摭谈数学教学中学生核心素养的培养

☉浙江省杭州高级中学钱江校区 俞 昕

一、问题提出

高考改革必然伴随着教学安排、教学模式等的改革，由于选考学考的高考模式，高一就已经开设了十门课，导致了数学课时的减少，但事实上各地区的教学安排并没有因为课时的锐减而有大的改变，所以就在一定程度上造成了课时的紧张、内容的紧缩、赶进度、重结果轻过程等现象.这些现象造成的结果与新课改的初衷是相悖的，所以如何契合高考改革与课程改革的步伐是值得我们一线教师探索与思考的问题.

随着时代的变迁，人们的能力观在逐渐发展，由传统基础教育目标而发展起来的能力标准的局限性渐渐得以暴露.传统的能力概念已经不再适用，无法代表新时期的教育目标，这也就进一步催生了“素养”概念的产生.为了把握基础教育的“基础”这一根本，素养中的“关键素养”、“核心素养”得以强调和凸显.数学核心素养一般分为六个方面：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.在数学教学中渗透与培养学生的数学核心素养应该成为现今日常教学衔接高考的重要突破口.笔者将反思高考改革以后的教学现状，并结合数学核心素养谈谈自己的一些想法.

二、培养学生数学核心素养策略探讨

1.在整合数学中追求数学的统一性

新课改以来各种数学教材的一个共同特点，即是认为应当完全打破关于代数（算术）、几何等学科分支的传统区分，从而事实上也就可以被看成对于“整合数学”的直接追求.例如，德国著名数学家克莱因（F.Klein）的著名论点：“几何学研究的是（各种）变换群之下的不变量”，以及法国布尔巴基学派关于“数学结构”的深入研究等.郑毓信先生指出：数学中不同学科分支的整合决非易事，更不应将此简单地等同于相关内容在形式上的简单组合；恰恰相反，最为重要的即是，能否通过深入的分析和研究揭示出相关对象的共同本质.例如，现行各种教材中所谓的“代数与几何的整合”，事实上都只是对这两门学科的相关内容进行了混合编排，但就其具体安排而言，应当说仍然保持了相对的独立性，从而也就只是形式上的简单组合.因此，笔者认为真正意义上的“整合数学”应该是从内容教学上实现整合.

例如，在余弦定理的教学中，我们常常提及余弦定理是勾股定理的一般形式，勾股定理是余弦定理的特殊形式.事实上，我们可以从更深层次来挖掘教材内容，从一个侧面让学生感受整合数学.勾股定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即c2=a2+b2；余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方和再减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即c2=a2+b2-2abcosC；三度平方和定理：长方体的一条体对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和，即l2=a2+b2+c2；异面直线上两点间的距离公式：两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线AA′的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设A′E=m，AF=n，EF=l，则l2=d2+m2+n2±2mncosθ；三直三面角面积定理：在以DABC为三个直三角面的四面体ABCD中，第四个面的面积等于三个直三角面的面积的平方和，即D2=A2+B2+C2；内积空间直交分解定理：设M是Hilbert空间H中的闭线性子空间，那么H中任意元x能唯一地表示成M中一元y与一个与M直交的元z的和，即x=y+z，其中y是M中距x最近的点.它的二维情形是勾股定理，三维情形是三度平方和定理.图1所示的图表可以反映它们之间的关系.

图1

从衔接高考的角度，高考题中也蕴含着丰富的素材，教师可以借此让学生感受整合数学中的统一性.

例如，2016年浙江省数学理科高考试题19：如图2，设椭圆C：+y2=1（a＞1）.

图2

（1）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）；

（2）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.

第（2）问运算量较大，基本思路是将几何问题转化为代数问题来解决.（高考标准答案计算量大，解法在此省略）

事实上，可以将解决此圆锥曲线问题与二次函数零点分布问题联系统一起来.设M（x，y）是椭圆上一点，连接MA，由于|MA|2=x2+（y-1）2=a2（1-y2）+（y-1）2=（1-a2）y2-2y+a2+1，考虑函数t=（1-a2）y2-2y+a2+1，-1≤y≤1的图像与直线t=r2的公共点.其中a＞1，r是圆的半径.当公共点对应的y=±1时，一个公共点对应圆与椭圆的一个公共点；当公共点对应的y∈（-1，1）时，一个公共点对应圆与椭圆的两个公共点.根据题意，可知函数t=（1-a2）y2-2y+a2+1，-1≤y≤1为单调函数，否则必然存在直线t=r2与之有两个公共点，且其对应的y均在区间（-1，1）内.考虑到其对称轴为≤-1，解得1＜a2≤2，进而可得椭圆的离心率e的取值范围是

显然，从整合数学的角度来思考与解决这道高考题，不仅计算简洁，而且充分体现了数学的统一性，让学生感受数学知识之间的关联性，有助于培养学生的数学核心素养.

