局部对称QC流形中具有平行平均曲率向量的子流形①

(天水师范学院 数学与统计学院,甘肃 天水 741001)

0 引 言

文献[1]研究了常曲率黎曼流形中具有单位平行平均曲率向量的子流形，之后文献[2]和文献[3]相继对文献[1]中的结果作了改进.文献[5]将文献[3]中的结论由外围空间是常曲率黎曼空间推广到了局部对称拟常曲率黎曼流形(简称QC流形)的情形.得到

定理A 设Mn是n+p维局部对称QC黎曼流形Nn+p中的具有单位平行平均曲率向量的紧致子流形(p≥2)，若Mn的第二基本形式模长的平方σ满足

则Mn位于Nn+p的一个n+1维全测地子流形Nn+1中.

继续研究局部对称QC流形具有单位平行平均曲率向量的紧致子流形，将定理A中的结果做了改进.得到

定理1 设Mn是n+p维局部对称QC流形Nn+p中的具有单位平行平均曲率向量的紧致子流形(p≥2)，若Mn的第二基本形式模长的平方σ满足

则Mn位于Nn+p的一个n+1维全测地子流形Nn+1中.

1 预备知识

在文中，各类指标的取值范围约定如下：

1≤A,B,C,…≤n+p; 1≤i,j,k,…≤n;n+1≤α,β,γ,…≤n+p.

设Nn+p是n+p维局部对称的拟常曲率黎曼流形，Mn是Nn+p中的具有单位平行平均曲率向量的n维紧致子流形，在Nn+p上选取局部标准正交标架场{eA}，使得限制在Mn上，{ei}与Mn相切，{ωA}是在Nn+p上与{eA}对偶的标架场，{ωAB}是联络形式，限制在Mn上，有

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

因为Mn是具有平行平均曲率向量的子流形，于是H=const.

(6)

(7)

由于Nn+p是QC流形[4]，于是有

KABCD=a(δACδBD-δADδBC)+b(δACλBλD+

δBDλAλC-δADλBλC-δBCλAλD)

(8)

(9)

令

适当选取法标架场{eα}，使得矩阵(tr(HαHβ))可以对角化，即有

进而，利用(5),(7),(8),(9)式通过计算得到

(10)

由文献[7]知，下列不等式成立

(11)

(12)

由Schwarz不等式得到

(13)

(14)

对固定的α≠n+1,可将对称方阵Hn+1,Hα对角化.因此有

(15)

2 定理的证明

证明由(10), (11), (12), (15)式得到

(16)

(I)当b≥0时，利用(13)，(14)，(16)式得到

将(I)，(II)两种情形中σ所要满足的关系式统一如下

(17)

综合上述两种情形可见，当σ满足(17)式时，Mn位于Nn+p的一个n+1维全测地子流形Nn+1中.

参考文献：

[1] Yau S T.Submanifolds with Constant Mean Curvature[J].I: Amer J Math, 1974, 96(2): 346-366; II: Amer J Math, 1975, 97(1): 76-100.

[2] 许洪伟.Simons型Pinching常数和等距浸入问题[J].数学年刊A，1991，12(3): 261-269.

[3] 徐森林，薛春华.微分几何[M].合肥：中国科学技术大学出版社，1997，224-226.

[4] Bai Z G.Minimal Submanifolds in a Riemannian Manifold of Quasi-constant curvature[J].Chin Ana of Math,1988,9 B (1): 32-37.

[5] 纪永强，贺晴.局部对称拟常曲率黎曼流形中具有平行平均曲率向量的子流形[J].西北师范大学学报，2009，45(5): 16-18.

[6] Zhang J F.A Rigidity Theorem on Compact Submanifolds in a Locally Symmetric and Conformally Flat Riemannian Manifolds[J].Applied Math J of Chin Univ.2002, 17(4): 485-490.

[7] 纪永强.子流形几何[M].北京：科学出版社，2004.

[8] Erbacher J.Reduction of the Codimension of an Isometric Immersion[J].Diff Geom, 1971, 5 :333-340.