“概率论与数理统计”课程教学改革新探索

2018-06-25刘柏森

长春师范大学学报 2018年6期

刘柏森

(东北财经大学统计学院，辽宁大连 116025)

“概率论与数理统计”是高等理工、财经院校各专业的核心基础课之一，为许多后继课程提供了必要的数学工具。与微积分、线性代数等确定性数学科目不同，“概率论与数理统计”是一种处理随机现象的数学工具，是一门颇具综合性与实用性的数学课程：一方面综合运用微积分、线性代数等多门类数学知识，另一方面又与经济、管理、金融、保险、信息论等实践学科紧密相连。但学生在初学时对随机数学思维往往难以适应，普遍反映较难，不易入门。法国数学家Laplace有一句名言：“生活中最重要的问题，绝大部分其实只是概率问题”。“概率论与数理统计”课程教学的成败制约着一系列相关专业知识的学习效果，对大学整体教育水平具有关键的意义。

1 “概率论与数理统计”课程教学改革的具体内容和方法

在信息化时代，要想提高“概率论与数理统计”(下称概率统计)课程的教学效果，必须努力做好如下四个“结合”。

1.1 与统计软件、仿真模拟相结合

随着数学软件及统计软件的普及，特别是大数据时代的来临，利用计算机执行复杂的数据分析对复杂系统进行随机模拟仿真显得日益重要。概率统计教学必须顺应时代需要，突破以往那种专注逻辑推理、只顾机械演算的旧路，通过Matlab、R、Python等计算机软件将课程教学与统计数据分析、计算机模拟紧密结合起来。

利用软件进行描述统计、估计、检验、相关分析、回归分析、方差分析等统计分析，如今已成为概率统计教学上的共识，具体操作项目也比较固定，此不赘述。与统计分析相比，仿真模拟在概率统计教学中的表现则相对灵活，没有固定套路，却大有用武之地，除了锻炼数学实验动手能力、提高学生的计算机编程能力之外，至少还有如下几方面的价值：

1.1.1 动态演示

图1 贝努里试验的模拟图

1.1.2 验证结论

概率论中的许多重要结论都是可模拟印证的，例如正态分布、泊松分布、三大抽样分布(卡方分布、Student-t分布和F分布)、中心极限定理等都有明确的形成机制，都可以用计算机模拟其生成过程。此外，传统教学中的概率计算问题基本依靠纯演绎推理，使概率计算成为一项极具挑战性的工作，谁也不敢保证能正确地计算出一道复杂的古典概率题目。至于普通大众，似是而非，丢三落四，被概率玩弄更是常有之事。于是，对复杂的概率计算，用仿真模拟方式评判计算结果的正确性就显得非常必要了。最典型的例子，如蒲丰投针实验、巴拿赫火柴盒问题、生日问题、信封匹配问题等著名问题，若借助模拟，动态印证理论结果，使学生体会到数学推理的力量，无疑会大大激发学生的学习热情。再比如，统计理论中的置信区间、置信水平、假设检验、显著性水平等概念，如果仅仅采用叙述和演绎的方式，学生会感觉到枯燥无味。若辅之以计算机模拟，通过仿真给学生以直观的印象，能够加深他们的理解。

1.1.3 探索研究

当系统过于复杂以至于难以找到明确的解析解时，用蒙特卡洛法求出问题的模拟近似解，或者从中得到意外启发，不失为更切合实际的解决方案。这种模拟求解法，在概率统计教学中可以发挥意想不到的作用。例如，一般基于非正态总体的统计量的抽样分布是极难求得精确分布的，但可用模拟的方式多次重复地从总体中抽样，获得统计量的大量观测值，从而得到其近似分布。又如，熟知的某电视娱乐节目“汽车与山羊”问题的概率计算，与其各执一词、莫衷一是，不如借助计算机模拟给出最具说服力的答案。其实，模拟计算法的威力远远超乎我们的想象。诺贝尔经济学奖获得者Roger B Myerson在其《经济决策的概率模型》一书中抛弃了抽象数学公式，自始至终都在倾力阐明如何用Excel电子表格直观地处理各种复杂的概率决策问题。该书用模拟法巧妙计算概率的案例精彩纷呈，极具启发性。与解析法相比，模拟计算法虽没有精妙的解析演算，最后却可以得到合乎事实的结论；虽然形式粗糙，却有很好的普适性和稳健性。

模拟仿真提高了学生对抽象结论的认识效率，拉近了学生与书本的距离，同时又体现了数学探索的精神轨迹，值得教师不断地加以丰富和思考。

1.2 与其他数学分支紧密结合

整个数学学科的知识体系分支众多，各分支彼此相通，相互间本来没有绝对分明的界限。但由于开课顺序、学科差异等原因，学生在头脑中不自觉地形成了学科壁垒与思维壁垒，在学习概率统计时，莫名其妙地把微积分思维、线性代数思维自动封存起来，难于破茧。这种思维的保守和惰性非常不利于对数学知识的融会贯通，严重制约了概率统计的学习效果。因此，在教学过程中要刻意关注概率统计与其他数学分支尤其解析几何、微积分、线性代数的紧密结合，既要提高学生综合应用数学的能力，又要增进他们对各科知识的认识深度。

1.2.1 与微积分的联系

1.2.2 与线性代数与矩阵理论的联系

1.3 与实际应用相结合，多采用案例教学

论及实用性和趣味性，在三门大学数学基础课中，概率统计稳居第一，尤其在金融、管理、保险等领域有大量精彩的应用案例。在教学中，结合学生的专业特点，将一些有趣、有意义的应用案例融入到概率统计课程教学之中，势必会显著增强课程魅力，激发学生的求知热情，提高概率统计知识的运用水平。

例如，在讲授贝叶斯公式时，可以介绍抽样理论中的敏感问题调查的沃纳(Warner)模型。此模型的思想非常有趣，可以在课堂上进行互动实验。还可以介绍风险决策理论中的贝叶斯决策，发现贝叶斯公式的应用竟然可以达到如此出神入化的境界。这两个案例是关于贝叶斯公式的绝佳应用，特别值得推荐。

再如，假设检验的一个基本思想是“小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的”。学生在学习假设检验的理论和方法时，往往感觉思路比较混乱，对原理难以理解。然而对其基本思想，我们在日常生活中已经不知不觉地应用上了。如果能够从生活中挑选一些常见的案例来阐述假设检验的基本思想，则会让学生很容易掌握其原理和检验流程。

1.4 与互联网络相结合，引入“互联网+”模式

在新时代的要求下，教师应积极采取措施，引导学生在计算机网络上查询资料，扩大知识面，养成探索和创新的能力，对所学的统计概率知识进行思考和运用，积极主动地学习；教师也需要利用既有的网络资源，学习和探索国内外比较成功的概率统计教学方法，扩大自己的知识面，使学生加强对概率统计知识的理解，养成好的学习习惯。还可以创建概率统计课程网页，设置资料链接，建立小型题库，让学生进行练习，加深他们对所学内容的理解。此外，还可以建立微信群、微博式讨论空间，增进师生间的互动与交流，由课堂延伸到课下，由校内延伸到校外，充分利用移动互联网的优势，让学习讨论无时、无处不在。