电磁场中两个重要定理的对比研究

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(佳木斯大学，黑龙江 佳木斯 154007)

0 引 言

电磁学属于经典物理学的一部分，在广泛介绍电磁现象的基础上，更着重于基本规律的阐述，主要是研究电荷、电流产生的电场和磁场的基本规律，电磁场对电荷和电流的作用。深入到材料内部，物质的电子结构是物质的基本组成形式，任何的实物材料都是由分子或者原子组成，原子是由带正电的原子核和带负电的电子组成，电磁作用是物质的基本作用之一，麦克斯韦通过麦氏的方程组给出了很好的解决电磁问题的方法，这个方程组的核心就是高斯定理和安培环路定理。

1 定理的证明对比

以电场中的高斯定理和磁场中的安培环路定理为例。

图1 高斯定理证明图解

高斯定理在电场中的表达式是：

(1)

它表明：通过任意闭合曲面的电通量等于该面所包围的所有电荷电量的代数和除以ε0。

磁场中的安培环路定理的表达式是：

(2)

它表明：磁感应强度沿任何闭合环路的线积分等于穿过这个环路所有电流强度的代数和的μ0倍。

通过两个定理的表述可以看出高斯定理是面积分，左侧积分数值与面内包围的电荷电量代数和有关，安培环路定理是线积分，左侧积分数值与线积分路径包围的电流强度代数和有关，也就是二者都与积分路径所包围量的代数和有关，从数学表达式上二者也具有相似性。在证明方法上二者都可以采用由简单个例到一般的证明方法，比如电场中高斯定理首先选取特例球面，并且只有一个点电荷在球心，相对而言，磁场中的安培环路定理选取圆环并且包围电流强度为I的一条导线；其次，高斯定理再将球面半径扩展到任意半径直至电荷不再位于球心，最后到任意闭合曲面，只要包围点电荷即可，安培环路定理则也是由圆环变为只要包围导线的任意闭合曲线即可；通过都熟知的叠加原理，当有N个点电荷或有N条带电导线时采用代数和叠加的原理得到一般性的结论，同时采用了相似的方法证明了点电荷或带电导线位于闭合曲面和闭合环路外对于积分无贡献的思想，由此证毕，如图1和图2所示为定理证明图解。

图2 安培环路定理证明图解

2 定理的应用对比

无论是高斯定理还是安培环路定理它的应用都具有普遍性，但在具体使用过程中会去寻找简单便捷的方法，这就是在电磁学中常常提到的对称性的问题，这里以均匀带正电的无限长细棒的场强和无限长圆柱形带电直导线磁场分布为例，两者都是属于圆柱体，电场和磁场的分布都具有对称性，电场即在任何垂直于棒的的平面内的同心圆周上场强大小都相同，磁感应强度的大小只与场点到轴线的垂直距离有关，这样电场强度的求解只要选取分别在圆柱内外的同轴柱面，磁场强度的求解选取圆心在轴线上并与轴线垂直的圆环形回路，应用定理找到闭合圆柱面包围的电荷的电量代数和和圆形回路包围的电流强度的代数和即可求解。二者的相似之处就是都选取了具有对称性的包围曲面或曲线将要求解的问题包括在其中，使问题的求解变得简单易懂。但这里有一点要注意应用两个定理时左侧的积分在展开的过程中要注意矢量间的夹角。

3 结 语

高斯定理和安培环路定理在数学形式表达上具有相似性，一个是面积分，一个是线积分；定理的右侧都是曲面或曲线包围的简单易于寻找的物理量电荷和电流强度，也就是说通过对称性的分析，我们很快就能找到问题的切入点，进而快速解决问题；在定理的证明上采用了由简单个例到一般形式的推导，证明过程简单易懂，用通俗的语言解释了内容含义深奥的定理，带来方便的同时，也增加了对定理定律的进一步了解。

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