含进化的适应性测度的做市商库存动态模型研究

杨 志，王 婧

(伊犁师范学院数学与统计学院，新疆伊宁 835000)

1 研究背景

近些年，在金融市场中关于异质代理商模型的研究受到越来越多的学者的关注，尤其是在Brock and Hommes[1]的引导下，得到了进一步的研究，大多数学者考虑市场中有两类投资者：基本面分析者和技术分析者，投资于一支无风险资产和一支风险资产，由于投资者对未来价格变化的不确定性，进而产生不同的信念，采用不同的交易策略，进而产生不同的期望价格，通过均值-方差最大化来决定投资数量，投资者之间相互博弈，在市场中进行交易，再利用做市商来出清市场价格.

由于做市商的不同角色，产生了不同模式的出清市场价格，如Carl[2]利用市场供给来出清市场价格，Carl[3]又提出做市商利用库存来出清市场价格，做市商扮演了不同的角色：投资者和供应商.Mei Zhu[4]也考虑了在做市商扮演两种角色下的金融市场模型，做市商对于市场稳定性所起的不同作用.

波动聚集性作为金融市场数据的典型特征之一，很多学者通过建立不同的模型来模拟市场数据特征，如Brock and Hommes[1]提出度量交易策略的适应性测度，但其没有考虑风险因素，Gaunersdorfer[5]考虑将风险加入，即风险调整后的适应性测度；Roberto Dieci and Xue-Zhong He[6]通过改变市场分数的不同组合方式，对模型作进一步的修改，以此希望更好地模拟真实市场.

本文建立做市商库存动态模型，该模型含有两类投资者：基本面分析者和技术分析者，做市商利用库存出清市场价格，同时做市商扮演供应商和投资者的角色，考虑动态的市场分数，同时采用经风险调整后的适应性测度，以此来决定投资者在市场中所占的比例；利用差分系统理论与分支理论，考虑系统的稳定性区域，以及分析主要参数α,β,γ对系统稳定性的影响，进而说明相应参数在真实系统的作用，更好地解释真实市场的数据特征.

2 建立模型

参考Carl[7]建立的随机模型：

(1)

这里考虑市场中有三类投资者：基本面分析者、图表分析者、做市商.

2.1 基本面分析者，技术分析者

考虑其对未来价格条件期望与Carl[7]建立的模型一致.

2.2 做市商

作为市场投资者，为了得到自己的既得利益，设置投资组合最优化，达到目标库存：

(2)

其中，α表示做市商调整库存的速度.作为供应商，做市商有义务保证市场的流动性，维护市场的稳定.

2.3 市场分数

考虑基本面分析者和图表分析者所占的市场分数分别为q1，t和q2，t，并且分为固定部分与时变部分，即不改变投资策略和投资策略随时间改变而改变[4]，其中n1和n2分别为投资策略不改变者所占的比例，n1，t和n2，t分别为投资策略改变者所占的比例，并且n1+n2=1，n1，t+n2,t=1，设γ为不改变投资策略所占的比例，则1-γ为改变投资策略所占的比例；记n0=n1-n2，mt=n1,t-n2,t，则有：

(3)

假设nh,t由离散选择概率来确定：

(4)

其中，β表示选择强度，用以衡量不同投资者对于不同投资策略的倾向程度；Ch表示h类投资者为其策略选择所产生的固定费用；Uh,t为t时第h类投资者获得的利润，用来衡量该交易策略的性能，称作适应性测度.采用发展的适应性测度[8]，即经过风险调整后的适应测度.

(5)

其中，η为适应测度的记忆强度，则：

(6)

2.4 市场出清

假设做市商通过调整库存出清市场价格：

(7)

其中，zt=q1,tz1,t+q2,tz2,t.

综上得到随机离散动力系统模型为：

(8)

3 确定性动力系统的讨论

(9)

由于做市商在市场的不同角色，分两种情况分别来进行讨论：

(i)当α=1，做市商迅速将下一时期库存调整为目标库存水平.

(10)

即S1局部渐近稳定的条件.

推论1 基本均衡点S1在(β,γ)的局部渐近稳定区域为：

(ii)当0<α<1的一般情形.

引理1 已知特征方程为λ3+c1λ2+c2λ+c3=0，则相应的系统在不动点处渐近稳定为：

由此，可得到该系统模型在不动点S1处的渐近稳定区域为：

推论2 基本均衡点S1在(β,α)局部渐近稳定区域如下：

4 结论

本文建立了做市商库存动态模型，利用差分系统理论，考虑系统的稳定性区域，分析了主要参数α,β,γ对系统稳定性的影响，得到如下结论：

当α=1时，做市商快速将下一期库存调整为目标库存，则基本均衡点稳定区域主要依赖于基本面分析者和技术分析者；当0<α<1且α取不同值时，得到相近的稳定区域，说明做市商对于市场的稳定性作用有限，主要依赖于基本面分析者和技术分析者.

当γ取不同值，其取值为0.5左右，坚持投资策略改变者与坚持投资策略不改变者的比例相差不大时，产生的稳定区域为两部分；当γ较大或者较小，一方作用比另一方作用较强时，稳定区域为一部分，且分支边界关于做市商的作用强度对称.

[参考文献]

[1]Brock W,Hommes C.Heterogeneous beliefs and routs to chaos in a simple asset pricing model[J].Journal of Economic Dynamic & Control,1998(22):1235-1274.

[2]Chiarella C,He X-Z.Heterogeneous beliefs,risk and learning in a simple asset pricing model[J].Computational Economics 2002(19):95-132.

[3]Chiarella C,He X-Z.Heterogenous beliefs,risk and learning in a simple asset pricing model with a market maker[J].Macroeconomic Dynamics,2003(7):503-536.

[4]Zhu M,Chiarella C,He X Z,et al.Does the market maker stabilize the market?[J].Physica A:Statistical Mechanics and its Applications,2009(15):3164-3180.

[5]Gaunersdorfer A,Hommes C.A nonlinear structural model for volatility clustering[J].Cendef Working Papers, 2000(00-01):265-288.

[6]Dieci R,Foroni I,Gardini L,et al.Market mood,adaptive beliefs and asset price dynamics[J].Chaos,Solitons and Fractals,2006(29):520-534.

[7]Chiarella C,He X,Wang D.Stock price and market maker inventory dynamics with heterogeneous beliefs[C].Working Paper,School of Finance and Economics,University of Technology,Syde-Ney,2011.

[8]Gaunersdorfer A,Hommes C H,Wagener F O O.Bifurcation routes to volatility clustering under evolutionary learning[J].Journal of Economic Behavior & Organization,2001(1):27-47.

[9]Sonis M.Critical bifurcation surfaces of 3D discrete dynamics[J].Discrete Dynamics in Nature & Society,1999(4):333-343.

[10]王联,王慕秋.常差分方程[M].乌鲁木齐:新疆大学出版社,1991:202-204.