应用逆向思维创新中学数学课堂教学

摘要：逆向思维是创新思维的特定表达方式，在中学数学课堂教学中，教师应鼓励广大学生针对相同数学问题从不同角度分析思考，本着求同存异，大胆革新科学态度，帮助学生应用逆向思维分析和解决问题，加强他们解决疑难杂症能力，有效克服个别学生对数学认知恐惧感，从而培养学生创新意识和求知精神。

关键词：课堂教学；逆向思维；创新精神；有效训练

新课程改革已经实施多年，学生逐步成为课堂教学主角，教师也慢慢变成课堂教学辅导员，但这种角色转变反而对教师要求越来越苛刻、严格，如何更好培养学生学习兴趣，也成为摆在未来教育家面前研究课题，这就要求我们大胆创新，勇于实践，积极转变陈旧思维，广泛汲取科学经验和教训，以加强学生发散思维能力为着力点，培养学生爱动脑、善动脑的好习惯，而逆向思维作为创新思维的特定表达方式，若能在课堂教学中应用，必将提升学生接受水平，对教师构建宽松、和谐、高效课堂也大有裨益。

一、 课堂教学实施逆向思维现状

（一） 逆向思维研究的重要意义

所谓逆向思维，就是對一些俗语、成语或者公认的定义、道理进行反向推理，得出相反观点。数学是鲜活的。而逆向思维作为数学催化剂，其特点主要体现在：分门别类进行探索研究，当某一想法停顿时，能够准确有效地通过归纳推理迁移到另一种思路上，逐步形成逆向思维，从而帮助和指导同学们更好感悟、理解数学本源问题，提升数学核心素养。

（二） 阻碍学生逆向思维的表现

1. 缺乏显而易见的逆向联想

由于同学们在求学中，往往进行大量的题海训练，忽视了逆向思维的发散，因而造成了片面的思维定式和不良的思考习惯。比如：“1，0，-1的立方根分别是”，学生回答非常轻松；但对“若一个实数的立方根是它本身，则这个数是”这一题，却只有少数学生才能完全填对。像这些显而易见的问题，在课堂教学中不胜枚举，但学生解答起来却很生疏。

2. 混淆重要定理的正逆关系

对于互逆数学命题，学生常把条件与结论搞混。比如在勾股定理逆定理的运用中就有这样一个问题：在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，那么△ABC是直角三角形吗？学生运用勾股定理，理由是因为AC2+ BC2= AB2，所以52+122=132，所以△ABC是直角三角形。但我们通过仔细回想，其实已经有“AC2+ BC2= AB2”，是直角三角形，还要“52+122=132”干什么呢？

3. 忽视正逆转化的限制条件

我们在学习数学过程中，经常遇到利用限制条件解决问题的典型例题，如：已知a=b，则|a|=|b|；但反过来由|a|=|b|推出“a=b”就不全面了，遗漏了另一种情况“a=-b”。特别遇到有关逆向思维练习和反向限制条件，学生更是无从下手，如：当a时，|a-a2|=-2a；若（x-1）2=1-x，则x取值是等。

（三） 阻碍学生逆向思维的因素

从课堂表现看，教师在数学教学过程中，多采用“构造定理——推导定理——实际应用”三段模式，忽视了逆向思维生成与发散，导致学生很难快速准确调整到逆向思维的逻辑频道上。

从思维逻辑看，从正向思维到逆向思维实质上经历了将固有反向逻辑打散又重新拼接的过程。这种转化容易给学生造成畏难情绪，所以两种思维碰撞缺一不可。

从操作内容看，因为中学生逻辑思维正处于螺旋上升期，所以学生在解决问题时往往束手束脚；记忆和模仿还是主流，容易形成思维定势，难以自拔和修正。

二、 如何在课堂教学中实施逆向思维训练

研究表明，中学生在思维发展中表现出的能力、态度有明显差异。能力较强的学生，可以通过自我创新和独立探究逐渐形成逆向思维；能力适中的学生，形成逆向思维需要借助教师点拨；能力稍差的学生，形成逆向思维难度很大，对于这些学生还是应当将主要精力放在基础知识上，抓住基本定义、定理，待巩固后，教师再引导这部分学生进行有针对性的专项训练，从而逐步地接受。那么，如何更好更快实施逆向思维训练呢？

