以“三层教学”推进学生抽象能力成长

杨鸿

核心素养是适应个人终身发展和社会发展所需要的必备品格与关键能力。数学学习离不开抽象，数学抽象是核心素养极为重要的组成部分。如何在数学学习中设计有效活动，发展学生的抽象能力呢？

一、立足学生实际，大胆整合教材

教材是教师进行课堂教学的重要蓝本，作为组织教学的参考材料。伴随着教学观念的日趋理性，“以人为本”的教學理念逐步深植教师的教学观中，从学生的生活经验和已有知识出发进行数学教学成为大家的共识。因此，创设切合学生生活实际的、生动有趣的情境，设计富有挑战性的问题，从而使学生爱上数学，是最高水平的教学设计，也是培养学生数学素养的关键。

关于“小数”，学生在生活中已经积累了大量的感性经验，如超市中物品的价格是以“元”为单位的小数。对这些小数所表示的实际钱数学生比较熟悉，但对这些钱数用小数来表示的缘由并不知晓。利用人民币之间的单位换算来沟通一位小数和十进分数之间的关系比较抽象，学生理解平均分的过程比较困难。以“米”为单位的小数，学生在生活中有过接触，对0.1米表示的意义大多不了解。但借助米尺，学生理解1分米= 米将更直观具体、更易于理解。这两种直观模型各有优缺点，笔者通过深度研读教材，对“元”和“米”两个量进行了充分的分析后改变了原教材的呈现顺序，进行了重新整合，设计了三个层次的教学。

层次一，笔者以“元”为单位引入，通过玩“抓钱游戏”引导学生开启初识小数之门。而后以一个0.1元的纸杯为研究对象，借助生活经验和代表1元的长方形直观图，引导学生主动推导出“ 元=0.1元”（如图1所示），沟通 和0.1之间的关系，初步感知小数。此环节点到此为止，不再涉及元与分的关系或分与角的关系，既符合现实生活背景，也降低了学习难度。层次二，笔者引入“米”：你能在这把米尺上找出1分米吗？（课件出示米尺）学生通过观察米尺，并在已有分数知识经验的作用下，很容易看出“1分米= 米”，由于学生已有刚建立起来的“ 元=0.1元”的认知经验，自然迁移出“ 米=0.1米”，学生借助这一学习过程理解 和0.1之间的关系。这一教学设计帮助学生实现知识和方法上的迁移，简约而又高效。层次三，教师引导学生进行类推活动，通过大量多元的生活化素材接触不同事物中的小数，沟通它们与分数间的关系，丰富对小数的初步认识。

此乃本课第一个“三层教学”，既关注到学生原有的认知基础，又充分渗透数学思想方法。如此设计，不仅降低了学习难度，充分发挥了学生的主观能动性，突出学生的主体地位，还让学生体验到数学与生活的紧密联系，为发展学生思维提供了良好的基础。

二、巧借直观模型，助力抽象提升

教师在学生感性认识的基础上，让他们通过观察、分析、比较获得丰富的表象后，应及时引导学生进行抽象概括，揭示数学知识的本质和内涵，培养学生的抽象能力，提升数学素养。

在认识小数的初始阶段，学生对小数的认识必须依托具体量，这符合学生的认知规律，但如果学生的认识只停留在具体的带“量”的小数，思维便得不到发展与提升，也偏离了教材的编排意图。在教材的习题设计中，出现了方格图、数轴等抽象的模型，要求学生脱离具体量写出相应的小数，这是对认识小数的初步抽象提升，也是小数的内涵所在。因此，如何从“有量的小数”提升到“无量的小数”，是本节课的教学核心。笔者借助线段图直观模型设计了一个换计量单位的数学活动，以三个层次展开教学。

层次一，笔者引导学生归纳：把1米平均分成10份，其中的几份可以用十分之几米和零点几米来表示。之后，笔者安排了“在线段上找0.8米：的活动，学生通过观察、思考，顺利地找到0.8米。层次二，笔者顺势推舟：你能在线段上找到0.8元、0.8千克、0.8时吗？笔者又分别出示计量单位分别为元、千克、时的线段，学生在充分观察、比较思考的基础上，发现虽然出现的计量单位不同，但本质意义是相同的：都是把一个计量单位平均分成10份，其中的8份可以用 或0.8来表示。层次三，笔者继续推进：如果是0.8，你还能在线段上找到吗？经过讨论，学生认识到要找到0.8就必须去掉单位才可以，这样去掉“量”的需求水到渠成。笔者顺势把三条线段中的“具体量”去掉变成“无量”，把三条线段合并为一条线段，从而实现由“有量”过渡到“无量”的抽象提升，直触小数意义的本质。

此乃本课第二个“三层次”教学。基于对“小数的意义较为抽象，对于三年级的孩子来说理解有一定困难”的学情认识，笔者给学生充足的时间和空间，借助线段直观模型，依托直觉和经验，顺利实现“有量小数”到“无量小数”转化，直指概念本质。虽与教材的习题设计中出现的方格图和数轴不同，但有异曲同工之妙，笔者所选用的教学素材简约高效，能够让学生经历数学抽象的过程，同时体会数形结合的思想，数学思维再次得到提升。

三、关注沟通联系，建构知识体系

小数是数集合的一部分，非孤立于整数、分数之外而存在，教师应重视沟通知识间的联系，有意识地引导学生找到小数与整数、分数之间的关系，使学生主动将小数的认识纳入原有数系当中，这既有利于学生将对小数意义的理解提升至一个理性层面，实现学生对原有知识结构的重建，也是对自身数学抽象思维的进一步提升。为了实现这一目标，笔者安排了“找小数”的环节，以三个层次展开。

层次一，要求学生在“0和1”之间找出1.6。笔者以问题“1.6应该在哪两个整数之间呢？要找到1.6，该怎么办？”引发学生思考。由于有直观图的支撑，学生自然想到把线段向右延长。层次二，要求学生在线段图上寻找“2.1，3.2，4.8，7.6”等小数。在找小数的过程中，学生发现要找到这些小数，就得先思考这些小数是在哪两个整数之间，再将这两个整数之间的线段平均分成10份，才能找到相应的小数，所以要把线段向右不断延伸，数轴自然而然地形成了。这一过程中，学生的抽象思维进一步得以发展。层次三，教师小结：以上这样的小数叫一位小数。教师设问：一位小数在数轴上找得完吗？除一位小数外，还可能有什么小数呢？让学生充分发挥想象。

此“三层次”教学，教师引导学生在寻找小数的过程中感悟小数、分数、整数之间的内在联系，主动地将小数纳入数系范畴，实现了数系的重构，综合考虑知识间的纵横联系，盘活了知识，为将来进一步学习小数的意义奠定基础。

（作者单位：福建省平潭城中小学责任编辑：王彬）