h-自适应切割网格法在船海工程领域的发展综述*

马 麟 李廷秋* 辛建建 周少山 林泽华

(武汉理工大学交通学院1) 武汉 430063) (武汉理工大学计算机科学与技术学院2) 武汉 430070)

0 引 言

目前，新型船舶和大型浮体等船海工程结构物系统逐渐向多体发展，如双体船、多立柱支撑的海洋平台及船舶旁靠、相遇海上作业等.复杂海洋及深海环境下的结构物动边界除了遭遇自身在极端风、浪，复杂涡、流等非线性耦合水动力载荷作用下的运动响应和大幅漂移，还包括多体间水动力干涉等相互作用；船海多尺度结构物在流场域内的几何尺寸往往相差极大(例如，大尺度的裸船体和小尺度的舵)，难以用同一量级的背景网格进行计算；此外，结构物系统还将受到强非线性、可变密度、各向异性的自由表面的影响，包括甲板上浪、波浪翻卷和爬升等工程问题.为实现上述问题的精细流场特征捕捉，避免全域极细网格造成的计算效率严重降低，需引入自适应网格技术[1]，旨在通过局部提升流场物理量变化剧烈、几何特征显著区域的网格空间分辨率达到精度要求，同时减少计算消耗.

基于网格的计算流体力学(computational fluid mechanics, CFD)数值方法包括边界拟合及非边界拟合法[2].边界拟合法主要基于贴体结构网格和贴体非结构网格，根据合适的映射函数能够精确描述物面边界，但处理动边界问题时需结合动网格技术，而网格生成占用到CFD 工作量的60%～80%[3]，重构网格需要大量时间，且大位移易引起网格畸变与缠绕.非边界拟合法主要基于笛卡尔背景网格，无需坐标转换及根据动边界重构网格，适于求解船海工程复杂多体动边界及自由表面等热点问题.切割网格法(cut-cell method, CCM)[4]是改进后的非边界拟合浸入边界法(immersed boundary method)[5]，避免了物面贴体网格生成，能够精确处理任意复杂物面.因此，本文对现有的自适应技术进行了对比和分析，着重研究及总结针对船海领域中复杂几何边界和自由表面问题的自适应CCM技术，并分析其未来发展趋势.

1 自适应技术分类及适用领域

CFD计算中的自适应技术大致可以分为p-(polynomial)、r-(redistribution)和h-(hierarchy)3种[6-7].为了提高计算精度，p-自适应在局部计算区域使用高阶格式[8]，精度较高，但难以捕捉高阶间断面，不同阶数需要编制不同程序，复杂性高，目前主要用于固体力学领域，难用于机械学科和流体力学[9-11].r-自适应将网格点移动至梯度较大区域[12]，网格数目不增加，数据结构简单，不需额外插值，但可能导致网格变形、品质下降，为确保网格正交性，自适应后需求解大型矩阵方程, 导致计算消耗较高[13]，因此大多用于静力学有限元问题，可用于流体领域，但对三维曲线单元的研究仍在进行[14]，对二维及三维实际工程应用依然有所限制[15-17].h-自适应则采取局部增加网格密度，单元灵活自由，网格加密稀疏没有限制[18]，自适应网格质量好，能模拟复杂几何边界，与非边界拟合法天然契合，仅需保证多尺度网格界面的通量守恒传递.虽然多级加密可能导致网格数的剧增[19]，但能够通过高效的数据结构或结合并行计算解决这一问题.目前广泛用于流体领域，适合于工程领域[20-22].

根据船海工程领域面临的流体工程问题背景，本文主要研究h-自适应技术.根据数据结构可将其分为非结构和结构h-自适应网格技术.非结构h-自适应技术主要包括基于三角形网格的三角化法(delaunay)[23]、阵面推进法(advancing front method)[24]，以及基于背景笛卡尔网格的非拓扑结构叉树法：包括Yerry等[25]提出的各项同性四叉树 (quadtree)、八叉树法 (qctree)，和Wang等[26]提出的适于求解高雷诺数黏性层的各向异性2N(N为维度)叉树法等.非结构h-自适应技术网格单元的大小灵活，网格生成自动化程度高，适用于模拟复杂几何边界.但基于三角形非结构网格的h-自适应技术的数据结构和网格信息尤其复杂，计算易发生严重过载，难以生成各向异性网格及随时间推进将数据更新.h-叉树非结构自适应技术所需的记忆存储空间少于三角形非结构网格，而传统的叉树法的隐式连通存储使得遍历过程难以矢量化和并行化.为此，学者们着力于对其数据结构进行改进，使其易于并行计算.Khokhlov[27]提出了线性树结构的h-自适应技术，使得叉树法能够用于并行计算， Ji等[28]提出混合的h-线性树(fully threaded tree, FTT)自适应切割/虚拟网格法，并提出新颖的h-元结构自适应(cell-based structured adaptive mesh refinemen, CSAMR)笛卡尔网格法[29]，用哈希表替代传统的层次树结构，直接采用笛卡尔索引，使得网格易于并行化及负载平衡.此外，非结构h-叉树自适应技术在边界容易产生大量悬挂节点(不全是所有相连单元的顶点的网格节点)，见图1，可能影响计算精度，难以采用高精度格式.

