轨道交通拥挤传播速率量化模型研究

熊志华，姚智胜

(1.北京交通大学城市交通复杂系统理论与技术教育部重点实验室，北京100044；2.北京市城市规划设计研究院，北京100045)

0 引 言

轨道交通系统因大型活动、突发事件等出现轨道交通车站短时间客流高度集中现象，造成车站拥挤、乘客走行速度缓慢，网络化运营条件又使得其在整个轨道交通网络中传播，影响城市轨道交通系统的正常运营，甚至对轨道交通系统运行安全造成威胁.研究轨道交通大客流传播规律，正确计算突发客流在轨道交通网络中的影响范围，是降低二次事件发生率、减少交通突发事件影响的有效手段之一.

以往研究[1-4，7]表明复杂的轨道交通网络具有典型的无标度特征，可以借鉴复杂网络传播理论来研究轨道交通传播规律[3]，同时超大客流在网络上的传播符合流行病在非均匀网络上传播的规律[2]，借鉴传染病模型来模拟大客流在城市轨道交通网络中的传播规律是可行的[1-7].目前，针对传染病模型中传播速率的量化，李凌燕[1]认为客流的传播主要是由列车运能无法满足大客流运输需求引起的，所以传播速率的取值与运能供需差距有关，取突发大客流下列车缺乏的能力与平图能力的比值对传播速率进行量化.骆晨[2]定义了传播速率的函数关系，其值与站台的容纳能力及换乘客流的大小相关，但进行仿真时，仍然取定值.陈菁菁[3]构建了突发客流在轨道交通网络中传播的SIR模型，但对于传播速率的取值仅取假定值.牛龙飞[4]根据旅客上下车后，站台滞留人数与该站台最大容纳旅客数的相对关系，判断拥挤状态是否能在车站间传播，用两者的比值量化传播速率.曹志超[5]认为在突发大客流条件下，车站各方向运送的是最大运能下的客流，此时传播速率是恒定值，可以用发生拥挤的时间差在持续大客流时间内的比值描述.同样的，刘小霞[6]也根据车站间的客流高峰时间差进行量化，假定在网络列车运营时间内，某站在t1时刻出现了突发客流高峰，t2时刻时它的下一站也出现了客流高峰，此时突发客流高峰拥挤传播速率为(t2-t1)/T，其中，T为列车总运营时间.吴璐[7]用时间算法即拥挤发生时间和总的运营时间之比对传播速率进行大致量化，但建模时仍取定值.

以往采用乘客密度、滞留人数作为评价突发大客流对车站服务水平影响的指标，但这些指标时变并且难于采集，因此在以往仿真、模型评价中很少有对客流影响量化的模型.进行传播速率量化时，列车缺乏能力、站台滞留人数等与客流相关的参数不易直接获取，客流影响在以往研究中难以实施[2-3]，而从时间上量化传播速率模型，要事先知道拥挤传播到下一站的时间，适合于微观仿真.因此，本文重点分析客流量对轨道交通系统拥挤传播的影响并构建其量化传播模型，为后续客流传播机理分析和优化奠定量化基础.

1 轨道交通客流不确定因素分析

轨道交通客流在其线路中传播的不确定因素主要包括候车乘客数量及列车的剩余载客能力.候车乘客数量包含进站客流和换乘客流，而列车的剩余载客能力体现了客流在网络中传播能力.断面客流、车辆的运输能力、发车间隔共同决定了车辆是否能够及时地运输乘客，是否会造成滞留.一旦车辆编组确定，列车的载客能力是固定值，断面客流越大，那么剩余载客能力越小，此时，候车乘客数量越大，拥挤传播的概率越大.

站台区候车乘客量根据车站有无换乘量有所不同，如果只有1条线路连接，站台候车区乘客主要来自于进出站客流，无换乘客流.针对某一线路上的第i个车站，此时，站台区候车乘客为

剩余载客能力为

式中：Pi是第i个车站站台区候车乘客量；Ii是第i个车站进站客流量；Qi是列车到达i站时剩余载客能力；Ci是列车的最大载客量；Vi为列车到达i站之前的断面客流量；Oi为第i个车站出站客流量.

