方程思想在解题中的运用

浙江省杭州英特外国语学校(311122) 齐亚坤 陈小明

方程思想是一种重要的数学思想，是根据问题中的已知量和未知量之间存在的某种等量关系并通过适当设未知数而建立起方程(组)，然后通过解方程(组)解决问题的思维方式。用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式中的已知结论列方程(组)。本文整理了方程思想在解题中的应用，为研究方便，文中的部分题目在原题的基础上做了适当更改。

1 根据题中方程求解

例1：物理中,把单位面积所受到垂直于气流方向的风的压力称为风压。已知风压p与风速v的平方成正比，某学生小组为研究风速和风压之间的关系进行了相关实验，得到了表1中的实验数据。某天下午3时，铁路部门用相关工具纪录了某火车经过某沙漠区域时的平均风速为30 m/s，瞬时最大风速为40 m/s。已知该火车的一节车厢的高度为h=3 m，长度L=25 m，宽度d=1.5 m，试计算一节车厢侧面受到风对它的最大水平推力。

表1 实验数据

解析：根据题中条件“风压p与风速v的平方成正比”，有p=kv2，其中k是常数，再由表格中信息“风速4 m/s时风压为10 N/m2”，代入公式得到：

10 N/m2=k(4 m/s)2

(1)

最大水平推力F=pS=kvmax2hL，代入题中数据得到：

F=k(40 m/s)2×25 m×3 m

(2)

由(1)和(2)得到：

F=75 000 N

2 根据电压相等列方程

例2：如图1所示电路，电源电压恒定，移动滑片P的过程中，电流表示数变化范围是1.0～1.5 A，电压表对应的示数变化范围是2～5 V，求：(1)定制电阻R1的阻值；(2)电源电压。

图1 实验电路图

解析：根据题意，当电压表读数是U1=2 V时，电流表的读数是I1=1.5 A，则电源电压U电源=I1R1+U1，代入数据得：

U电源=1.5 A×R1+2 V

(3)

当电压表读数是U2=5 V时，电流表的读数是I2=1.0A，则电源电压U电源=I2R1+U2，代入数据得：

U电源=1.0 A×R1+ 5 V

(4)

由(3)和(4)得到：

U电源=11 V

R1=6 Ω

3 根据平衡列方程

3.1 受力平衡(匀速直线运动)

例3：乘坐热气球是目前较流行的一项活动。某同学某次乘坐热气球的时候，如果热气球在某个区域内以某一速度匀速下降，下降到一定高度后，操作员抛弃热气球上质量为30 kg的重物后，经过一段时间，热气球匀速上升，则热气球在匀速上升时所受阻力的大小是多少？(假设热气球在该区域受到空气对它的浮力不变，所受空气阻力仅与速度的大小有关，且上升和下降的速度不变，g取10 N/kg)

解析：热气球匀速上升时，受力分析如图2所示，得到：

F=G′+f

(5)

热气球匀速下降时，受力分析如图3所示，得到：

F+f=G

(6)

图2 热气球匀速上升 时受力分析图

图3 热气球匀速下降时受力分析图

由题意可知：

G-G′=300 N

则由(5)和(6)得到：

f=150 N

3.2 受力平衡(静止状态)

例4：有一支粗细均匀、底部是平面的试管，某同学往试管里放入适量的金属块时，试管能竖直浮在水中，且静止后试管露出水面的长度占总长度的2/5；再把这个试管放入某液体中时，玻璃管也能竖直漂浮，静止后试管露出液面的长度占总长度的1/4。问这种液体的密度。

图4 试管漂浮

解析：玻璃管在水和油中均处于漂浮状态，则F浮=G管。根据题意设玻璃管的总长度为h，横截面积为S，水的密度为ρ水，未知液体的密度为ρ液。

当玻璃管漂浮在水里时有：

F浮=G管

ρ水g(1-2/5)Sh=G

(7)

当玻璃管漂浮在油里时有

ρ液g(1-1/4)Sh=G管

(8)

由(7)和(8)得：

ρ液=0.8×103kg/m3

3.3 杠杆平衡

例5：在某次科学实验中，小明为了测出一铁块的质量，他把轻质杠杆AB中的O点作为支点(OA>OB)。当他把铁块用细线挂在B端时，A端需要挂400 g的钩码才能使杠杆保持平衡；当他把铁块挂在A端时，B端需要挂900 g的钩码才能使杠杆保持平衡。求这一铁块的质量(g取10 N/kg)。

