非紧致气动噪声传播的研究进展与分析

刘秋洪, 覃梦阳, 毛义军, 李 波

(1. 西北工业大学, 陕西 西安 710072; 2. 西安交通大学, 陕西 西安 710049)

0 引 言

气动噪声是流体运动以及流体与结构相互作用产生的。声波的产生与传播区域可分为近场、中场和远场三个区域，如图1所示。近场为气动噪声产生和近场传播区域，区域内流动为非线性湍流，存在大的速度和压力梯度，介质运动由可压缩Navier-Stokes(N-S)方程控制，气动声源产生的声波在近场区域内非线性传播。在中场声传播区域内，声波的幅值呈线性变化，但介质非均匀运动，声波在中场的传播可用变系数对流波动方程描述。远场声传播区域内，介质均匀运动，声波的传播过程可由常系数对流波动方程描述。

气动噪声的数值预测的精度与噪声产生机理理论、气动声源数值模拟技术和噪声传播预估方法紧密相关。近20多年来，基于CFD技术的湍流数值模拟方法发展迅速，人们对气动噪声的产生机理有了较为深入的认识，声源的模拟精度也有了大幅提高。由于近场和中场声传播介质及其声学边界条件的复杂性，气动噪声传播的研究进展相对缓慢。大多数学者在对气动噪声传播进行数值预测时，仅考虑气动声源的直接声辐射。这种处理对声学紧致结构(声波波长远大于结构特征尺寸，声波可绕过结构传播)是合适的，而对非紧致结构，声波在向空间辐射的同时，会被结构边界散射。而且，气动声源往往不满足紧致条件(声波波长远大于声源区域特征尺寸)，声波在传播过程中会因介质非均匀运动产生折射效应。这些散射和折射都会改变气动噪声的传播方式，使得声场呈现明显的非紧致声学特征。采用紧致气动噪声传播的计算方法难以准确预测复杂介质中非紧致气动噪声的传播。

1 非紧致气动噪声传播的理论模型

在声传播介质均匀的条件下，Lighthill[1]提出的声比拟理论是描述气动噪声传播的第一个理论模型，其波动方程为:

(1)

式中Lighthill应力张量为:

其中，ρ′=ρ-ρ0，p′=p-p0。假定式(1)中的右端源项预先知道，就可利用自由空间格林函数求解式(1)得到远场声场解，从而解决了均匀无界空间中气动噪声的传播问题。之后众多研究者对声比拟理论进行了研究与发展，Curle[2]将Lighthill理论推广到考虑静止固体边界的影响，Lowson[3]研究了自由空间里一个运动点声源的声场特性，Ffowcs Williams和Hawkings[4]通过引入Heaviside函数考虑了运动固体边界的影响，所得FW-H方程是对Curle 方程的进一步拓展。Goldstein[5]基于广义格林函数公式得到了一个具有普遍意义的声辐射积分方程，可以认为是另一种形式的FW-H方程。

在Goldstein、Ffowcs Williams和Hawkings的声比拟方程中，声场是由四极子源、偶极子源以及单极子源叠加而成。事实上，四极子源才是具有物理意义的实际声源，偶极子源仅是一种等效声源[6]，是固体边界对四极子源的衍射效应。单极子源也是一种等效声源，表现运动边界的速度对声散射的影响[7]。在FW-H方程中，体积分项是四极子声源对声场的贡献，在很多情况下(比如低马赫数流动产生的噪声问题)这部分贡献较小且计算昂贵，因此常常被忽略。Francescantonio[8]和Farassat[9]提出了可渗透边界FW-H方程，采用虚拟的任意积分面替代实际的物理边界，当积分边界完全包括非线性流动区域时，可以避免对体积源项进行积分处理。这种模型成功应用于直升机转子[10]、桨扇噪声[11]的预测。但湍流经过可渗透积分边界会导致非物理的噪声传播，因此需要选择恰当的可渗透积分面，在提高计算效率的同时保证数值预测精度。

FW-H方程在气动噪声传播中的应用广泛，但也存在一些不足之处。FW-H方程是基于可压缩N-S方程的完全恒等变形，理论上要求气动声源的计算必须采用低色散、低耗散和各向同性的高阶离散格式[12-13]求解N-S方程，以获得近场和中场流场中微小的声学量(包括边界声散射量)。在航空领域，流动一般采用低阶离散精度的有限体积法模拟，难以捕获近场流场中的声学脉动。虽然FW-H方程在推导过程中没有要求声学边界必须是紧致的，当流动求解精度不能获取近场声学变量的脉动时，直接应用FW-H方程和自由空间格林函数求解噪声的传播会无法考虑固体边界的声散射。Ffowcs Williams、Hawkings和Goldstein等在采用不同方法推导FW-H方程时，假设固体边界满足声学硬边界条件(声波入射到边界时发生全发射)，不能考虑边界阻抗对声传播的影响。即便是Farassat等提出的可渗透边界FW-H方程也仅是采用虚拟边界求解远场噪声，实际固体边界仍然是无渗透的声学硬边界。对运动介质中的声传播，通常采用均匀运动介质空间的格林函数求解FW-H方程来模拟气动噪声的辐射[14]，而忽略了介质非均匀特性对声传播的折射效应。