（一） 定义教学中的逆向思维训练

数学命题逆命题常存在且为真。因此，学习一个基本概念，如果从逆向思维角度发散，学生不仅对概念理解得清楚直观，而且能够激发他们利用不同角度解决问题。如：在立体几何讲授中，应用逆向思维能够使学生对涉及空间想象能力的逻辑思维有更深刻的了解。需要强调的是，教师虽反复强调某定理的逆命题不一定成立，但操作中如不强调可逆性，会导致学生对定义的使用含糊不清且杂乱无章，代数问题同样如此，又如：已知1m2+1m-1=0，n4+n2-1=0，且1m≠n2，求mn2+1m的值。按照常规做法，同学们计算易得1m2+1m-1=0，（n2）2+n2-1=0，且1m≠n2，但若反向思考，可联想到方程x2+x-1=0，1m、n2恰为方程两不等实根，从而根据韦达定理知1m+n2=-1，即：原式=-1。

（二） 公式教学中的逆向思维训练

许多数学公式在不同领域都有广泛应用，然而很多学生对公式的理解尚且停留在表层上，对逆用，尤其是利用公式反向推理还很生疏。如果教师能够有效指导学生灵活逆用公式，那么他们在解题时就能左右逢源，手到擒来，这里我强调两点：第一、要特别关注公式的“组合”与“拆分”。如：a=（a）2，x-y=（x+y）（x-y），a2=|a|，（a±b）2=a2±2ab+b2等；第二、把逆用公式作为化简、计算、代入、求值的必备良药。如：已知a+b=1，求a3+3ab+b3的值。根据a+b=1，只需逆用立方和、完全平方公式，就得a3+3ab+b3=（a+b）（a2-ab+b2）+3ab=a2-ab+b2+3ab=（a+b）2=1。又如：计算1-1221-1321-142…1-1200421-120052。显然，直接相乘并非明智之举，根据各因式特点，将平方差公式逆用就可化难为易。原式=1-121+121-131+131-141+14…1-120041+120041-120051+12005=12×32×23×43×34×54×…×20032004×20052004×20042005×20062005=12×20062005=10032005。

（三） 运算律和运算法则中逆向思维应用

将逆向思维应用到同级运算，可以逐步形成互惠互利、相辅相成良性循环，如：利用相反数变减为加。特别在乘方运算中，这样的例子更是数不胜数，如：已知xm=3，xn=7，求x3m-2n值。本题只需将同底数相除法则逆用便可得出结论，把原式转化为=x3m÷x2n=（xm）3÷（xn）2=33÷72=2749。又如：已知a=355，b=444，c=533，比较a、b、c大小。通过应用逆向思维，原式可转化为a=（35）11=24311，b=（44）11=25611，c=（53）11=12511，因为125<243<256。所以c

（四） 定理教学中的逆向思维训练

教师需要在平时教学中不断渗透、引导学生探究原定理及逆命题真假，这对学生自信心建立和兴趣激发大有裨益。在教学中我遇到过类似数学问题，如设a、b、c满足a2-bc-8a+7=0b2+c2+bc-6a+6=0，求a的取值范围。本题初看无从下手，不过我们可逐步将原方程组变形得到b+c=±（a-1）bc=a2-8a+7， 再根据韦达定理逆定理，可知b、c为一元二次方程x2（a-1）x+a2-8a+7=0两根，所以Δ=（a-1）2-4（a2-8a+7）=-3（a-1）（a-9）≥0，即1≤a≤9。

