对高斯公式形成过程的一种理解

付彩霞 杨晓春

【摘要】利用第二型曲面积分的定义以及流体流量的一般求解方法推导高斯公式，为初学者提供一个完整的、合乎逻辑的公式发现过程.

【关键词】高斯公式；流量；第二型曲面积分；形成过程

一、引 言

格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空间曲线的曲线积分和三重积分之间也有类似的关系，即为高斯公式.在数學上，高斯公式是第二型曲面积分中非常重要的一个公式，利用高斯公式可以简化曲面积分的计算；在普通物理学中，应用高斯公式可以简洁明了地证明一些重要的结论，如著名的阿基米德浮力定律和静电场的高斯定理.因此，对于高斯公式形成过程的证明与理解尤为重要.

通常根据曲面积分和重积分的计算给出其快速简捷的证明方法，而这种证明方法只是单纯的数学上的证明，没有赋予一些实际意义，对于初学者而言，较为生涩难懂.受到高斯定理的物理应用的启发，根据流体流量问题的两种不同计算，推导高斯公式的形成过程，为初学者提供一个容易理解、合乎逻辑的公式发现过程.

三、小 结

之前的证明多数是在向量场中对流体的通量进行计算，通过元素法的方式进行证明，或根据对坐标的曲面积分的向量形式的定义及其计算给出高斯公式的证明.本文在前者的基础之上，在流体通过曲面流量的物理背景下，通过两种不同计算方法将几何与代数相结合，详细解释了高斯公式的推导过程.这样不仅向学生展现出一个完整的、合乎逻辑的发现过程，更是给出了分析问题、解决问题的实例.加深了学生对于高斯公式的理解和记忆，便于以后的学习与应用.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]同济大学数学系.高等数学（下册）[M].北京：高等教育出版社，2007：220-223.

[3]刘克哲，张承琚.物理学（上卷）：第3版[M].北京：高等教育出版社，2005：267.

[4]曹吉利，邓方安.高斯公式的一种证法[J].陕西理工学院学报（自科版），1999（2）：59-62.