流动在声源区域通常存在速度梯度，气动声源产生的声波在近场传播时，起决定性影响的是声源相对于紧临它们周围(大约一个波长左右的范围)的非均匀平均流的运动，而不是相对于无穷远处的均匀介质运动。为了将非均匀平均流的作用包括在Lighthill声比拟理论中，需要建立一个恰当的运动介质波动方程来描述声波辐射过程。Phillips[15]研究了非均匀介质中的声传播，提出了Phillips方程:

(2)

(3)

其中Ψ表示流体黏性和熵脉动的影响，

Phillips、Lilley和Goldstein等人的波动方程与Lighthill方程作为连续方程和动量方程的精确结果彼此之间是相互等价的，差别主要是对这些方程中各项的解释不同。Lighthill方程中，声场和平均流的对流和声折射作用必须通过调整源项来考虑。而源项的调整只有等到该方程被实际求解之后才能实现。在Phillips方程、Lilley方程和Goldstein方程中，声场和平均流的对流和声折射作用在某种程度上从源项移到了波动算子中，从而可以作为解的一部分来计算。平均流速度的变化发生在由非线性方程控制的声源区附近，难以在物理上将平均流与声场的相互作用从发声过程本身中分离出来，甚至难以确定该区域内非定常的哪一部分与声场真的相关。尽管如此，Phillips方程、Lilley方程和Goldstein方程确实能够预测Lighthill方程所没有考虑的某些近场声学特性。把对流与声折射效应包含在波动算子中所付出的代价是方程求解的复杂度大大增加。

2 非紧致气动噪声传播的预估方法

气动噪声传播的定量预估是众多学者关注但又十分棘手的物理问题。工程中的气动噪声往往是非均匀流动与固体相互作用产生，准确预测噪声的传播需要考虑非紧致固体边界的声散射。20世纪90年代之前，对非紧致边界散射气动噪声的研究主要集中在理论研究阶段。近20年来CFD技术飞速发展，在科研和工程领域中得到了广泛应用，为气动声学数值方法的发展提供了有利的条件。依据对声学近场的不同处理方式，气动噪声传播的数值方法可分为计算气动声学(Computational Aeroacoustics, CAA)和混合计算气动声学(Hybrid Computational Aeroacoustics, HCAA)两种方法。前者采用数值方法求解微分方程得到声学变量，后者则采用数值方法求解积分方程得到声学变量。

2.1 理论分析方法

非紧致边界对气动噪声传播的散射研究最先从理论研究开始。众多学者分析了不同几何尺度的边界对气动噪声传播的影响。Curle[2]的研究表明当固体边界的特征尺寸小于声波的波长时，边界散射等效为紧致偶极子源辐射，边界散射将增强声波辐射强度，其强度由典型的四极子“I∝U8定律”[1]转变为I∝U6。Powell[26]对无穷大平板边界进行研究，平板边界对声波的散射表现为纯粹的反射作用，等效于四极子声源的镜像分布，“I∝U8定律”仍然适用。Ffcows Williams和Hall[27]研究了0厚度的半无穷大平板声散射，结果显示尾缘散射增强了四极子声源的辐射，并表现出I∝U5特征。Crighton[28]进一步对尖劈的声散射进行研究，分析表明当边界的几何尺寸和声波的波长相当时，I∝U4+2q/p，其中(p/q)π为尖劈的角度。Davies[29]分析了球体对不同类型声源的散射影响，结果表明声学紧致硬球体边界对任意类型声波的散射体现出偶极子特征，当球体结构趋近无穷大时得到和Powell相同的结论。理论研究使得边界散射对气动噪声传播的影响逐渐明晰，但是其局限性是只能针对简单几何结构的边界进行定性分析。

2.2 CAA方法

噪声在传播过程中产生频散和耗散都很小，与流动引起的参数波动相比，声学波动量在数量级上要小得多，因此计算过程中采用的数值方法本身必须具有非常低的数值频散和耗散，从而确保声波在介质中的正确传播。另一方面，数值模拟总在一定的区域范围内进行，为保证声波在计算区域的开放边界上能无反射的正确传播，就需要采用恰当的无反射边界条件。因此高精度时空离散格式[30-31]和无反射边界条件[32-33]是CAA方法的核心问题。

