追溯历史，重构教学路径

马思聪

【摘 要】基于实现科学的教学方法的目的，对与“平行”相关的史料进行了梳理，并结合学生的认知基础、知识的逻辑顺序重构了“平行”教学的路径。学生在教师的“诱导”下，经历了知识发生、发展的过程，获得了探究的乐趣，感受到了角度型、距离型平行判定的美妙，体验了多元文化的魅力，增强了数学学习的信心。

【关键词】数学史；科学的教学；诱导；知识重构

一、 引言

“科学的教学方法只是诱导学生去作科学的思考，并不是一开头就教人去碰冷漠的、经过科学洗练的系统。推广这种自然的真正科学的教学的主要障碍是缺乏历史知识”[1]，F. 克莱因的话道出了科学的教学方法的真谛，也道出了实现科学的教学方法的路径。然而，囿于条件的限制，一些主题教材的编写系统性较强，比如沪教版四年级第二学期“平行”的教材编排“呈现城区地图引导学生寻找垂直于同一道路的两条路，在长方形中寻找垂直于同一条线段的两条线段，以此得出‘垂直于同一条边的两条边互相平行的概念”，如若按照教材的思路进行授课，难免演变成“指导”而非“诱导”。那么，数学史知识能否促进科学的教学方法的实现？本文将结合“平行”的课例进行说明。

二、历史材料及其运用

有关平行的定义和判定在历史上有一些记载，可概括为四类：①直观型，如欧几里得（Euclid，公元前3世纪左右）在《几何原本》中对平行的定义：“平行直线是在同一平面内的直线，向两个方向无限延伸，在两个方向都不相交” [2]；②角度型，比如欧几里得用内错角、同位角、同旁内角等证明两直线平行，并用此性质做出平行直线[3]；③距离型，如《墨经》中的“平，同高也” [4]，辛普利丘斯（Simplicius，490-560）的定义“当两条直线向两端无限延伸时，如果它们之间的距离相等，那么它们平行”[5]；④混合型，如波赛唐纽斯（Poseidonius，公元前135-公元前51）的定义“平行就是两条线既不相交，也不重合，而且两条线间的距离处处相等”[6]。本节课试图将前三种类型的相关史料以及历史上平行的符号（如图1）融入教学，以实现如下的教学目标。

（1）借助欧氏定义，通过直观想象初步建立“平行”的概念。

（2）能利用有关平行的经验来判定两条直线是否平行，培养严谨、求真的态度。

（3）经历探究画和折两条平行线的过程，进一步建立平行的表象。尝试创造平行符号，在历史比较中增强学习数学的信心，感受知识的发生、发展过程。

（4）结合生活实例，引导学生用数学的眼光观察生活，经历从现实空间中抽象出平行线的过程，发展空间观念，感受学习“平行”的价值。

三、教学设计与实施

（一）复习引入，引出平行概念（略）

（二） 引导想象，初建平行概念

学生通过想象，将不平行的直线转化为平行直线，从这一过程中初步建立平行的概念。

师：难道同一个平面上的两条直线都会相交吗？有没有办法让这两条直线延长后也不相交呢？

生：将上面的那条直线转一转。（生上台手势表示）

师：怎样才能说明现在这两条直线不相交呢？

生：延长。

师：（媒体演示直至超出屏幕）可惜我们的屏幕太小，看不到全部。如果直线继续延长，超出屏幕，到达教室门口，两条直线相交了吗？继续往外延长，冲出学校，相交了吗？如果继续往外呢？

……

生：它们永远也不会相交。

接着给出平行的定义，出示欧氏定义，加深学生的理解，增强学习的自信。

师：数学上，我们把像这样永远都不相交的两条直线的关系叫作互相平行。你们知道吗？早在2000多年前，两条直线互相平行的这个概念就已经出现了！它是由古希腊的一个很伟大的数学家欧几里得提出的。请你们自己阅读。

平行线是在同一个平面内的直线，向两端无限延长，无论哪个方向它们都不相交。

师：看了他的定义，你有什么想说的？

生：平行线是两条直线。

生：他和我们刚刚说的意思应该差不多。

然后通过巩固练习，找出下图中的平行线（略），接下来让学生联系生活，找出生活中的平行线，巩固“平行”概念。

师：我们周围的世界就是图形和线条的世界。回想一下，生活中你见过哪些延长后也不相交的线？

生：黑板的上下两条边和左右两条边。

生：桌子相对的两条边。

生：教室外面的栏杆。

生：操场的跑道。

师：看来生活中类似的例子非常多。老师也搜集了一些图片（斑马线、铁轨等），你能从中找出互相平行的线段吗？

师：刚刚你们是怎样判断它们是平行的？

生：看出来的。

（三）视错觉图形，得出平行判定

教师提供视错觉图形（如图2），让学生感受到直觉的不可靠性，从而引出平行判定定理的探究活动。

师：看来，眼睛有时候会看错，那我们该怎么验证两条直线是否平行呢？

生：去延长它们。

师：如果纸张不够大怎么办？去无止境地延长它们现实吗？

生：不现实。

师：那怎么办？我们还可以怎样判断两条直线互相平行？别说你们有困惑了，这个问题连古代数学家都困扰了很久很久。我们一起来想想办法。

师：刚刚同学们举的很多例子都是长方形的。我们就以黑板为例（如图3），请你们再仔细观察，能用什么更好的方法來判断上下两条边所在的直线互相平行呢？请大家小组讨论。

一段时间后，交流讨论结果。

生：我想量左右两条边的长度。

师：你想量长度的目的是什么？

生：如果左右两条边相等，那么我认为上下两条边就是互相平行的。

师：你的想法很好。还有其他想法吗？

生：我想用三角尺测量是否有直角。（生上台测量）

师：他找到了两个直角，说明上下两条直线和左边这条直线有什么关系呢？

生：上下两条直线都垂直于左边这条直线。

师：谁能完整说说，怎样的直线互相平行？

生：垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

师：通过刚刚的学习，我们知道了原来在同一个平面上，两条直线除了相交，还有一种特殊的关系：平行，即两条直线永不相交。我们可以看这两条直线是否同时垂直于一条直线来判断这两条直线是否互相平行。

