“物理原理+数学图像+等效思想”三管齐下分析电学实验系统误差

李胜强

“伏安法”在电学实验中的应用主要有两种，第一種是测量电阻，第二种是测量电源的电动势和内阻。安培表和伏特表都不是理想电表，在电路中必然会分压和分流，故存在不可避免的系统误差。[BF]

1 “伏安法”测电阻的误差分析

“伏安法”测电阻时，应结合电阻的大小及实验的要求确定测量电路和控制电路，此时伏特表和安培表是为电阻服务的，故应围绕着电阻测量其电压和电流。测量电路的构建通常有两种方式，如图1所示为安培表“内接法”，图2所示为安培表“外接法”。

1.1 物理原理

图1中的安培表测量电阻Rx的真实电流，而伏特表测量电阻Rx及安培表共同的电压，故U测=Ux+UA，R测=U测I测=Rx+RA>Rx，即用安培表“内接法”测量电阻Rx时，测量值大于真实值。

图2中的伏特表测量电阻Rx的真实电压，而安培表测量电阻Rx及伏特表共同的电流，故I测=Ix+IV，R测=U测I测=RxRVRx+RV

1.2 等效思想

图1中的安培表是有内阻的（即使很小），故可将安培表看成理想安培表和内阻RA的串联，此时“伏安法”测未知电阻的研究对象转变为Rx与RA的串联整体，故用安培表“内接法”测量电阻Rx时，测量值大于真实值，测量值比真实值多的那部分就是（Rx+RA）-Rx=RA，即安培表的内阻。

图2中的伏特表也是有内阻的（即使很大），故可将伏特表看成是理想伏特表和内阻RV的并联，此时“伏安法”测未知电阻的研究对象转变为Rx与RV的并联整体，故用安培表“外接法”测量电阻Rx时，测量值小于真实值，测量值比真实值少的那部分为Rx-RxRVRx+RV=Rx2Rx+RV。

2 “伏安法”测电源电动势和内阻的误差分析

2.1 物理原理

如图3所示，“伏安法”测电源电动势和内阻——安培表干路接法，对于研究对象电源而言，安培表测量的是电源的干路电流I，伏特表测量的不是电源的路端电压U（安培表内阻要分压），需要修正为U+UA。由闭合电路的欧姆定律可得，E=（U+UA）+Ir=（U+IRA）+Ir，干路电流I越大，UA越大，伏特表测量的误差越大。

如图4所示，“伏安法”测电源电动势和内阻——安培表支路接法，对于研究对象电源而言，伏特表测量的是电源的路端电压U，安培表测量的不是电源的干路电流I（伏特表内阻要分流），需要修正为I+IV。由闭合电路的欧姆定律可得，E=U+（I+IV）r=U+（I+URV）r，路端电压U越大，IV越大，安培表测量的误差越大。

2.2 等效思想

如图3所示的安培表干路接法的电路图中，可将安培表看成为理想安培表和内阻RA的串联，此时电源理解为等效电源（电动势为E，内阻为RA+r），安培表和伏特表都为等效电源服务。对等效电源而言，安培表和伏特表的测量都是准确的，E=U+I（RA+r），在电源的U-I图像中，倾斜直线斜率的数值等于等效电源的内阻RA+r，比真实电源的内阻r偏大，故r测>r真。

如图4所示的安培表支路接法的电路图中，可将伏特表看成为理想伏特表和内阻RV的并联，此时电源理解为等效电源（电动势为E，内阻为RVrRV+r），安培表和伏特表都为等效电源服务。对等效电源而言，安培表和伏特表的测量都是准确的，E=U+I·RVrRV+r，在电源的U-I图像中，倾斜直线斜率的数值等于等效电源的内阻RVrRV+r，比真实电源的内阻r偏小，故r测

2.3 数学图像

在安培表干路接法的电路图中，安培表测量的是干路电流I，但伏特表测量的不是电源的路端电压U（安培表不是理想电表必然要分压），这也是系统误差的来源。由于安培表的分压作用，有U真=U测+UA，即U真=U测+IRA，这样在U-I图线上对应每个I，应加上一修正值ΔU=IRA。由于RA很小，所以在I很小时，ΔU趋于零，故由极限思想可得E测=E真，当I增大时，修正值ΔU也增大，测量数据和真实数据间的分叉越来越大，如图5所示，可以看出，r测>r真。安培表干路接法中测量不准确的是伏特表，而这恰恰是测量准确的安培表的内阻存在分压造成的系统误差，安培表的内阻越小，系统误差越小，伏特表的示数越小，系统误差也越小。

安培表支路接法的电路图中，伏特表测量的是电源的路端电压U，但安培表测量的不是干路电流I，而是支路电流（伏特表不是理想电表必然要分流），这也是系统误差的来源。由于伏特表分流IV，使安培表所测的电流I测小于电源的输出电流I真，即：I真=I测+IV，而IV=URV，U越小，修正值IV越小。故由极限思想可得U=0，IV=0，此时I真=I测，即短路电流相同。U越大，修正值IV越大，测量数据和真实数据间的分叉越来越大，在图6中，测量线为AB，真实线应为A′B，可以看出E测

3 结语

电学实验中常用的安培表和伏特表都不是理想电表，故在伏安法测电阻和测电源的电动势和内阻实验中，不可避免的会产生系统误差。若直接利用安培表和伏特表的读数处理实验数据，必然会带来误差；若实验数据处理过程中充分考虑安培表和伏特表因内阻原因造成的系统误差，并对系统误差进行修正，则可大大减小系统误差对实验的影响。故在电学实验教学过程中，要善于结合物理原理和数学图像，利用等效思想多角度分析系统误差，这样既是对电学实验的深入研究，也是对学生能力多方面的培养。