根据微分方程性质的不同，CAA方法又分为两种。一是直接采用高精度时空离散格式和无反射边界条件对N-S方程进行数值求解(Direct Numerical Simulation, DNS)，从而同时得到近场和中场的流场解和声场解[34-35]。另一种方法首先采用湍流模型和低精度时空离散格式求解N-S方程得到平均流信息和声源数据，然后利用线化Euler方程(Linear Euler Equation, LEE)[36,37]求解声波的传播。CAA方法的优点是能够同时考虑非紧致边界的声散射和非均匀介质的声折射与对流效应，缺点是需要消耗大量的计算资源。CAA方法多应用于近场和中场的声学求解，声学远场的求解一般采用HCAA方法。

近年来，高阶精度时空离散格式的流动模拟技术得到了快速发展，如高精度有限差分方法[38]、间断有限元方法[39-40]、谱体积方法[41]和谱差分方法[42]等，有效推动了CAA的应用。文献[43]主要介绍了hp型谱元方法的最新进展及其在流动动力学中的应用。文献[44]对中国空气动力研究与发展中心近年来在高精度流动数值模拟方面的研究工作进行了总结。李晓东等[45]围绕高精度时空离散格式和无反射边界条件对CAA早期进展及应用情况进行了综述，详细讨论了近年来CAA技术的研究热点，包括非线性无反射边界条件、非均匀步长时间推进方法、适用于复杂几何边界的空间离散方法以及宽频时域阻抗边界条件，认为先进的湍流模拟技术、精确的人工边界条件、基于平均流的CAA预测方法和高效的并行计算方法是未来CAA需要重点研究的方向。

2.3 HCAA方法

HCAA是迄今为止工程应用中最受欢迎的气动噪声分析方法[46]。该方法先采用湍流模型和低精度时空离散格式求解N-S方程获得气动声源信息，然后利用Kirchhoff方法[47]、声比拟理论[1-5]或涡声理论[20,21]求解声传播。Kirchhoff方法由线性波动方程推导得到，对积分面位置十分敏感，严格要求积分面完全包括非线性流动区域。涡声理论能从物理上清晰地解释流体运动诱发气动噪声的机理，认为涡是流动发声的根本原因。为了准确地捕捉涡结构需要较为精细的网格，而且涡声理论多应用于低马赫数流动产生的气动噪声问题。声比拟理论对网格尺度和积分面的选择没有太多限制，在预测低马赫数流动的噪声时可忽略体积分，仅需计算物面积分即可获得远场噪声，因而成为目前工程上应用最广泛的声传播预估方法[48]。

直接应用FW-H方程和自由空间格林函数预测非紧致边界与流动相互作用诱发的气动噪声，需要采用高阶时空离散格式求解N-S方程，以获得流场中微小的声学脉动量，比如Gloerfelt[49]等对亚声速方腔流动噪声的数值预测。采用有限体积法模拟流场难以捕获准确流场中微小的声学脉动，需要在声传播计算的过程中进一步考虑非紧致结构对声波的散射作用。近十年来，众多学者对此开展了多种计算方法研究，主要包括有限元法、边界元法、和精确格林函数法。

2.3.1 有限元法

基于Lighthill波动方程变分形式的有限元法能模拟声波从近场到远场的传播过程，能考虑非紧致结构的声散射和非均匀介质的声折射。Oberai[50-51]在给定物理空间内构造了以声压为未知变量的变分表达式，结合有限元方法研究了低马赫数流动的翼型尾缘噪声。Ali等[52]采用有限元方法求解Lighthill声比拟方程并研究方形柱体的时域噪声。Link等[53]采用有限元方法研究了二维流体、固体和声波相互接触系统中的噪声传播问题。但有限元法也面临一些CAA方法中遇到的难题，比如：对外部声学问题的开放边界，需要采用无反射边界条件以满足远场声辐射的Sommerfeld声学边界条件；需要离散整个求解域，从而限制了远场噪声的求解。

2.3.2 边界元法

边界元方法适用于均匀介质中的声传播，该方法仅需离散非紧致边界，相比于有限元方法具有更高的计算精度和效率，因而被广泛地用于气动噪声的数值预测。Monoha等[54]采用Lighthill声比拟方程和边界元方法对钝体绕流的气动噪声数值进行计算。Ostertag[55]采用RANS方法计算机翼的流动，后结合边界元数值计算机翼尾缘噪声。Khalighi[56]基于边界积分方法发展了一种可以考虑任意结构气动噪声的积分计算方法，并对低马赫数钝体绕流气动噪声进行了数值预测。Schram[57]将流场压力脉动分解为流体运动脉动分量和声学扰动脉动分量，并利用边界积分方法计算非紧致结构气动噪声，但边界积分方程的推导过程存在错误之处；毛义军[7]改进了Schram的边界积分方法。遗憾的是，Schram、毛义军及Khalighi的研究工作都是基于流体不可压缩的前提开展的，忽略了流体的可压缩性对声场的影响。王芳[58]等进一步将密度的脉动分解为流体运动脉动分量和声学扰动脉动分量，建立了一种能应用于可压缩流动的气动噪声积分方法。

