多维视角，殊途同归——2017年山东卷文科第12题“十法”

☉江苏省泗洪中学 杨东进

在高中数学中，求函数的最值、值域问题，二元代数式的最值问题，是各类考试中比较常见的题型，也是高考中常见的考点之一.此类问题比较常见的方法有基本不等式法、待定系数法、导数法、换元法（三角换元等）、柯西不等式等.下面结合2017年高考山东卷文科第12题二元代数式的最值问题来加以实例剖析，结合多维视角切入，达到殊途同归.

高考真题 （2017年山东卷文12）若直线（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为______.

思路分析1：根据直线过定点得到关系式结合代数式2a+b乘“1”展开，结合基本不等式来确定最小值即可.

解法1：基本不等式法1.

解法2：基本不等式法2.

解法3：基本不等式法3.

思路分析4：根据直线过定点得到关系式直接利用基本不等式得到ab≥8，再结合代数式2a+b，再次利用基本不等式来确定最小值问题，两次利用基本不等式要注意等号成立的条件的一致性.

解法4：基本不等式法4.

思路分析5：根据直线过定点得到关系式直接利用基本不等式得到ab≥8，并结合此时等号成立的条件，代入关系式+=1得到2a+b=ab，进而确定代数式2a+b的最小值问题.

解法5：基本不等式法5.

由于直线+=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则有+且仅当=，即b=2a=4时，等号成立，由+=1可得2a+b=ab≥8，故填答案：8.

思路分析6：根据直线过定点得到关系式+=1，根据关系式的转化用含参数a的关系式来表示b，代入代数式2a+b得到含有a的关系，设其最小值为M，通过求解二次方程，根据判别式来确定关系式的最小值即可.

解法6：待定系数法.

由于直线.又b＞0，所以a＞1，那么设≥M（M为正实数），整理可得2a2-Ma+M≥0，则Δ=M2-8M≥0，解得M≥8或M≤0（舍去），则2a+b的最小值为8，故填答案：8.

解法7：导数法1.

思路分析8：根据直线过定点得到关系式根据关系式的转化用含参数a的关系式来表示b，代入代数式2a+b得到f（a），通过求导，结合函数的单调性与极值来确定函数关系式的最小值即可.

解法8：导数法2.

由于直线+=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则有+=1，可得=1-，即b=.又b＞0，所以a＞1，那么，令f′（a）=0，解得a=2（由于a＞1）.当a∈（0，2）时，f′（a）＜0，f（a）单调递减；当a∈（2，+∞）时，f′（a）＞0，f（a）单调递增.所以f（a）min=f（2）=8，即当a=2，b=4时，2a+b的最小值为8，故填答案：8.

思路分析9：根据直线过定点得到关系式进而通过三角换元，结合代数式2a+b的转化，通过三角恒等变换公式，并结合三角函数的图像与性质来确定最小值即可.

解法9：三角函数法.

思路分析10：根据直线过定点得到关系式结合代数式2a+b乘“1”，利用柯西不等式来确定最小值即可.

解法10：柯西不等式法.

解决此类和式定值求最值问题的比较常用的方法是利用基本不等式来确定最值，利用基本不等式时的切入点不同导致方法各异；而利用待定系数法，通过转化，结合判别式，通过解不等式来确定参数的最值问题；而利用已知关系式的转化，转化为含有一个参数的代数式，通过函数求导，结合函数的单调性、极值与最值来确定最值问题；而根据和式定值为1的性质可以利用三角换元来处理，结合三角恒等变换，通过三角函数的图像与性质来确定最值；而利用柯西不等式来确定最值也别有特色，特别对于三元及三元以上的问题显得更加有效果.F