例析排列组合题的常用解法

摘要：排列和组合的思想方法在实际生产生活中应用非常广泛，同时也是学生学习概率统计的奠基石，学好排列组合有利于培养学生的抽象能力和逻辑思维能力。本文旨在渗透数学思想方法方面做了一些尝试和探索，把这一重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的实例呈现出来。

关键词：计数原理；排列；组合

排列组合应用题是高中数学的重点和难点之一，学生在解决此类问题时常常感到束手无策，“重复”和“遗漏”的错误时有发生。现从一些简单的例题出发归纳出解决这类问题的几种解法。

一、 特殊元素法

例15名男生和1名女生站成一排照相，女生不能站排头，也不能站排尾，共有多少种不同的站法？

分析：让女生优先选择中间的4个位置中的任意一个，有A14种站法，再让5名男生在另外5个位置上作全排列，有A55种站法，根据分步乘法计数原理，共有A14A55=480种站法。

二、 特殊位置法

例2同例1

分析：排头和排尾不能站女生，那么就从5名男生中任选2名去站这两个位置，有A25种站法，女生和剩余男生站其余4个位置，有A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有A25A44=480种站法。

上述两种方法都是遵从了特殊元素、特殊位置优先考虑的原则。

三、 排除法

先不考虑限制条件求出所有的方法数，然后减去不符合要求的方法数，其中蕴含了“正难则反”的数学解题技巧。

例3同例1

分析：不考虑限制条件，共有A66种站法，其中女生站排头的有A55种站法，站排尾的也有A55种站法，所以符合题意的站法总数为：A66-2A55=480种。

四、 捆绑法

要求几个元素相邻时，可以先将他们“捆绑”起来，再与其他的元素排列。

例45個人站成一排，其中甲、乙相邻的站法有几种？

分析：先将甲、乙二人“捆绑”起来，有A22种方法，再与其他三人一起排列有A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有A22A44=48种站法。

五、 插空法

要求几个元素不相邻时，可以先将其他的元素先排列好，再将要求不相邻的元素插在他们之间或两端的空当中。

例55个人站成一排，其中甲、乙不相邻的站法有几种？

分析：先将其他3个人先排列好，有A33种方法，再将甲、乙插在另外3人之间或两端的4个空挡中，有A24种方法，根据分步乘法计数原理，共有A33A24=72种站法。

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另外，此题还可考虑用排除法，5个人作全排列有A55种站法，其中甲、乙相邻的站法有48种，所以甲、乙不相邻的站法有A55-48=72种。

六、 插板法

例6现有10本完全相同的书全部分给7个人，每人至少1本书，问共有多少种不同的分法？

分析1：题目中书的分法共有三类。

（1）有1个人分到4本书；其余的6个人每人分到1本书。其分法种数有N1=C17种。

（2）有1个人分到3本书；1个人分到2本书；其余5个人每人分到1本书。其分法种数有N2=C17C16种。

（3）有3个人每个人分到2本书，其余4个人每人分到1本书。其分法种数有N3=C37种。

所以，10本书的分法种数为：N=N1+N2+N3=C17+C17C16+C37=84。

上面的解题过程可以明显看到对这类问题需要进行分类计算，比较繁锁，容易遗漏。若是上题中书的数目或人的数目较多，处理起来将更加困难。因此我们需要寻求一种新的思路来解决此类问题，我们不妨创设这样一种虚拟的情境——插板。

分析2：将10本相同的书排成一行，10本书之间出现了9个空档，然后我们用“插板”把10本书隔成有序的7份，每个人依次按序分到对应位置的几本书，两块相邻的插板之间的书就是相应的人所分得的书。这种借助于虚拟的“插板”分配物品的方法称之为插板法。

那么上述问题可以转化为在9个空之中插入6块“插板”，其方法种数为N=C69=84种。这样就大大简化了此类问题的运算量。

例75个相同的小球放入3个不同的盒子，可以有空盒，共有多少种不同的放法？

分析：将5个相同的小球和2个“档板”排成一列，共有C27（或C57）=21种放法。

排列组合应用广泛，题型多变，条件隐晦，思维抽象，得数颇大，不易验证，因而在解这类问题时，要做到排、组分清，加、乘辨明，巧用模型，避免重、漏。

作者简介：桂大军，安徽省淮南市，安徽淮南一中。