复杂结构表面往往存在尖角或者凹形区域，采用边界元方法计算声散射存在固体角函数计算不准确、边界积分具有奇异性等数值问题。采用加密网格单元的方法可以避免这些数值误差而提高声散射的计算精度，却导致计算效率的下降。提高计算效率的一种办法就是采用光滑的可渗透积分边界代替物面边界，比如：Pilon等[59]基于Kirchhoff积分方法和FW-H方程对气动噪声进行计算，Orselli[60]采用可渗透边界FW-H方程数值模拟圆柱绕流气动噪声，Gloerfert等[49]利用可渗透边界开展了二维方腔流动噪声数值预测。这些研究工作表明可渗透边界可以简化气动噪声数值计算的复杂度，但对流场的计算精度提出了更高的要求。另一种提高计算效率的方法是快速多极边界元方法。快速多极方法[61]对积分核函数引入多极扩展，将源点和场点分离，用节点集之间相互作用取代节点之间一对一计算，使计算量和存储量大幅减少。Wolf[62-64]结合快速多极边界元方法和FW-H方程，数值计算了圆柱、翼型和机翼绕流的气动噪声。

由于非紧致边界对不同频率声波的散射效果不同，频域下气动噪声传播的预测一般采用单频计算，需要消耗大量计算时间。对多频计算问题，Kirkup[65]提出了一种级数展开方法，Li[66]和Wang[67]等利用这种级数展开方法进行了噪声计算，毛义军等[68]改进了级数展开方法，进一步提高了计算效率。

2.3.3 精确格林函数法

如果将非紧致边界的声散射和非均匀运动介质的声折射计入格林函数，那么就可以直接采用该格林函数求解声比拟方程。这种满足声学边界条件的格林函数称为精确格林函数。规则空间的精确格林函数可通过理论解析法获得，Ffcows Williams和Hall[27]、Crighton[28]、Davies[29]等对半无穷大平板、尖劈和球的声散射等问题推导了精确格林函数的解析解。此外，Howe[69]采格林函数研究了翼型声散射的解析解，Gloerfelt等[6]基于自由空间格林函数级数解[70-71]推导了刚性边界条件下的圆柱散射格林函数精确解，Moreau[72-73]对简化机翼的平板模型等规则结构构造了格林函数的理论解等。

任意空间的精确格林函数则需采用数值方法求解。Hu和Jones[74-76]采用谱边界元方法计算精确格林函数；然后基于函数逼近理论，采用切比雪夫多项式和时域基函数分别构造了频域和时域格林函数的积分解，并将其应用于气动噪声的数值预测。Venditti等[77]采用谱边界元方法计算精确格林函数数值解，并结合Kirchhoff方程对风扇噪声进行了研究。Takaishi等[78]则基于声学互易定理采用边界元方法计算精确格林函数，结合涡声理论对圆柱绕流噪声进行计算。Bonamy[79]借助于光学中的Huygens原理计算精确格林函数，以此对固体与流动相互作用的气动噪声进行研究。在国内，刘秋洪等[80]和李晓东[14]等对精确格林函数的数值计算方法均有研究。采用精确格林函数研究非均匀运动介质中的声传播相对较少，Karabasov等[81-82]采用伴随格林函数对射流噪声在非均匀介质中的传播进行过研究，但没有考虑固体边界的声散射。

在采用边界元法计算精确格林函数时，对位于边界层内的声源需要特殊处理。对如图3所示的声散射问题，假定介质均匀静止，固体边界为声学硬边界。传统边界元方法的计算频域精确格林函数G(x,y,ω)的公式为:

G(x,y,ω)=Gk(x,y,ω)+

(4)

式中Gk(x,y,ω)为频域自由空间格林函数，ω为圆频率。如果声源点y与某网格单元z的距离远小于该网格单元的尺度时，Gk(z,y,ω)不能做常数处理，即网格单元不再是常单元，此时需要加密网格以提高计算精度。

根据互易定理，精确格林函数还可以采用下式计算:

G(x,y,ω)=Gk(x,y,ω)+

(5)

但当y→z时Gk(z,y,ω)仍不能做常数处理，使得积分存在强近似奇异性。利用Laplace方程的频域基本解G0(z,y)可将上式改写为:

G(x,y,ω)=Gk(x,y,ω)+

(6)

其中Gk-0(z,y,ω)=Gk(z,y,ω)-G0(z,y)。式(6)中右端第一个积分项将变为弱近似奇异性，可直接采用Gauss积分方法计算，而右端第二个积分项可借助于解析的方法进行积分，从而避免网格加密问题。