图1 悬挂节点示意图

结构h-自适应技术主要指基于背景笛卡尔网格的h-块结构(block-structured)自适应网格技术.文献[1]在二维、三维有限元计算域局部嵌入矩形网格块进行加密，并命名为自适应网格技术(adaptive mesh refinement).h-块结构自适应技术基于网格块进行分级加密，再将网格块中布置均匀的根据(i,j,k)笛卡尔结构索引的网格单元，能够直接使用均匀网格求解器，悬挂节点数量少于h-叉树技术，仅需在跨层次的块界面进行通量守恒处理.与h-叉树技术相比, 见图2.局部结构化的网格单元使其更易结合高精度格式.文献[22]基于h-块结构自适应有限体积法求解了二维和三维泊松方程.Huang等[30]采用高精度空间离散格式计算空气动声学问题，结果显示提高了效率.Hittinger等[31]提出高阶有限体积方法的h-块自适应网格技术，采用5点WENO5格式达到四阶离散精度.Buchmüller等[32]将h-块结构自适应笛卡尔网格法结合四阶精度的WENO5和六阶精度的WENO7格式，比达到同等精度的1阶计算可以节约3倍时间.h-块自适应的问题在于每个细化块会包含30%左右的非标记网格，但显式连通的数组存储比传统h-叉树法隐式连通的链表存储所需内存要少，易于并行计算，对于三维问题，能够显著提升效率.

图2 h-块结构和h-叉树非结构示意图

综上所述，相对于p-和r-自适应而言，h-自适应技术已经广泛用于流体工程领域.其中，与基于三角形网格的h-非结构自适应技术相比， h-叉树非结构和h-块结构自适应技术更适于基于时间和空间的双向自适应策略，且二者都基于背景笛卡尔网格，与非边界拟合法天然契合.因此，本文着重研究和分析针对船海工程领域关键问题的非边界拟合h-自适应CCM的发展和现状.

2 h-自适应CCM/笛卡尔网格技术在船海工程关键问题的主要研究进展

2.1 h-块结构自适应技术

1) 求解复杂几何边界问题 国外，美国宇航局Ames研究中心的学者对h-自适应笛卡尔网格和切割网格技术进行了大量研究.Berger等[33]应用h-块结构自适应笛卡尔网格法求解各项异性的复杂几何边界流场问题，为几何界面提供了高分辨率.Melton等[34]提出h-块结构自适应CCM求解三维复杂边界的Euler方程问题.文献[19]对h-块和h-叉树自适应CCM进行了综述介绍，并在此后开展了针对二维、三维导弹、火箭等复杂几何构型的h-自适应CCM系列研究.John等[35]基于FLASH开源平台将h-块自适应笛卡尔网格技术求解二维、三维任意复杂几何构型边界的高速黏性可压缩N-S方程问题.这些研究对于船海工程领域的复杂多体、细长体问题求解具有很大参考意义.

国内，Chung[36]采用Level Set方法定位与跟踪物体边界的位置，徐建军等[37]将基于Level Set技术的二阶精度积分算法与h-块自适应技术结合，求解任意界面问题.

2) 求解自由表面问题 Berger等[38]采用h-块自适应技术对激波进行精确的计算，这种间断面的问题对自由表面中空气和水的大密度比问题有参考意义.Colella等[39]将h-块自适应CCM结合二阶精度VOF(volume of fluid)界面捕捉技术求解考虑自由表面影响的不可压缩N-S方程，并用水平集法(Level Set)确定法向矢量和表面张力.Sussman等[40]将Level Set方法和h-块自适应笛卡尔网格技术结合，求解不可压缩N-S方程和带有表面张力的两相流问题， Sussman等[41]进一步将VOF方法和Level Set方法耦合(CLSVOF)，其中Level Set方法弥补了VOF方法难以精确计算局部曲率的问题.Barad等[42]将二阶精度的h-块结构自适应CCM应用于求解三维多尺度、不可压缩、可变密度、任意复杂区域和各项异性流场环境的N-S方程问题.Plas等[43-44]基于ComFLOW平台，采用基于PLIC几何重构VOF的h-块自适应CCM模拟自由表面和楔形体入水问题，从结果看全局计算精度达到近似二阶，证实了自适应网格对海洋工程应用中对自由表面和动边界问题的优化作用是很明显的，并对将其应用于流固耦合问题提出展望.

