换元法在解方程中的应用

2018-06-28李志若

考试周刊 2018年53期

关键词：解方程

摘要：换元法是初中数学非常重要的思想方法，在解方程时有着极为广泛的应用，本文根据方程自身的结构特点，举例说明换元法解方程的常见类型。

关键词：换元法；解方程；方法特点

换元法是初中数学非常重要的思想方法，在解方程时有着极为广泛的应用，本文根据方程自身的结构特点，举例说明换元法解方程的常见类型，供大家参考。

一、直接换元

例1 解方程xx-12-2xx-1-15=0

解：设xx-1=y，则原方程可化为y2-2y-15=0，解得y1=-3，y2=5。当y=-3，y=5。当y=-3时，xx-1=-3，解得x=34；当y=5时，xx-1=5，解得x=54。经检验，x1=34，x2=54是原方程的根。

二、配方换元

例2 解方程2x2+1x2-3x+1x=1

解：原方程配方，得2x+1x2-3x+1x-5=0。设x+1x=y，则2y2-3y-5=0。

解得y1=-1，y2=52。当y=-1时，x+1x=-1即x2+x+1=0.因为Δ=12-4×1×1=-3<0，所以方程x2+x+1=0无实数根。当y=52时，x+1x=52时，即2x2-5x+2=0。解得x1=2，x2=12。经检验，x1=2，x2=12是原方程的根。

三、倒数换元

例3 解方程

解：设x2+1x+1=y，则原方程可化为y+2y-3=0。去分母，整理，得y2-3y+2=0，解得y1=1，y2=2。当y=1时，x2+1x+1=1，即x2-x=0。解得x1=0，x2=1。当y=2时，x2+1x+1=2，即x2-2x-1=0。解得x3=1+2，x4=1-2.经检验，x1=0，x2=1，x3=1+2，x4=1-2都是原方程的根。

四、变形换元

例4 解方程4x2-2x+22x2-x+2=1

解：原方程可变形为2（2x2-x+2）+22x2-x2-5=0。

设2x2-x+2=y，则原方程可化为2y+2y-5=0。去分母，整理，得2y2-5y+2=0。解得y1=2，y2=12。当y=2时，2x2-x+2=2，即2x2-x=0。解得x1=0，x2=12。当y=12时，2x2-x+2=12，即4x2-2x+3=0。因为Δ=（-2）2-4×4×3=-44<0，所以方程4x2-2x+3=0无实数根。经检验，x1=0，x2=12是原方程的根1x2+11x-8+1x2+2x-8+1x2-13x-8=0

五、部分换元

部分换元之后，一般方程还剩下两个未知数

例5 解方程2x2-x-2xx2+x-1+1=0

分析：方程变形：3x2-（x2+x-1）-2xx2+x-1=0，方程可进行部分換元，设y=x2+x-1，方程整理可得3x2-2xy-y2=0，可解得y=-3x，y=x，再代入y=x2+x-1，求出方程的解并检验。

例6 解方程

1x2+11x-8+1x2+2x-8+1x2-13x-8=0。

分析：设y=x2+2x-8 方程整理可得y2-4xy-45x2=0，解得，再代入y=x2+2x-8中，求出方程的解并检验。

六、系数对称方程换元

例7 解方程：6x4+5x3-38x2+5x+6=0

分析：方程6x4和6，5x3和5x的系数相等，上面方程的系数是对称的，可以通过变形后，换元：变形：6x2+5x-38+5x+6x2=0，

6（x+1x）2+5（x+1x）-50=0，

总之，换元法在解方程中是一种常用的方法，特别是解特殊方程中经常能产生事半功倍的效果。