2.3.4 半空间边界的声散射

飞行器在起飞、降落或者低空飞行阶段，产生声波到达地面时会被地面散射。可将地面简化为半空间边界，与直接声辐射相比，半空间边界的散射不容忽视。如果直接采用基于自由空间格林函数的边界元方法求解半空间硬边界的声散射，为保证计算精度，半空间边界的离散需要大量的网格[83]，导致计算效率低下。采用基于镜像源方法的半空间格林函数可有效降低计算量[84]。Mille[85]和刘秋洪等[86]采用半空间格林函数和FW-H方程分别研究半空间射流噪声和圆柱绕流噪声，但没有考虑非均匀介质的声折射和半空间边界的阻抗特性。

对具有阻抗特性的半空间边界声散射，工程中常用Weyl-van der Pol公式[87]分析声传播，但是该公式仅仅是一个近似的处理方法。Ochmann[88]借助Sommerfeld的复等效源方法,采用构造了半空间阻抗边界条件下的格林函数积分解，Wu等[89]将其方法应用到快速多级边界元方法中。但Ochmann的方法针对的仍然是均匀静止介质中的声传播问题，且尚未见其应用于气动噪声的研究。到目前为止，同时考虑阻抗地面声散射、半空间中非紧致阻抗边界声散射和非均匀介质声折射的气动噪声传播计算方法还亟待进一步研究。

3 总结与展望

HCAA方法在气动噪声预测中应用广泛，国内外对气动噪声产生机理和气动声源数值模拟的研究取得了巨大进步，但对噪声在复杂介质中的传播机制研究不够深入，现有理论模型和数值方法不能实现气动噪声传播的定量预测，严重阻碍了HCAA方法在工程中的应用。问题主要体现在：声学阻抗边界在气动噪声问题中广泛存在，FW-H方程在推导过程中假设固体边界满足声学无渗透边界条件，不能考虑阻抗边界对声传播的散射作用；工程领域的气动噪声问题具有相对较宽的频率范围，尽管快速多极边界元方法计算效率高，但仍不满足多频气动噪声的计算需求；对非均匀介质中的声传播，一般难以获得用于求解对流波动方程的格林函数的解析解，Tam的伴随格林函数模型尽管具有计算量小的优点，但目前仅应用于固体边界不起主要作用的气动噪声传播问题；对半空间中的气动噪声传播，一般假设半空间边界为声学硬边界，忽略了半空间边界阻抗特性的影响，更没有考虑非均匀阻抗特性对声传播的作用。

为提高气动噪声传播的数值预测精度，就必须对气动噪声在复杂介质中的传播问题进行深入研究。可从以下几个方面入手开展研究工作：对可渗透固体边界施加阻抗边界条件，重新推导类似FW-H方程的积分方程；将多频级数展开方法引入快速多极边界元，建立更高效的快速多极边界元方法；采用高阶时空离散格式和无反射边界条件求解满足线化N-S方程的格林函数波动方程，研究非均匀运动介质空间的声传播；利用Ochmann提出的半空间格林函数构造方法，重新构建边界积分方程，研究半空间边界非均匀阻抗特性对声传播的影响；从湍流模型、无反射边界条件和高精度离散格式等各方面入手大力发展CAA方法。

参 考 文 献：

[1]Lighthill M J. On sound generated aerodynamically. I. General theory[J]. Proceedings of the Royal Society of London, Series A: Mathematical and Physical Sciences, 1952, 211(1107): 564-587.

[2]Curle N. The influence of solid boundaries upon aerodynamic sound[J]. Proceedings of the Royal Society A, 1955, 231(1187): 505-514.

[3]Lowson M V. The sound field for singularities in motion[J]. Proceedings of the Royal Society of London, 1965, 286(1407): 559-572.

[4]Ffowcs Williams J E, Hawking D L. Sound generation by turbulence and surfaces in arbitrary motion[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society, 1969, A264: 321-342.

[5]Goldstein M E. Aeroacoustics[M]. New York: McGraw-Hill International Book Co., 1976: 305.

[6]Gloerfelt X, Pérot F, Bailly C, et al. Flow-induced cylinder noise formulated as a diffraction problem for low Mach numbers[J]. Journal of Sound & Vibration, 2005, 287(1):129-151.

[7]Mao Y J. Development of acoustic analogy for low Mach numbers flow and its applications[D]. Xi’an: Xi’an Jiaotong University, 2010. (in Chinese)毛义军. 低马赫数流动中声比拟理论的拓展及其应用研究[D]. 西安: 西安交通大学, 2010.

[8]Francescantonio P D. A new boundary integral formulation for the prediction of sound radiation[J]. Journal of Sound and Vibration, 1997, 202(4): 491-509.

[9]Brentner K S, Farassat F. An analytical comparison of the acoustic analogy and Kirchhoff formulation for moving surfaces[R]. NASA TR 1379-1386. 1997.

[10]Farassat F. Theory of noise generation from moving bodies with an application to helicopter rotors[R]. NASA TR R-451, 1975.

[11]Farassat F. A numerical technique for calculation of the noise of high speed propellers with advanced blade geometry[R]. NASA TP-1662, 1980.

