器具有PID控制器的形式，将右半S平面零点当作时滞部分来处理[11]，故可得：

-as+1≈e-as

(8)

则式(7)可写成：

(9)

其中：θ=τ+a

(10)

根据设计内模控制器的方法，把被控对象模型分解为全通部分Gm+(s)和最小相位部分Gm-(s).即

Gm+(s)=e-θs

(11)

(12)

内模控制器设计为如下形式：

Q(s)=[Gm-(s)]-1f(s)

(13)

为使Q(s)是可实现的，改进系统的干扰抑制特性，利用其零点抵消Gp(s)中两个惯性环节中对应的两个极点，故选择四阶形式的滤波器：

(14)

λ为滤波器时间常数；β1，β2为待定系数。

根据式(4)可知，为了使(1-GmQ)的零点与Gp(s)中两个惯性环节中对应的两个极点相消，可采用下式确定β1和β2.

(1-GmQ)

(15)

由上式可得：

(16)

(17)

将式(12)、(13)和(14)代入式(1)，可得：

(18)

Gc(s)分母的Maclaurin展开式含有积分项，故为：

(19)

近似地将前三项写成PID形式为：

(20)

由此可得：

kc=g′(0)

(21a)

(21b)

(21c)

将式(18)和(19)代入上式整理可得：

(22a)

(22b)

τD=

(22c)

以上三式就是PID控制器的参数，其中仅含有一个可调参数λ.λ的值越大，控制系统的响应越慢，λ的值越小，控制系统的响应越快。

3 PI-PD控制器的设计

Ibrahim Kaya针对不稳定过程设计出PI-PD控制结构[12]，该结构中PI控制器被置于前向通道中，PD控制器被置于副反馈回路中，本文将此结构应用于非最小相位过程中。PI-PD控制器的结构如图3所示。

图3PI-PD控制器结构图

Fig.3PI-PDcontrolstructure

假定PI与PD控制器的表达式分别为：

(23)

GPD(s)=Kf(1+TDs)

(24)

式中，Kc与TI是PI控制器的比例系数与积分时间常数，Kf与TD是PD控制器的比例系数与微分时间常数。图3的等效结构图如图4.

图4PI-PD控制器的等效结构图

Fig.4PI-PDcontrolequivalentstructure

由上图可以看出，相对于内模控制结构，其结构上多了一个设定值滤波器。故PI-PD控制器减小了超调量。

由式(23)和(24)可知GPI+GPD的表达式为：

(25)

显然，GPI+GPD具有PID控制器的形式。故PI-PD控制器参数可以利用PID控制器参数推出。根据内模控制原理得到的PID控制器Gc(s)为式(20)，比较式(20)和式(25)可得PI控制器和PD控制器的参数如下：

(26a)

(26b)

(26c)

TD=(1+ε)τD

(26d)

ε为可调参数，且ε=Kc/Kf，将(22a)、(22b)和(22c)分别代入(26a)、(26b)、(26c)和(26d)可得：

(27a)

(27b)

(27c)

TD=(1+ε)·

(27d)

由上式可知，PI-PD控制器中仅含两个可调参数λ和ε.ε可取任何实数，调整ε便可获得PI-PD控制器的参数。ε的值越大，控制系统的响应越快，ε的值越小，控制系统的响应越慢。

4 鲁棒性分析

在模型精确的情况下，根据图4可知系统的灵敏度函数为：

(28)

补灵敏度函数为：

(29)

若l(s)是模型可乘性不确定性上界，则被控过程Gp(s)在模型失配情况下可表示成：

Gp(s)=Gm(s)(1+l(s))

(30)

由小增益定理[13]可得控制系统的鲁棒稳定的充要条件为：

‖T(s)l(s)‖∞=sup|T(s)l(s)|<1

(31)

故获得良好鲁棒稳定性的条件为：

(32)

将式(9)、(18)、(29)代入式(32)可得：

(33)

设s=jω，模型存在不确定性△Kc，△T1，△T2，△θ则可得到系统鲁棒稳定的条件为：

(34)

从上式可看出，针对模型不确定性，可通过调节控制器参数λ的大小使其满足式(34)，以此来保证系统的稳定性。系统的稳定性与可调参数ε无关。对于可调参数λ的取值应同时满足闭环系统的干扰抑制特性和鲁棒稳定性。

5 仿真实例对比及分析

5.1 PID控制和PI-PD控制两种方法的比较

考察文献[10]中的非最小相位过程：

为了比较PI-PD控制器与PID控制器的控制作用的不同，两种方法选取相同的λ.采用PI-PD控制器时，选取参数λ=5，ε=0.5，采用PID控制器时，选取参数λ=5.系统的设定值输入r(t)=1(t)，扰动信号输入d(t)=-0.2(t-150)，对系统采用PID控制器及PI-PD控制器两种方法进行仿真，输出响应如图5.