2.引导学生通过数学学会思维

郑毓信先生认为：相对于“帮助学生学会数学地思维”而言，“通过数学学会思维”应当说是更为合适的一个主张.所谓“通过数学学会思维”，主要地并非是指“想得更快”、又或是如何能够“与众不同”，而是指“想得更清晰、更全面、更深刻、更合理”.这正是不少数学家的切身体会：数学学习对于思维发展的主要作用之一就是十分有利于人们学会“长时间的思考”.由此可见，在教学中就不仅唯一地关注学生“即兴思维”能力的提高，而是应当更加重视如何能够帮助他们逐步养成“长时间思考”的习惯与能力.

2002年诺贝尔经济学奖得主康纳曼有一部名著《快思慢想》，赋予“快思”与“慢想”新的涵义.

快思 慢想如何做？（工具性理解） 为什么可以这样做？（关系性理解）问题解决（解题冲动） 策略性思考与调控（元认知）特殊（model of） 一般（model for）

文2给出了教学实践中应重视的几个环节：（1）“问题引领”；（2）数学地交流与互动，从而帮助学生很好地实现优化：（3）文化熏陶，言传身教.另外，在教学中又应依据学生的具体情况切实加强工作的针对性，包括很好地实现以下几个阶段的区分与合理过渡，即由“深藏不露”逐步过渡到“画龙点睛”，由“点到为止”逐步过渡到“系统论述”，由“教师介绍”逐步过渡到“学生的自我总结和自觉应用”.

例如，现今实行的学考等级制度，以语数外为例，若每个学科划分A、B、C、D四个等级，不计较学科排序，可以有多少种不同等级？教师可以从这个小小的问题出发不断地引导学生进行数学抽象化、一般化，不断地进行提升与总结，让学生由“快思”逐步进入到“慢想”阶段.有学生会想到按位置排序计算，第一位选A时，第二位有4种不同的排法：第二位选A，第三位有4种不同的排法；第二位选B，第三位有3种不同的排法；第二位选C，第三位有2种不同的排法；第二位选D，第三位有1种不同的排法.所以当第一位选A时，共有4+3+2+1=10（种）不同的排法.同理，第一位选B时，共有3+2+1=6（种）不同的排法；第一位选C时，共有2+1=3（种）不同的排法；第一位选D时，共有1种不同的排法.所以，总共有10+6+3+1=20（种）不同的排法.也有学生会想到按字母分类计算：选一个字母，共有种不同的排法；选两个字母，其中一个字母必用两次，共有2种不同的排法；选三个字母，共有种不同的排法.所以共有2+=20（种）不同的排法.还有学生用排除法：43-5-4=20（种）不同的排法.事实上在学生各种方法的基础上，教师可以继续引导学生进行深入探究：设选A的有X1种，选B的有X2种，选C的有X3种，选D的有X4种，有X1+X2+X3+X4=3，即（X1+1）+（X2+1）+（X3+1）+（X4+1）=7.设Xi+1=Yi，i=1，2，3，4，于是就有Y1+Y2+Y3+Y4=7，Yi∈N*，i=1，2，3，4.则问题就转化为求方程Y1+Y2+Y3+Y4=7的正整数解.然后可以用“隔板法”可以解决：设有7个小球，用三块板来隔，至少要隔出一个球，有6个缝，共有=20（种）不同的排法.这种方法可以继续推广到解决更一般的问题：设有m个学科，每个学科有n个等级，不计较学科排序，共有多少种不同的排法？设选每个等级为X1，X2，…，Xn，则有X1+X2+…+Xn=m，即（X1+1）+（X2+1）+…+（Xn+1）=m+n，设Xi+1=Yi，i=1，2，…，n，则Y1+Y2+…+Yn=m+n，Yi∈N*，i=1，2，…，n.类似地，可以用“隔板法”得共有种不同的排法.以上从数学的角度思考这个实际问题，需要学生进行“长时间的思考”，养成这种对一个问题从数学的角度层层深入的进行“长时间思考”的习惯与能力，而这种能力正是数学核心素养所必需的.