[12]Bailly C, Juvé D. Numerical solution of acoustic propagation problems using linearized Euler equations[J]. AIAA Journal, 2012, 38(1):22-29.

[13]Bogey C, Bailly C. A family of low dispersive and low dissipative explicit schemes for flow and noise computations[J]. Journal of Computational Physics, 2004, 194(1): 194-214.

[14]BaiB H, Li X D, Guo Y P. Prediction of slat broadband noise with RANS results[R]. AIAA 2015-2671, 2015.

[15]Phillips O M. On the generation of sound by supersonic turbulent shear layers[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1960, 9(1): 1-28.

[16]Doak P E. Analysis of internally generated sound in continuous materials: 2. A critical review of the conceptual adequacy and physical scope of existing theories of aerodynamic noise, with special reference to supersonic jet noise[J]. Journal of Sound and Vibration, 1972, 25(2): 263-335.

[17]Lilley G M. Generation of sound in a mining region[M]. Bethesda: Lockheed Aircraft Company, 1969.

[18]Möhring W. Modeling low Mach number noise[M]//Muller E A, edited. Mechanics of sound generation in flows. Springer, 1979.

[19]Doak P E. A new view of sound generation and propagation in flows[M]//Muller E A, edited. Mechanics of sound generation in flows, Springer, 1979.

[20]Powell A. Theory of vortex sound[J]. Journal of the Acoustic Society of America, 1964, 36: 177-195.

[21]Howe M S. The generation of sound by aerodynamic sources in an inhomogeneous steady flow[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1975, 67(3): 597-610.

[22]Goldstein M E. A generalized acoustic analogy[J]. Journal of Fluid Mechanics, 2003, 10(488): 315-333.

[23]Tam C K W, Auriault L. Mean flow refraction effects on sound radiated from localized sources in a jet[J]. Journal of Fluid Mechanics, 2002, 370: 149-174.

[24]Tam C K W, Auriault L. Jet mixing noise from fine-scale turbulence[J]. AIAA Journal, 1999, 37(2): 145-153.

[25]Tam C K W, Pastouchenko N N. Noise from fine-scale turbulence of nonaxisymmetric jets[J]. AIAA Journal, 2002, 40(3): 456-464.

[26]Powell A. Aerodynamic noise and the plane boundary[J]. The Journal of the Acoustical Society of America, 1960, 32(8): 982-990.

[27]Ffowcs J E, Hall L H. Aerodynamic sound generation by turbulent flow in the vicinity of a scattering half plane[J]. Journal of Fluid Mechanics. 1970, 40(4): 657-670.

[28]Crighton D G, Leppington F G. On the scattering of aerodynamic noise[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1971, 46(3): 577-597.

[29]Davis H G. The radiated fields of multipole point sources near a solid sphere surfaces[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1970, 40(3): 597-606.

[30]Tam C K W, Webb J C. Dispersion-relation-preserving finite difference scheme for computational acoustics[J]. Journal of Computational Physics, 1993, 107(2): 262-281.

[31]Hu F Q, Hussaini M Y, Manthey J L. Low-dissipation and low-dispersion Runge-Kutta schemes for computational acoustics[J]. Journal of Computational Physics, 1996, 124(1): 177-191.

[32]Hu F Q, Li X D, Lin D K. Absorbing boundary conditions for nonlinear Euler and Navier-Stokes equations based on the perfectly matched layer technique[J]. Journal of Computational Physics, 2008, 227: 4398-4424.

[33]Lin D K, Li X D, Hu F Q. Absorbing boundary condition for nonlinear Euler equations in primitive Variables based on the perfectly matched layer technique[J]. Computers and Fluids, 2011, 40: 333-337.

[34]Ikeda T, Atobe T, Takagi S. Direct simulation of trailing-edge noise generation from two-dimensional airfoils at low Reynolds numbers[J]. Journal of Sound and Vibration, 2012, 331: 556-574.

[35]Seo J H, Moon Y J, Shin B R. Prediction of cavitating flow noise by direct numerical simulation[J]. Journal of Computational Physics, 2008, 227(13): 6511-6531.

[36]Tam C K W. Computationalaeroacoustics: A wave number approach[M]. London: Cambridge University Press, 2012.

[37]Bogey C, Bailly C, Juvé D. Computation of flow noise using source terms in linearized Euler′s equations[J]. AIAA Journal, 2002, 40(2): 235-243.

[38]Sun Z S, Luo L, Ren Y X, et al. A sixth order hybrid finite difference scheme based on the minimized dispersion and controllable dissipation technique[J]. Journal of Computational Physics, 2014, 270: 238-254.

[39]Panourgiasa K T, Ekaterinarisb J A. A nonlinear filter for high order discontinuous Galerkin discretizations with discontinuity resolution within the cell[J]. Journal of Computational Physics, 2016, 236: 234-257.

[40]Ferrer E. An interior penalty stabilised incompressible discontinuous Galerkin-Fourier solver for implicit large eddy simulations[J]. Journal of Computational Physics, 2017, 348: 754-775.

