案例分析在常微分方程教学中的应用

（安徽三联学院 安徽 合肥 230601）

常微分方程理论是高等数学教学内容中的一个重要组成部分，它在医学、经济学、生物动力学以及社会科学等领域都有着非常广泛的应用，现实世界中的很多实际问题都可以抽象为微分方程问题，比如：物体的冷却、人口的增长、电磁波的传播等。然而学生在学习常微分方程知识时往往只知道怎样解方程，并不知道微分方程的实际应用背景，从而造成学生学习的枯燥与被动、缺乏积极性，在常微分方程的实际教学过程中，如果教师能把常微分方程的一些应用案例在课堂教学中引入，通过在课堂上进行案例提出、案例分析及案例解决，不仅可以让学生对本章节的数学理论知识进行充分消化，还可以进一步激发学生对数学理论知识的分析能力和应用解决能力。

1.在高等数学教学中案例分析的重要性

案例分析式教学，就是把生活中的实际案例作为教学素材，结合对案例的研究、分析、推导过程将数学理论知识巧妙引出，使学生在学习理论知识时，不再是枯燥的概念和定理，而是能运用所学的理论知识解决实际中的相关问题。

案例分析式的教学方法相比传统的教学模式来说，不仅仅是模式的改变，更是理论结合实际的一次创新。此法对传统的纯板书式的教学模式进行了一次改革，通过案例引入的方式可以很好地为数学教学营造教学场景，提高数学教学的生动性、实用性，拉近课堂与实际生活的距离，调动学生解决问题的欲望，同时，通过对问题的解决，提高学生分析、归纳、总结知识的能力，加深对理论知识的记忆、理解。可以说，案例分析式教学方法，切实将抽象的数学理论知识具体化、形象化，进一步增强了数学理论知识与现实的联系，同时也提高了学生消化数学知识的积极性、主动性。

2.常微分方程的相关案例与分析

案例1他的胰脏是否正常

现有一种医疗手段，具体是把示踪染色注射进胰脏里去从而来检查其功能.正常的胰脏每分钟可以吸收掉染色的，现有一内科医生给某个人注射了克染色，经过分钟之后还剩下克，现问该人的胰脏是否正常？

解：假设该人的胰脏是正常的。

设P(t)表示注射染色之后t分钟时该人胰脏内的染色量.因为正常人心脏每分钟可以吸收掉染色的40%，从而可得染色的衰减率为40%=0.4，即：

这个方程解的形式为：

P(t)=Ce-0.4t，其中t的单位是分钟。

由 P(0)=0.3 克，Ce-0.4×0=C=0.3.

故 P(t)=0.3e-0.4t

30分钟之后剩下的染色应该是P(30)=0.3e-0.4×30≈0.但这和实际上30分钟之后还剩下0.1克染色产生矛盾，从而可知该人胰脏不正常。

案例2他是不是嫌疑人

现有一受害者的尸体是在晚上7：30被发现的，法医在当晚8：20赶到凶案现场，测量出当时尸体的温度是32.6°C；一个小时之后将要抬走尸体时，又测得尸体的温度是31.4°C，并测得出室温在这几个小时内始终保持为21.1°C。该案的最大嫌疑人是张某，但是张某声称自己没有罪，并替自己找到了一位时间证人，这个证人说出：“张某下午一直在办公室内办公，在5：00时打了一个电话，电话打完之后就离开了办公室。”又张某的办公室距离凶案现场步行只需5分钟。试判断凶案发生时张某不在凶案现场的证词能否让他被排除嫌疑?