若站台区候车乘客Pi＜Qi，此时，既不存在客流拥挤，也不存在站台客流滞留，因此，突发大客流在该情况下基本未对车站服务能力造成影响.若站台区候车乘客Pi=Qi，此时虽存在一定程度的客流拥挤现象，但随着列车到站，站台客流滞留现象并不存在，因此，对车站服务能力带来的影响将在列车到达时消除.若站台区候车乘客Pi＞Qi，此时站台候车乘客滞留.随着时间的推移，其与后续进入站台的客流相叠加，可能造成新的客流拥挤，因此，突发大客流在该情况下将会随着时间的推移对车站服务能力带来一定的影响，其影响程度随滞留乘客Pi-Qi增大而增大.

换乘站存在不同线路间的客流换乘，此时，产生了两个方向的传播，一个是依旧在本线路传播，另一个是通过换乘站传播至相邻线路.针对某一线路上的第i个车站，j是车站i的第j条线路，本站本线路下车客流一部分出站，另一部分换乘至其他相交线路；同时其他线路的下车客流一部分出站，一部分换乘至本线路.因此，其客流的影响需要叠加起来考虑.此时客流的传播不仅受到进出站客流的影响，同时也受到换乘客流影响.进站客流可能是去往任意一条线路的，而出站客流中不包括下车换乘的客流.

此时站台候车区乘客包括进站客流和换乘客流.其中进站客流分布到不同的站台上，换乘客流来自于不同线路不同方向但是最终都会分布到站台上.本线路站台区候车乘客为

本线路剩余载客能力为

式中：Pij是第i个车站第j条线路站台区候车乘客量；Iij是第i个车站第j条线路进站乘客量；Hij上为第i个车站换乘至第j条线路上的换乘客流量；Qij是列车到达i站第j条线路时剩余载客能力，若只有 1 条线路时，Qi=Qij；Cij是第 j条线路上列车的最大载客量；Vij为列车到达i站之前第j条线路的断面客流量；Oij是第i个车站第j条线路出站乘客量；Hij下是第i个车站从第j条线路上换乘至其他线路的客流量.

某一车站的总进出客流量便于统计，但某一线路的进出站客流Iij和Oij数据获取不易，因此，根据车站i的进出站客流量Ii,Oi，按照线路j的断面客流量比例分配至各线路.如果满足式(5)，则可以判断某车站客流超过列车承载能力.

2 传播速率量化模型

轨道交通网络中有若干条线路，每一线路自身根据发车间隔、运力、上下车乘客数量、车站组织管理等因素有每一线路自身客流传播的规律.根据复杂网络和SIR模型机理，假设轨道交通网络中，有3类车站，第1类运行状态正常的车站，即不受本站大客流影响的车站，用S表示；第2类处于拥挤状态的车站，即一开始不受本站大客流影响，站台不拥挤，后续成为拥挤状态，用I表示；第3类恢复正常状态的车站，即被影响后恢复正常运营的车站，用R表示.h,k是因站点的不同而动态变化的量.SIR模型的离散表达式为

式中：St是t时刻运行状态正常的车站数；It是t时刻处于拥挤状态的车站数；Rt是t时刻恢复正常运行状态的车站数；St+1指t+1时刻将要受到拥挤影响的车站数；It+1指t+1时刻处于拥挤状态的车站数；k表示拥挤状态从一个站点传到另一个站点的速率；h表示拥挤客流消散的速率.

假定初值S0＞0,I0＞0,R0=0,St+It+Rt=N，N为轨道交通网络中的车站数总和，可以推导出式(7).

可以看出，传播速率k和消散速率h是模型中关键的因素，令ρ=h/k.在相平面(S,I)上曲线的最大点在直线S=ρ上，当S0＞ρ时，拥挤的车站数先逐渐增加，达到极值后逐渐下降[8].轨道交通系统中，正常情况下的车站数是较大的，即S0＞ρ，拥挤车站的极大值是I=N-ρ+ρln(ρ/S0).