[41]Sawaki Y, Haga T, Ogino Y, et al. Improved spectral volume method for hybrid unstructured mesh[R]. AIAA 2016-1327.

[42]Liu Y, Vinokur M, Wang Z J. Discontinuous spectral difference method for conservation laws on unstructured grids[J]. Journal of Computational Physics, 2006, 216: 780-801.

[43]Xu H, Cantwell C D, Monteserin C, et al. Spectral/hp element methods: Recent developments, applications, and perspectives[J]. Journal of Hydrodynamics, 2018, 30(1):1-22.

[44] Zhang H X, Zhang L P, Zhang S H, et al. Some recent progress of high-order methods on structured and unstructured grids in CARDC[J]. Computers and Fluids, 2017, 154: 371-389.

[45]Li X D, Jiang M, Gao J H, et al. Progress and prospective of computational aeroacoustics[J]. Sci Sin-Phys Mech Astron, 2014, 44: 234-248. (in Chinese)李晓东, 江旻, 高军辉, 等. 计算气动声学进展与展望[J]. 中国科学: 物理学 力学 天文学, 2014, 44: 234-248.

[46]Bailly C, Bogey C, Gloerfelt X. Some useful hybrid approaches for predicting aerodynamic noise[J]. Comptes rendus-Mécanique, 2005, 333(9): 666-675.

[47]Farrssat F. The Kirchhoff formula for moving surfaces in aeroacoustics-the subsonic and supersonic cases[R]. NASA TM-110285, 1996.

[48]Wang M, Freund J B, Lele S K. Computational prediction of flow-generated sound[J]. Annual Review of Fluid Machines, 2006, 38: 483-512.

[49]Gloerfelt X, Bailly C, Juve D. Direct computation of the noise radiated by a subsonic cavity flow and application of integral methods[J]. Journal of Sound and Vibration, 2003, 266: 119-146.

[50]Oberai A A, Roknaldin F, Hughes T J R. Computational procedures for determining structural-acoustic response due to hydrodynamic sources[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2000, 190: 345-361.

[51]Oberai A A, Roknaldin F, Hughes T J R. Computation of Trailing- edge noise due to turbulent flow over an airfoil[J]. AIAA Journal, 2002, 40(11): 2206-2216.

[52]Ali I, Escobar M, Kaltenbacher M, et al. Time domain computation of flow induced sound[J]. Computer and Fluids, 2008, 37: 349-359.

[53]Link G, Kaltenbacher M, Breuer M, et al. A 2D finite-element scheme for fluid-solid-acoustic interactions and its application to human phonation[J]. Computer Methods in Applied Mechanics & Engineering, 2009, 198(41-44): 3321-3334.

[54]Monoha E, Elias G, Troff B, et al. Towards the use of boundary element method in computational aeroacoustics[J]. AIAA J, 1999, 16 (3) :34-38.

[55]Ostertag J S D, Celic A, Wagner S. Trailing-edge noise prediction by satin on the basis of steady RANS solutions[R]. AIAA 2002-2471, 2002.

[56]Khalighi Y, Mani A, Ham F, et al. Prediction of sound generated by complex flows at low Mach number regimes[J]. AIAA Journal, 2010, 48(2): 306-316.

[57]Schram C. A boundary element extension of Curle’s analogy for non-compact geometries at low-Mach numbers[J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 322: 264-281.

[58]Wang F, Liu Q H, Cai J S. A unified aeroacoustic computational integral method of noise radiation and scattering with noncompact bodies[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2013，34(11): 2482-2491.(in Chinese)王芳, 刘秋洪, 蔡晋生. 非紧致结构气动噪声辐射散射统一积分计算方法[J]. 航空学报, 2013, 34(11): 2482-2491.

[59]Pilon A R, Lyrintzis A S. Integral methods for computational aeroacoustics[R]. AIAA 97-0020, 1997.

[60]Orselli R M, Meneghini J R, Saltara F. Two and three-dimensional simulation of sound generated by flow around a circular cylinder[R]. AIAA 2009-3270, 2009.

[61]Greengard L,Rokhlin V. A fast algorithm for particle simulations[J]. Journal of Computational Physics, 1987, 73: 325-348.

[62]Wolf W R, Lele S K. Acoustic analogy formulations accelerated by fast multipole method for two-dimensional aeroacoustic problems[J]. AIAA Journal, 2010, 48(10): 2274-2285.

[63]Wolf W R, Lele S K. Aeroacoustic integrals accelerated by fast multipole method[J]. AIAA Journal, 2011, 49(7): 1466-1477.

[64]Wolf W R, Lele S K. Wideband fast multipole boundary element method: Application to acoustic scattering from aerodynamic bodies[J]. International Journal for numerical methods in Fluids, 2011, 67: 2108-2129.