国内，Chung[45]采用h-块结构自适应CCM和Level Set方法结合模拟了二维楔形和圆柱入水、双圆柱花形部分入水旋转等自由表面和动边界问题.龚国毅[46]采用h-块自适应浸入边界法结合VOF法模拟了二维不可压缩N-S方程的液舱晃荡问题.

2.2 h-叉树非结构自适应技术

1) 求解复杂几何边界问题 国外，De等[47]采用h-四叉树自适应CCM求解无黏可压缩二维定常Euler方程，模拟了跨音速机翼、三元机翼、双椭圆等几何构型的流场问题.Coirier[48]进一步求解了无黏可压缩N-S方程问题，并基于定向的单元提出各向异性的非均匀细化自适应技术.Karman等[49]基于美国Lockheed Fort Worth公司开发的三维 SPLITEFLOW流场计算软件，采用h-叉树自适应CCM求解了复杂几何边界的Euler方程问题在物体表面附近边界层区域添加三角形-四面体单元进行模拟三维黏性的N-S方程问题.文献[28]提出混合的h-线性树自适应CCM/虚拟网格法模拟二维圆柱绕流、薄扁椭圆旋转和星形体在流场中运动问题.文献[29]直接在流体区域的复杂、不规则内边界采取高于一阶精度离散格式，但邻居搜索变得非常复杂.Hartmann等[50]基于h-叉树自适应CCM求解可压缩黏性流体N-S方程问题，模拟二维、三维的定常、非定常圆柱绕流层流问题，结果具有二阶精度.Schneiders等[51]将方法拓展至求解动边界的黏性可压缩流问题，减少了界面处的非物理振荡.

国内，桑为民[52]发展动态h-叉树自适应CCM求解三维非定常的Euler方程；赵书廷[53]在此基础上加入对物面边界网格检验的思想和方法；王俊杰等[54]提出用于三维复杂几何外形的h-复合叉树自适应笛卡尔网格技术；逯雪铃等[55]将其改进，使其具备处理复杂外形和退化几何方面的能力，为了实现场点属性识别判断、各项异性自适应等操作，数据结构上采用交错二叉树管理网格单元.万铮等[56]对二维多段复杂翼型等问题进行了数值计算.刘剑明[57]采用h-自适应浸入边界法对内埋弹仓模型等运动物体无黏Euler方程问题进行了模拟.胡偶[58]将h-叉树自适应笛卡尔网格技术结合二维下的黏性贴体网格求解N-S方程问题.王豪[59]基于Gerris开源求解器的h-叉树自适应笛卡尔网格技术对蜻蜓二维的翼型拍动问题进行了模拟.罗昔联等[60-61]提出基于Kitta Cube和6+N模型离散方法的h-叉树自适应CCM，模拟了三维同心球和偏心球之间的自然对流换热.

2) 求解自由表面问题 国外， Ham等[62]提出了各项异性的h-叉树自适应浸入边界法，求解时间依赖的不可压缩N-S方程，模拟了二维、三维方腔流和圆柱绕流问题.Singh等[63]基于Ham的方法，模拟了静止和上升气泡问题，但由于各向异性导致求解复杂，因此Singh[64]采用各项同性h-叉树自适应浸入边界法结合基于MAC的Level-contour无连通性的界面追踪方法，模拟了三维多相流的黏性不可压缩N-S方程问题，保证了界面重构的守恒性.Greaves[65]采用h-四叉树自适应CCM结合CICSAM格式和PLIC格式界面重构技术的VOF技术模拟高剪切流问题，保证了界面尖锐.Greaves[66]进一步求解了固定船舱内的自由表面和穿过水下圆柱的波浪的黏性N-S方程问题.Hua等[67]将h-线性树自适应CCM/虚拟网格法结合基于标记点和三角形面元法进行动边界追踪，模拟了各项异性的三维液滴等自由表面问题.Fuster等[68]基于Gerris开源代码采用h-八叉树自适应CCM结合VOF方法模拟了雾化等复杂自由表面问题，以限制雷诺数范围的方式保证足够的精度.Li等[69-70]提出结合Level Set的h-叉树自适应浸入边界方法，求解流体中的移动界面不可压缩N-S方程问题，对物面切割网格附近的带区域进行自适应加密，模拟了二维气泡变形等移动边界问题.