通过SIR模型可估计车站发生大客流之后造成的拥挤车站数量，如果发生大客流的车站是始发站，拥挤将沿着本线路单向传播；如果是中间站，拥挤将沿着本线向上下行两个方向传播；如果是换乘站，拥挤将通过换乘站的分流传播至相交线路.若列车编组、发车间隔不变的情况下，客流疏散的速率一般是固定的，本文重点量化客流影响下的传播速率，并评价其传播范围.客流传播可以看成是本线路自身传播和换乘站客流传播的叠加体现.客流在站间的传播速率表示客流拥挤在网络中扩散的一个参数.传播速率越大，表明这种客流拥堵状态在网络中传播范围越大.

根据轨道交通客流不确定因素分析，传播速率可以表示为

式中：kij表示第i个车站第j条线路的传播速率；体现了本线路客流影响；是换乘率，体现换乘客流的影响.

拥挤在轨道交通系统中传播是需要时间的，这与传染病传播有所差异，时间t=L，其中，L是标识相邻车站距离，是列车的平均行程车速.客流是随机变化的，由于通常客流数据间隔30 min获取，一般高峰时间列车发车间隔2 min，在此时间间隔内可假定列车向后传播的速率是一致的.

传播速率量化后，SIR模型中的传播速率用式(8)替代，可以判断某车站发生大客流后，拥挤传播的范围，从而为合理启动相关的大客流控制策略，加快客流疏散提供理论基础.

3 实例分析

以北京轨道交通网络为例，选取上地、五道口、知春路、大钟寺4个车站实测数据，统计2013年1月某周一每隔30 min的换乘量，其中，含各线路换乘量、进出站客流量数据和断面客流量，以此为基础研究轨道交通客流的波动性.上地、五道口、大钟寺属于中间站，知春路属于换乘站.断面最大客流为Ci，可通过实测获取，表示列车最大载客量.

根据建立的传播速率量化模型，假设上述4个车站发生大客流时，其对应传播速率如图1所示.不同站点的传播速度因为客流的不确定性有所差异，并不是一个固定的值.另一方面，对于换乘站，其换乘客流交叉对客流传播有显著影响，如知春路车站，在平峰时段其传播速率远高于其他非换乘车站.各车站传播速率在7:00-9:00有明显的波动，此时乘客满载率高，客流大，传播速率较高.晚高峰17:00-19:00也有波动，但显著低于早高峰.从空间上分析，非换乘站高峰与平峰的传播速率差异显著，而换乘站因换乘客流存在，其传播速率的波动性显著小于非换乘站.

假设车站的疏散速率分别为0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，上地车站其不同时间段传播的范围如图2所示.如果不考虑客流，拥挤传播速率取定值0.3，如图中h=0.1～0.6所示，拥挤传播范围是近似直线，取值几乎固定不变.而考虑客流影响如图中0.2～0.6所示，拥挤传播的范围随着时间是变化的，并且在客流高峰时期，传播范围会更远.随着疏散速率的增加，拥挤的范围会显著降低，疏散速率增加到0.6时，本站到达的客流都被疏散了，拥挤车站数降为0.考虑到平峰期拥挤较少出现，认为此时传播速率不超过疏散速率，可以估计疏散速率为0.3左右.此时，在早高峰上地车站拥挤传播的范围最大延伸至车行方向的5个车站.

图1 各车站传播速率示意图Fig.1 The congestion propagation ratio of rail transit stations

图2 某车站拥挤传播范围示意图Fig.2 The congestion propagation range of rail transit station

不同车站拥挤传播的范围根据各站自身的客流特征呈现不同特点，如图3所示.在平峰的各时段，非换乘站几乎不出现客流拥挤现象，传播范围为0；而换乘站知春路在平峰的大部分时间内，仍然具有传播性.而早高峰各站点均有不同程度的拥挤，并且传播至相邻车站，其中五道口传播范围最广，延伸至相邻3个车站，大钟寺拥挤传播范围最小，只影响相邻的1个车站.