解析：根据杠杆平衡条件，当铁块用细线挂在B端时,杠杆平衡则：

G铁LOB=G码LOA

(9)

当铁块用细线挂在A端时,杠杆平衡则：

(10)

由(9)和(10)得到：

代入数据得到：

m铁=600 g

4 根据化学方程式列方程

例6：已知NaHCO3和KHCO3都能与稀酸(如稀硫酸)反应生成CO2，现将45 g NaHCO3(其中含部分KHCO3)固体粉末加入足量的稀硫酸中，完全反应后气体全部逸出，固体粉末的质量与产生CO2体积的关系如图5所示。该状况下，CO2的密度为2 g/L，求固体混合物中NaHCO3的质量分数。

图5 V-m关系图

解析：由题意知道完全反应后放出CO2的质量为:11 L×2 g/L=22 g。

设混合物中NaHCO3质量为X克，且反应产生m克CO2；KHCO3的质量为Y克，且反应产生n克CO2。

Xgmg

2×84 2×44

得出：m=44X/84

Ygng

2×100 2×44

得出：n=44Y/100

由题意可得到：

X+Y=45

(11)

44Y/100+44X/84=22

(12)

由(11)和(12)解得：

X=26.25

则固体混合物中碳酸氢钠的质量分数为：

26.25÷45×100%=28.33%

5 根据公式列方程

5.1 溶解度公式

例7：常温下，桌面上有两份等质量的A物质的水溶液，将第一份溶液蒸发40 g水，并恢复到原温度后，溶液正好饱和；将第二份中在此温度下加入9 gA物质，充分搅拌后仍有1 g固体溶解不了，则A物质在该温度下的溶解度是( )。

A.40 g B.20 g

C.8 g D.无法确定

解析：由题意知：在该温度下，当40 g水中溶解8 gA物质时形成的溶液就是饱和溶液，则设A物质在该温度下的溶解度为S，则：

S/100 g=8 g/40 g

得出：S=20 g

5.2 溶液稀释公式

例8：现有一份630 g的稀硫酸，它的溶质质量分数为28%，密度为1.2 g/cm3。若要在实验室用溶质质量分数为98%来配置，则需要98%的浓硫酸多少克？

解析：在溶液稀释的过程中溶质的质量不会发生改变，设需要98%的浓硫酸m克，则：

mg×98%=630 g×1.2 g/m3×28%

解得：m=216

5.3 元素质量分数公式

例9：王伯伯买来一批硝酸铵(NH4NO3)化肥，化肥袋子上标有总含氮量为33%(除硝酸铵外其他杂质不含氮元素)，已知化肥中硝酸铵含量大于94%的为优质化肥，请你帮王伯伯判断下他购买的化肥是否属于优质化肥。

解析：混合物中某元素的质量分数为：元素在化合物中的质量分数×化合物在混合物中的质量分数，设化肥中硝酸铵的质量分数为W，则：

W×(14×2)÷(14×2+4+16×3)×100%=33%

解得：W=94.3%

所以，王伯伯买的是优质化肥。

6 根据题中条件列方程

例10：如图6所示电路中，电源电压恒定不变，已知灯泡L的电阻为RL=8 Ω，正常发光时灯泡两端电压为4 V，灯的电阻不随温度的变化而变化。当开关S断开时，灯泡正常发光，电流表示数为0.5 A，电压表V1与V2的示数之比为6∶7；当开关S闭合时，电流表示数改变了0.4 A。求：

图6 电路图

(1)电源电压。

(2)电阻R1的值(要求画出等效电路图)

解析：根据题意，画出等效电路图。当S断开时，等效电路如图7所示。

图7 开关断开时等效电路图

(13)

U2=I1(R1+RL)

(14)

U源=I1(R1+R2+RL)

(15)

根据(13)～(15)，由电压表V1与V2的示数之比为6∶7可以得到：

6R1-7R2=8

(16)

当S闭合时，等效电路如图8所示。

I2=0.5 A+0.4 A=0.9 A

U源=I2(R1+R2)

因为U源不变，则

R1+R2=10

(17)

图8 开关闭合时等效电路图

由(16)和(17)得到：

R1=6 Ω

R2=4 Ω

U源=9V

7 结语

把方程思想应用到解题教学中，一些学生较难理解的问题可以得到很好的解决。当然除了文中总结出的几种题型外，方程思想还可以应用到初中教学中的其他地方。同时除了方程思想外，数学里的很多解题方法都可以和习题解题进行很好的融合，充分体现新课标中强调的各学科领域知识融合和渗透的精神。