国内，王生辉等[71]将h-四叉树自适应笛卡尔网格技术结合Level Set界面追踪方法，对比分析了3个给定速度的平移、旋转和剪切流场的动边界追踪问题.Wang等[72]提出耦合了PLIC格式的VOF技术和Level Set方法(VOSET方法)的动态h-叉树自适应笛卡尔网格技术，其中VOF方法用于界面捕捉，Level Set方法用于几何自适应区域的判定.Chen 等[73]提出基于厚度的h-叉树自适应笛卡尔网格法用于模拟多尺度、多相流区域，其自适应包括基于VOF的体积分数的梯度物理的判断准则和根据厚度的(网格距离和流体体积分数)几何自适应判断准则.

3 结 论

1) h-自适应网格技术的选择 基于三角形网格的h-非结构自适应技术容易空间自适应，但难于随时间更新；h-叉树非结构自适应在工程领域受到广泛应用，适于双向自适应策略，加密灵活，但难以采用高精度格式，且需要高效的数据结构结合并行计算，从长远来看，如何改进和提高h-叉树非结构自适应的数据存储结构将是其未来的发展趋势；h-块结构自适应技术的提出要早于h-叉树非结构自适应技术，虽然会额外细化约30%的非标记单元，但其所需内存较少，易于并行计算，效率更高(尤其对于三维问题).随着现代计算机硬件和技术的不断发展，h-块自适应技术将有更大的发展空间，且其易于采用高精度格式，属于现代CFD研究热点之一，有很大研究潜力.目前，国外求解含复杂几何边界和自由表面问题则既有用h-块结构自适应，又有h-叉树非结构自适应技术.而国内大多采用h-叉树非结构自适应技术求解各类问题.对比国外的发展现状来看，国内针对船海领域的h-块结构自适应CCM的研究和应用较少，尚有很大的研究意义和发展空间.

2) 任意复杂物体边界的自适应加密方法 为了精确描述物面，通常需要将物面所处的网格进行识别、标记和细化，此外，为了计算，还需根据物面进行固相、液相网格的场点属性进行识别.虽然非边界拟合CCM技术从理论上来说，很适于研究任意复杂几何边界问题，但前文所述的自适应技术几乎全部需要根据表面离散三角形面元及射线法判断场点属性，实际上，目前的h-自适应CCM技术大多限制与二维或简单形状物体的研究.如何能够进一步研究多体等复杂几何静、动动边界问题，将其结合新颖、高效的物面构造方法和场点属性识别技术，对基于非边界拟合法的h-自适应CCM/笛卡尔网格技术将有重要的拓展意义.

3) 针对船海领域的h-自适应技术现状 目前h-自适应CCM/笛卡尔网格技术应用于航空领域多于船海领域，但航空领域的相关研究对船海领域也有很大的参考意义(例如，激波间断面和大密度比的自由表面).目前，国内外自适应CCM技术的应用已经实现了从求解无黏的Euler方程到有黏性N-S方程，从可压缩流到不可压缩流问题的研究.但国内应用的自适应网格技术大多用航空航天领域的可压缩流体，对于求解处于不可压缩黏性流体的水动力问题的自适应网格技术应用相对较少.对不于可压缩流而言，速度与压力耦合在一起，需要解耦处理，直接求解需要运算大型稀疏矩阵，计算量大，有很大难度，还有待进一步研究.

为了精确描述自由表面，目前，国内外主要将h-自适应技术几何基于CICSAM格式或PLIC几何重构的VOF界面捕捉技术，或Level Set界面捕捉技术.Level Set技术几何计算简单，但界面存在严重质量不守恒现象；VOF界面捕捉技术质量守恒、计算量较小，但难以精确描述界面几何形状及曲率，且三维几何重构困难，通常采用基于代数高精度CICSAM格式算法提升其精度.根据前文，目前h-自适应结合选用VOF技术要多于结合Level Set技术，因此,如何结合当前的高精度格式研究热点、或耦合Level Set技术以提升VOF技术精度，将是针对船海领域的h-自适应CCM技术的未来重点发展方向之一.

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