三、 逆向思维在中学数学课堂教学中施行办法

许多同学在解题过程中，常会遇到种种困惑，正面突破没有思路、无从下手，若从反向切入，往往会出现新的转机。实施逆向思维训练常采用以下两种策略：

（一） “正”难则“反”

反证法是演绎推理和逆向思维代表，是“数学家常备武器”。若条件中出现“至少”或“至多”等逻辑联结词，或以否定形式给出，可用反证法，如：三个方程x2+4mx-4m+3=0，x2+（m-1）x+m2=0，x2+2mx-2m=0中至少一个方程有实根，求m的取值范围。若从正面入手，情况繁杂，需要逐一讨论。如果应用逆向思维，从反面假设“三个方程都无实数根”，再从全体实根中排除反面求得结论，便能轻松解决。假设三个方程均无实根，则16m2-4（-4m+3）<0（m-1）2-4m2<04m2+8m<0，即：-3213或m<-1-20，得-3-2。

（二） 以“退”为“进”

同学们往往想不到，将整式方程通过逆向思维训练转化成分式方程求解，也会产生出其不意的效果。如：解方程x4+x3-6x2-2x+4=0，其计算过程相当繁琐。若两边同除x2，“退”至分式方程，以“退”为“进”，便迎刃而解。显然x≠0，方程两边同除x2，得x2+x-6-2x+4x2=0，x2+4x2+x-2x-6=0，x-2x2+x-2x-2=0。所以x1=-1+3，x2=-1-3，x3=2，x4=-1。又如：探究5-32和3-63大小关系。通用解法是将分母有理化，但本题若将分子有理化，则更简洁直观、一目了然。因为5-32=15+3，3-63=13+6，所以5-32>3-63。

（三） 正反互换

逆向思维的独特之处在于其创造性，我们再举两个互换正反条件的实例，如：方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一个实根，求实数a的取值范围。通用解法，取x为主元，再对a进行分类讨论，计算量可想而知，本题若设a为主元，会起到反客为主、立竿见影效果，原方程转化为a2-（x2+2x）a+x3-1=0，[a-（x-1）][a-（x2+x+1）]=0，解得x=a+1或x2+x+1-a=0，因为原方程有且只有一个实根，所以方程x2+x+1-a=0无实根，通过Δ=1-4（1-a）<0，得到a<34。又如：方程a2x2-（3a2-8a）x+2a2-13a+15=0（a为非负整数），至少有一个整数根，则a=。原方程结构复杂，若反向思考，设a为主元，分类讨论，将原方程变形为（x2-3x+2）a2+（8x-13）a+15=0。可得[（x-2）a+3][（x-1）a+5]=0，a=-3x-2或a=-5x-1，因为a为非负整数，x为整数根，所以当x=0时，a=5；当x=-4或x=-1时，a=1；当x=1时，a=3。

四、 逆向思維训练的注意事项

逆向思维从建立、到培养、最终形成应始终遵循实事求是的科学原则。在中学数学课堂教学中，教师应侧重培养学生逆向思维的速度和深度，杜绝填鸭式灌输，不做无用功。教师应努力做到以下四点：首先，必须具备大量知识储备和大胆创新意识；其次，要注意类比、演绎、归纳等逻辑推理的培养，播种良好习惯；再次，鼓励有条件的学校针对基础较好的学生进行变式教学；最后，量力而行，通过调研反馈考查学生对逆向思维训练的接受程度和认知水平，不可操之过急，更不能喧宾夺主。教师应鼓励并引领学生创新解题技巧，开拓解题思路，回归数学本源，落实核心素养，构建高效课堂，学生学有所得、学有所成，让逆向思维种子在中学数学课堂上萌芽、开花、结果。

参考文献：

[1]孟祥云.注重逆向思维能力的培养.中小学数学.

[2]宋春.逆用韦达定理巧解数学题.数理化解题研究.

[3]赵彦平.谈数学教学中的逆向思维.南都学坛.

[4]刘顿.方程中字母系数的求解思路.中学生理科月刊.

作者简介：

吴涤，天津市，天津市小站第一中学。