（四） 探索画法，感悟平行特征

接着让学生独立尝试创作平行线，小组交流方法。

师：学到这里，大家对同一平面上两条直线之间的关系理解得很透彻了。如果还能动手做，那就更出色了。你们能创作一组平行线吗？

要求：

（1）工具：方格纸、直尺、不规则纸、三角尺。

（2）选择这些材料，自己动手画一画，或折一折，创造出一组平行线。

（3） 4人一组，组内讨论创造平行线的方法，比一比哪一组的方法多。

学生完成后进行汇报交流。

师：你们用了什么方法？

生：我们在点图上描的。

生：我们用纸折出两个直角。

生：我们先画一条直线，再画这条直线的两条垂线，这两条垂线互相平行。

生：我们是通过找两个点，然后连起来。

师：你们可真厉害，在这么短的时间里找到了这么多的创造平行线的方法。可是老师现在只有一把三角尺，也没有点图，我想在黑板上画一组平行线，哪种方法比较合适？

学生掌握了更好的方法之后，再次画平行线。

师：现在请你们用这个方法再画一组更漂亮的平行线。

（五）创造符号，表示平行关系

首先依托学习垂直的经验，让学生尝试描述平行线之间的关系。

师：如果给黑板上的这两条直线取名为a和b，那么我们可以怎样描述它们之间的关系呢？

生：a平行于b；b平行于a。

接着让学生尝试创作平行符号，培养创新思维。

师：用文字表示有点麻烦，如果像垂直一样，平行也有符号就好了。现在请你当小小数学家，你会创作怎样的平行符号？

师：如果图4左边这个符号作为平行符号，你们认为怎么样？

生：我认为不太好，感觉和等于号太像了！

师：也就是说数学符号和数学语言，我们需要“唯一性”，独一无二才不容易混淆。右边这个呢？

生：我认为这个挺好，没有其他符号和它一样，而且上面两条直线同时垂直于下面那条直线。

然后介绍平行符号的历史，在比较中产生共鸣，感受平行符号是发生发展的，增强学习信心。

师：数学家们当时也陆续创造了很多平行符号。有没有和你们相似的？（如图1）

师：你们可真厉害，创造出来的符号和数学家们差不多了！数学家们经历了很多次的创造和修改，才形成了现在的样子。

规范符号表示：a//b，b//a

师：请你们将自己创作的平行线用这个平行符号表示出来，并写在旁边。

接着介绍了中国古代画平行性的方法与工具以及与成语“没有规矩，不成方圆”的联系。

（六）深入思考，体会平行之“用”

1.体会平行的几何之“用”。

师：今天我们学习了“平行”，如果从平行的角度去看我们以前学过的四边形，你有什么体会？这些四边形中有平行线吗？有几组？（用规范语言说清哪几组直线互相平行）

2.体会平行的生活之“用”。

师：运动场的跑道为什么要设计成互相平行的？

生：如果跑道不是相互平行的，那运动的时候运动员会撞在一起。

师：铁轨如果不设计成互相平行会有怎样的情况发生？

生：火车就会脱轨。

（七）总结全课，延伸平行定义

师：这节课中同学们学习了两条直线平行的位置关系。通过想象，理解了欧几里得关于平行的定义，还通过观察，找到了判定平行的一个方法“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”。其实关于平行的定义还有很多，比如我国《墨经》中提到：平，同高也。你知道是什么意思吗？请同学们作为课后作业自行查阅资料进行了解。

四、结语

本节课通过追溯历史，对原有的教学路径进行了重构，体现了以下教育价值：将直观型、角度型、距离型三类数学史料融入平行的教学，让学生感受知识之谐，即平行概念的学习是从直观概念开始的，但鉴于视错觉图形引发的认知冲突，出现了平行的其他定义、判定准则；学生在探索平行的判定准则和尝试平行线的画法中，获得了发现的乐趣，积累了活动的经验，体验探究之乐；学生在尝试平行线的画法中，在教师布置的任务的指引下，画法逐渐减少，在方法的多样性中，在符号条件的方法的减少中，体验到了角度型、距离型的优势，从而感悟方法之美；在符号的创造过程中，学生不仅领略了数学符号的特性，还知悉了今天的数学符号是很多数学家努力的结果，体验文化之魅；教师通过融入数学史的平行判定准则和数学符号的探究活动，培养了学生严谨、求真的态度，增强了学生数学学习的信心，获得了德育的发展。正是有了数学史的指引，授课教师才能铺设台阶，诱导学生对平行的定义、判定准则、平行线的画法、平行线的符号等作出科学的思考，从而充分体现出数学史对科学教学方法的价值。

参考文献：

[1]Kline，F.Elementary mathmatics from advanced standpoint[M]. London： Macmillan & Company，1932：268.

[2][3] 欧几里得. 几何原本[M].西安： 陕西科学技术出版社，2003： 2， 25-28.

[4]墨子.墨子闲诂[M].北京： 中华书局，2001：309.

[5][6] Smith， D.E. History of mathematics（vol.2）[M].Boston：Ginn&Company;，1925： 279.

[7]Cajori， F. A history of mathematical notations[M]. New York， Dover Publication，1993：411-412.

（上海市靜安区科技学校 200040）