[65]Kirkup S M, Henwood D J. Methods for speeding up the boundary element solution of acoustic radiation problems[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 1992, 114(3): 374-380.

[66]Li S. An efficient technique for multi-frequency acoustic analysis by boundary element method[J]. Journal of Sound and Vibration, 2005, 283(3-5): 971-980.

[67]Wang Z, Zhao Z G, Liu Z X, et al. A method for multi- frequency calculation of boundary integral equation in acoustics based on series expansion[J]. Applied Acoustics, 2009, 70(3): 459-468.

[68]Zhang Q L, Mao Y J, Qi D T, et al. An improved series expansion method to accelerate the multi-frequency acoustic radiation prediction[J]. Journal of Computational Acoustics, 2015, 23(1): 1450015.

[69]Howe M S. Edge-source acoustic Green’s function for an airfoil of arbitrary chord, with application to trailing-edge noise[J]. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 2001, 54: 139-155.

[70]Roger M, Moreau S. Back-scattering correction and further extensions of Amiet’s trailing-edge noise model. Part I: theory[J]. Journal of Sound and Vibration, 2005, 286: 477-506.

[71]Morse P M, Ingard K U, Stumpf F B. Theoretical acoustics[J]. Physics Today, 1969, 22(5): 98-99.

[72]Morris P J. The scattering of sound from a spatially distributed axisymmetric cylindrical source by a circular cylinder[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1995, 97(5): 2651-2656.

[73]Moreau S, Roger M. Back-scattering correction and further extensions of Amiet’s trailing-edge noise model. Part II: application[J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 323: 397-425.

[74]Hu F Q, Guo Y P, Jones A D. On the computation and application of exact green′s function in acoustic analogy[R]. AIAA 2005-2986, 2005.

[75]Jones A, Hu F. An investigation of spectral collocation boundary element method for the computation of exact green’s function in acoustic analogy[R]. AIAA 2006-2636, 2006.

[76]Jones A D, Hu F Q. A three-dimensional time-domain boundary element method for the computation of exact green’s function in acoustic analogy[R]. AIAA 2007-3479, 2007.

[77]Venditti D, AitAliYahia D, Robichaud M, et al. Spectral-element/Kirchhoff method for fan-tone directivity calculations[R]. AIAA 2005-2926, 2005.

[78]Takaishi T, Miyazawa M, Kato C. Computational method of evaluating non-compact sound based on vortex sound theory[J]. The Journal of Acoustical Society of America, 2007, 121: 1353-1361.

[79]Bonamy C, Jordan P, Gervais Y. Tailored near-field Green’s functions for arbitrary geometries[J]. The Journal of the Acoustical Society of America, 2010, 128(5): 2581-2588.

[80]Song Y H, Qin H, Liu Q H. Computational method of aerodynamic noise induced by airflow over non-compact boundary[J]. Noise and Vibration Control, 2015, 35(1): 52-57.(in Chinese)宋亚辉, 秦浩, 刘秋洪. 非紧致边界气动噪声数值预测方法[J]. 噪声与振动控制, 2015, 35(1): 52-57.

[81]Markesteijn A, Karabasov S. Acoustic wave focusing by non-uniform mean flow in a rectangular duct with viscous walls[J]. International Journal of Aeroacoustics, 2013, 13(1): 183-206.

[82]Karabasov S A, Afsar M Z, Hynes T P, et al. Jet Noise: Acoustic analogy informed by large eddy simulation[J]. AIAA Journal, 2010, 48: 1312-1325.

[83]Pang C B, Wang F, Cai J S, et al. A numerical method of predicting the aerodynamic noise in a half-space with ground effects[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2014, 35(3): 666-673.(in Chinese)庞川博, 王芳, 蔡晋生, 等. 考虑地面影响的半空间气动噪声数值计算方法[J]. 航空学报, 2014, 35(3): 666-673.

[84]Fawcett J A. A method of images for a penetrable acoustic waveguide[J]. Journal of Acoustical Society of America, 2003, 113: 194-204.

[85]Miller S A E. The prediction of jet noise ground effects using an

acoustic analogy and a tailored Green’s function[J]. Journal of Sound & Vibration, 2014, 333(4): 1193-1207.

[86]Wang F, Cai J S, Liu Q H. Aerodynamic noise calculations of ground effect based on tailored Green’s function[J]. Journal of Aircraft, 2015, 52(1):21-30.

[87]Lui W K, Li K M. The scattering of sound by a long cylinder above an impedance boundary[J]. The Journal of the Acoustical Society of America, 2010, 127(2): 664-674.

[88]Ochmann M. The complex equivalent source method for sound propagation over an impedance plane[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 2004, 116(6):3304-3311.

[89]Wu H J, Liu Y J, Jiang W K, et al. A fast multipole boundary element method for three- dimensional half-space acoustic wave problems over an impedance plane[J]. International Journal of Computational Methods, 2015, 12(1):1113-210.