图5 采用PI-PD和PID控制器的系统输出响应

Fig.5ThesystemresponsewithPI-PDandPIDcontroller

从图5中可以看出，利用PI-PD控制器抑制了系统输出的超调，缩短了调节时间，故PI-PD控制器优于PID控制器。

5.2 仿真实例对比

考察文献[4]中的非最小相位过程：

将本文方法和文献[4]方法进行比较。为了比较的公平性，调整参数使两种方法在模型精确的条件下设定值跟随特性的ISE值相同，进而比较模型精确的条件下的干扰抑制特性和模型失配条件下的系统的动静态特性。本文方法选取参数λ=1.35，ε=1，文献方法选取参数Kc=0.826，TI=4.283，TD=1.011.系统的设定值输入为r(t)=1(t)，扰动信号输入为d(t)=-0.5(t-40)，图6与图7分别为模型精确条件下，系统的设定值跟随特性和干扰抑制特性。图8与图9分别为模型失配(模型参数Kp，a，T1，T2，τ分别增大20%)的条件下，系统的设定值跟随特性和干扰抑制特性。系统的ISE值比较如表1.

图6 模型精确时系统的设定值跟随特性

Fig.6Set-pointtrackingcharacteristicwithnominalsystem

图7 模型精确时系统的干扰抑制特性

Fig.7Disturbancerejectioncharacteristicwithnominalsystem

图8 模型失配时系统的设定值跟随特性

Fig.8Set-pointtrackingcharacteristicwithperturbedsystem

图9 模型失配时系统的干扰抑制特性

Fig.9Disturbancerejectioncharacteristicwithperturbed

表1ISE值比较

Tab.1ComparisonofISEperformanceindex

方法模型精确模型失配设定值跟随性能干扰抑制性能设定值跟随性能干扰抑制性能本文方法4.9580.3765.8940.636文献[4]方法4.9610.5845.9710.845

从图表可以得出，本文方法优化了控制系统的动态性能以及鲁棒性，比文献[4]中所提策略更具优越性。

6 结论

针对非最小相位过程，给出了一种PI-PD控制结构的参数整定策略。经仿真分析，采用PI-PD控制器有效减小了系统响应的超调量，减少了系统的调节时间，使控制系统具有良好的动态特性和鲁棒性。本文提出的方法控制结构较简单、参数较少且调节方便，容易推广使用。

参考文献：

[1] CHIEN I L, CHUNG Y C, CHEN B S, et al. Simple PID Controller Tuning Method for Processes with Inverse Response Plus Dead Time or Large Overshoot Response Plus Dead Time[J]. Industrial & Engineering Chemistry Research, 2003, 42(20)：4461-4477.

[2] CHEN P, ZHANG W, ZHU L. Design and Tuning Method of PID Controller for A Class of Inverse Response Processes[C]// American：American Control Conference, 2006. IEEE, 2006.

[3] SHAMSUZZOHA M, LEE M. Tuning of Integrating and Integrating Processes with Dead Time and Inverse Response [J]. Aiche Journal, 2006, 12(2)：1482-1485.

[4] JENG J C, LIN S W. Robust Proportional-Integral-Derivative Controller Design for Stable/ Integrating Processes with Inverse Response and Time Delay[J]. Industrial & Engineering Chemistry Research, 2012, 51(6)：2652-2665.

[5] JENG J C, LIN S W. PID controller tuning based on Smith-type compensator for second-order processes with inverse response and time delay[C] // Asia：Control Conference. IEEE, 2011：1147-1152.

[6] 何真,陆宇平,郑成军. 一种新的非最小相位系统的控制方法[J]. 信息与控制,2006,12(5)：560-563.

[7] 施壮,陈胜利,屈颖. 一类非最小相位系统的智能控制[J]. 自动化技术与应用,2008，34(1)：30-33.

[8] 尚继良,王晓燕,于玮. 非最小相位系统中的内模控制[J]. 青岛科技大学学报：自然科学版,2007,26(3)：253-255.

[9] 马增辉. 一类非最小相位系统的 PID 控制器整定方法[J]. 信息与控制, 2015, 44(2)： 147-151.

[10] KAYA I. PI-PD controllers for controlling stable processes with inverse response and dead time[J]. Electrical Engineering, 2016, 98(1)：55-65.

[11] SKOGESTAD S. Simple analytic rules for model reduction and PID controller tuning[J]. Journal of Process Control, 2003, 13(4)：291-309.

[12] KAYA I. A PI-PD controller design for control of unstable and integrating processes[J]. Isa Transactions, 2003, 42(1)：111-121.

[13] MANFREDMORARI,EVANGHELOSZAFIRIOU. Robust process control[M]. American：Prentice Hall, 1989.