3.帮助学生寻找数学真问题

文3指出：目前我们教育领域最热的话题是公民的核心素养，而这一核心素养中的数学素养，首当其冲的是“联系”，即知道书本上的数学与现实生活中的数学之间的联系，这是现有国际上一切关于数学素养问题讨论的基本共识.之所以如此，是因为对数学真正的理解，只能在“联系”之路上实现，否则只能到达了解或知道的层面；对数学应用的需求，只能在“联系”之路上产生，否则只能是套题型、凑条件的花拳绣腿.没有“联系”，求知的欲望以及乐学、好学的源头几乎无从谈起，更进一步，没有了“联系”，从哪里抽象、拿什么建模、凭什么推理，换言之，我们津津乐道的那些数学素养几乎全都断了由头，差不多可以免谈.而“联系”的两头，一头是数学，另一头是真实的世界、是现实生活，而在考试教育、题型教育的阴霾中，学生有这样的机会吗？在没有“联系”的氛围里，奢谈素养，只能是又一场夸夸其谈，“素养”可能会像“核心概念”那样成了又一片过眼云烟.

图3

图4

基于以上的观点，我们应该让学生多些机会接触数学中的真问题，而不是总是在充斥着考试味道的题海中挣扎.数学真问题不仅仅是指如同文3中所说的现实问题，也应该包括那些能积极引发学生思考的探索性问题与开放性问题.

例如，在二面角教学中，创设问题情境：这是一座我们即将要攀登的山峰，我们就称它为“胜利峰”（数学抽象为如图3所示的数学模型）.山坡上有一条直道CD，它和坡角的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后我们升高多少米？学生纷纷提出质疑：这个问题没法解，缺少条件！于是引领学生进入新知“二面角平面角”的教学（教学过程省略）.之后再回到此问题情境：将条件补全，比如我们用某种测量仪器或通过某部门了解到“胜利峰”的倾斜度（即二面角的平面角）为60°，那么这个问题如何解决？解决此问题的关键是什么？这里还有值得探究的新问题吗？笔者参与到学生的合作学习中去，这时整个课堂气氛达到了高潮，学生解题的积极性已经被充分的调动起来.在之后的问题解决过程中，立体几何中的经典图形就会显现出来（如图4所示）.笔者继续引导学生将这个登山问题再进行设计和改编，使之成为新的问题.学生即兴编出了一些问题：（1）假设“胜利峰”的坡度是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡角的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，要使我们上升100米，则我们要行走多少米？（2）假设“胜利峰”它的坡度是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡角的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，则我们行走的路线与地面所成角是多少？

三、写在最后

数学核心素养的培养对于我们一线教师来说是一项长期而艰巨的工作，尤其是随着高考体制的改革，数学取消了文理分科，核心素养问题更显关键.从目前高考来看，通过大量做题就可以考好的时代已经过去了，高考越来越以考查核心问题、学生数学素养为主.所以无论从短期的高考目标，还是长期的数学素养培养目标来看，我们势必要不断反思自己的教学.“如果一节课的内容太多，承载的任务太重，学生上课时候很忙碌，思考力就很难得到提升，学习力会越来越弱.若课堂只聚焦几个核心问题，让学生深入思考，看上去学得少、学得慢，但思考的方式、方法丰富了，思考力便能提高，思考力就会越来越强.”这是来自语文老师的论述，但对于数学教学来说，显然也是适用的.笔者近期在一些文献上看到“留白”这一字眼，如果选择合适的内容并加以恰当的使用，“留白”不妨可以在数学教学中一用.事实上，笔者理解的“留白”是在数学课堂内外通过给学生创设核心问题（真问题），让学生保持持续性思考探究问题的热情，从而深刻体会数学概念方法的本质性、整合数学的统一性.

1.郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”［J］.数学教育学报，2016（3）.

2.郑毓信.“数学与思维”之深思［J］.数学教育学报，2015（1）.

3.孙晓天.研究现实世界的真问题——记第十届东盟国家中学生数学学科竞赛（ssys）［J］.数学通报，2016（4）.

4.章建跃.让学生学真正的数序［J］.中小学数学，2012（9）.

5.王淼生.数学百题，精彩千解［M］.福州：福建教育出版社，2009（9）.F