图3 不同车站传播范围示意图Fig.3 The congestion propagation range of different rail transit stations

根据上述对同一站点不同客流变化、不同疏散速率研究可以知道在列车编组不变、发车频率不变的情况下，列车的输送能力一般是固定的，根据平峰期较少出现拥挤的实际可以判定，疏散速率可取0.3.在不同的客流条件下，拥挤传播的范围是时变的.早高峰时期，由于客流变化明显，拥挤传播的范围也较大，而在平峰期，非换乘站拥挤传播不显著，而换乘站由于换乘客流的影响，拥挤传播范围显著高于非换乘站，高峰期非换乘站传播范围也会高于换乘站.

4 结论

本文针对客流的不确定性展开其拥挤传播特征的研究，结合北京4个地铁车站实际数据阐述了轨道交通系统拥挤产生的条件，以及拥挤产生后，拥挤传播的范围.与以往研究相比，本文考察的是拥挤传播速率受客流不确定因素影响，量化拥挤传播速率模型.结果表明：轨道交通拥挤传播影响因素很多，包括客流、列车运行间隔、车站换乘方式和线路运输能力等，其中客流因素往往是不确定的、多变的，而其他因素往往是确定的.针对客流的随机变化，量化上下车客流、换乘客流、列车承载力的关系，提出了轨道交通拥挤出现的条件.借助SIR模型确定拥挤传播的影响范围，轨道交通本站上下车客流及换乘客流的变化造成了传播速率的时变性，客流传播范围在时间上表现为高峰期高于平峰期，空间上表现为换乘站影响时间远多于非换乘站.今后需要进一步完善数据，研究不同车站之间的传播共性.

[1]李凌燕.城市轨道交通网络突发大客流传播机理及组织优化[D].成都：西南交通大学,2015.[LI L Y.Sudden passenger flow propagation mechanism analysis and organizational optimization in urban rail transit network[D].Chengdu：Southwest Jiaotong University,2015.]

[2]骆晨,刘澜,牛龙飞.城市轨道交通超大客流网络拥挤传播研究[J].石家庄铁道大学学报(自然科学版),2014,27(2)：83-86.[LUO C,LIU L,NIU L F.The research on the network congestion for large passenger flow of urban rail transit[J].Journal of Shijiazhuang Tiedao University(Natural Science),2014,27(2)：83-86.]

[3]陈菁菁.城市轨道交通网络运营可靠性研究[D].上海：同济大学,2007.[CHEN J J.The study on the operational reliability of the urban transit transportation network[D].Shanghai：Tongji University,2007.]

[4]牛龙飞.城市轨道交通大客流的网络传播特性及运输组织协调研究[D].成都：西南交通大学,2013.[NIU L F.Crowding propagation and organization coordination of urban rail network under large passenger flow[D].Chengdu：Southwest Jiaotong University,2013.]

[5]曹志超.网络条件下城市轨道交通突发大客流演化机理和应急策略研究[D].北京：北京交通大学,2013.[CAO Z C.Unexpected passengerflow evolution mechanism analysis in urban rail transit network and emergency strategy study[D].Beijing：Beijing Jiaotong University,2013.]

[6]刘小霞.城市轨道交通网络突发客流传播影响分析[D].北京：北京交通大学,2011.[LIU X X.Unexpected passenger flow propagation analysis in urban rail transit network[D].Beijing：Beijing Jiaotong University,2011.]

[7]吴璐.城市轨道交通网络突发客流特性及拥挤控制研究[D].成都：西南交通大学,2013.[WU L.Analysis of unexpected passenger demand and resulting congestion in urban rail transit[D].Chengdu：Southeast Jiaotong University,2013.]

[8]徐娟.传染病动力学模型中的阈值[J].新乡学院学报(自然科学版),2012,29(5)：392-395.[XU J.Threshold value of infectious disease dynamic model[J].Journal of Xinxiang University(Natural Science Edition),2012,29(5)：392-395.]