解：已知T(t)表示t时刻时的尸体温度，且记晚上时间8：20为t=0，则记 T(0)=32.6℃，T(1)=31.4℃，又假设受害者死亡时他的体温是正常体温，即T=37℃，要判断出受害者的死亡时间即求T(t)=37℃时对应的时刻Td，在此时刻如果张某在自己办公室内，则他可被排除嫌疑，否则张某是不能被排除嫌疑的。

由于人体的体温试受大脑神经中枢调节的，人一旦死后体温调节功能便消失，此时尸体温度将会受外界环境温度的影响。根据牛顿冷却定律可以得到尸体温度的变化率与尸体温度和室温之差T-

由分离变量法求出微分方程的通解：T(t)=21.1+ae-kt

由 T（0）=21.1+ae-k×0=32.6 得 a=11.5

又由 T(1)=21.1+11.5e-k×1=31.4 得 k=1n115-1n103≈0.11

故 T(t)=21.1+11.5e-0.11×t

当 T=37℃时，t≈-2.95 小时≈-2 小时 57 分

所以Td=8小时20分-2小时57分=5小时23分

从而可得受害者的死亡时间大概在下午5点23分，所以张某不能被排除嫌疑。

案例3动物群体生长规律

在一个动物群体中，个体的生长率是平均出生率与平均死亡率之差。设某群体的平均出生率为正的常数β，由于拥挤以及对食物的竞争加剧等原因，个体的平均死亡率与群体的大小成正比，其比例常数为 δ(δ＞0)。 若以 P(t)记 t时刻的群体总量，则就是该群体的生长率。每个个体的生长率为，设P(0)=P0，求出描述群体总量P(t)的微分方程，并解之。

解：由题中所给条件，个体的平均死亡率为δP，从而个体的生长率为 β-δP，则：

此微分方程称为逻辑斯蒂方程，它与条件P(0)=P0合在一起，就构成了一个初值问题，这个初值问题的解描述了一个群体的生长规律。下面解这个方程，由逻辑斯蒂方程得：

现用部分分式来求左边的积分，因为：

由初始条件P(0)=P0易得

将C2代入，整理可得，即为群体的生长规律。

案例4静脉输液问题

静脉输入葡萄糖是一项比较重要的医疗技术，已知G(t)表示t时刻时血液中葡萄糖的含量，并假设葡萄糖按每分钟k克的稳定速率输入进血液中.在此同时，血液中的葡萄糖还将会转化成其他的物质或者转移到其他的地方，它的速率和血液中的葡萄糖的含量成正比，求出t时刻的葡萄糖含量表达式。

上式属于一阶常系数非齐次的线性方程，运用方程的通解公式可得：

但G(0)表示最初血液中葡萄糖的含量，从而可得：

该式即为t时刻时血液中的葡萄糖含量。

案例5血液的流速

已知血管的一段长度为L，左端的血压为P1，右端的血压为P2，P1＞P2，设此血管的半径为R，试求血液的流速。

解：因为血液的流动是一种连续的稳定流动，所以推动血液前进的力应该等于它要克服的阻力。

已知半径为r，长为L的一段血柱，可以求出推动其前进的力应为：

根据粘滞流体力学的知识，可以求出阻止血液前进的力应为：

其中η表示血液的粘滞系数，V表示血液的流速。

令F1=F2，则有如下的微分方程：

因为血液的粘滞性可知，血液在血管中心与边缘的流速是不相同的.在血管横截面上取坐标为r，血管中心处为原点，显然r=0处流速最大，r=R处流速为零，即V(R)=0，代入(*)式，得：

由上式可看出如下的生理意义：（1）血液的流速与其粘滞系数η成反比；（2）血液的流速与血管首端与尾端的压力差成正比；（3）血液的流速与血管半径R有关，R大则流速大，R小则流速小。

以上几个教学案例分别包含了可分离变量微分方程、一阶线性非其次微分方程的求解问题，有的方程求解过程还较繁琐，但由于每个方程都蕴含着某一实际意义，为了剥开实际问题的谜团，学生们都会积极主动地应用积分知识去求解每一个微分方程。

在常微分方程教学过程中引用案例分析，先向学生介绍常微分方程的实际应用背景，接着列出相应的方程并进行求解，再返回到实际问题中去解释生活中的实际现象，这不仅加深了学生对常微分方程理论知识的理解，懂得了解方程的重要性，而且让他们真切地感受到了数学知识绝对不是纸上谈兵，而是广泛地应用在客观实际中解决实际问题。这一理论结合实际的教学模式，激发了学生的学习兴趣，增强了学生的数学素养，扩宽了学生的知识层面，为日后进一步培养学生的实际应用能力和创新能力起到了至关重要的作用。