例谈七年级学生直观想象素养的培养

文思静

直观想象素养的形成能够帮助学生发展几何直观和空间想象能力，提升数形结合能力，培养学生的创新思维和问题解决意识.下面利用“数轴上的动点问题”阐述如何进行教学设计来引导七年级学生发展直观想象素养，为培养学生直观想象素养的教学模式抛砖引玉.

一、直观想象素养的概念

《义务教育数学课程标准》（2011版）中提出“应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想”.由此可见，新课标注重学生的直观想象素养的培养.直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.在直观想象核心素养的形成过程中，学生不仅能够进一步发展几何直观和空间想象能力，还可以增强运用图形和空间想象思考问题的意识，从而提升数形结合的能力，同时也有利于学生创新思维的培养.

二、以“数轴上的动点问题”为例，谈直观想象

素养的培养

例已知点P、Q在数轴上表示的数分别是-8，4，点P以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒1个单位的速度运动.设点P、Q同时出发，运动时间为ts.

（1） 若点P、Q同时向右运动2s，则点P表示的数为，点P、Q之间的距离是个单位.

（2）经过s后，点P与点Q重合.

（3）试探究：经过多少秒后，P、Q两点间的距离为14个单位.

1.认知分析

该题第（1）问考查的是学生对“数轴”的理解以及数与形的结合，大部分学生都能正确答出“-4”和“10”.第（2）问考查的是数形结合的数学思想和分类讨论的数学思想，因为题中没有给出点P，Q的移动方向，所以要使点P、Q重合有两种方式，大部分学生只答出一种；其次，第（2）问还间接考查了数轴上两点距离的表示和函数方程思想.第（3）问与第（2）问考查的基本数学知识相同，它的分类讨论体现为存在4种情况使得P、Q两点间的距离为14个单位，学生都难列举出所有情况.

2.设计过程

（Ⅰ）数轴上两点距离的绝对值的几何表示和代数表示

实数与数轴上的点一一对应，这也是摆在学生面前数与形连接的第一道大门.首先给学生呈现数轴上A，B两点与原点的位置情况，共两大类，其中点A表示数a，点B表示数b.一大类为A，B两点在原点的同侧，这一类分为在原点的左侧和在原点的右侧两种情况；另一大类为A，B两点分别在原点的两侧，这一类分为A左B右和A右B左两种情况.

接着引导学生得出以上四种情况中A，B两点的距离，学生发现这些距离可以表示成a-b，或b-a.这时再让学生观察数轴上A，B两点的位置与其距离表达式的关系，多数学生都能回答出：“若数a在数b的右侧，则距离为a-b；若数b在数a的右侧，则距离为b-a.”此时再乘胜追击总结出“数轴上A，B两点距离可表示为实数|a-b|（a、b分别为点A，B表示的数）”，同时解释“无论是a>b或b>a，都可以用|a-b|表示两点之间的距离”.紧接着联系实际生活，把学校视为A点，家视为B点，若要求学校与家的距离，则可以做一条过A，B的直线，在直线上选择适合的原点，单位长度，正方向，此时A，B分别对应与数轴上的数a，数b，A，B两点距离可表示为实数|a-b|.在讲解该数学知识的时候，用呈现的数轴以及联系实际情境给予学生直观的感受，并培养其抽象概括的能力.

（Ⅱ）根据实例体会|a-b|（a，b分别为点A，B表示的数）可表示为数轴上A，B两点的距离

a.|x|=2可以表示为|x-0|=2，即其几何意义为到原点的距离为2的点有哪些，则该点对应的实数为x=±2.

b.|x-2|=3的几何意义为到实数2的距离为3的点有哪些，则该点对应的实数为x=2±3.

将上述例子概括化可得：如何从代数的角度直接解|x-2|=3的方程.由于经过了前面实例的铺垫，学生可以很好理解|x-2|=3化为x-2=±3，最后得到x=2±3的过程.这个实例的设计是为讲解例题作铺垫.

（Ⅲ）讲解例题

例题涉及“数轴上的动点问题”，初中生在“借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律”方面仍不完善，因此可以借助直观想象引导学生，训练学生数形结合的能力，进而解决问题.

第（1）问可根据数轴讲解，向右运动则在原数

的基础上“加”，向左运动则“减”.点P在数轴上表示的数是-8，并以每秒2个单位的速度向右运动2s，则点P现在的位置为-8+2×2=-4，同理点Q现在的位置为4+1×2=6，故|PQ|=|（-4）-6|=10.

第（2）问以相遇和追及直观想象的手势为主，数轴为辅进行讲解.要使点P、Q重合，且点P的速度比点Q快，则有两种情况，第一种是相向行驶的相遇问题，即点P向右、點Q向左，两点相向而行；第二种是同向行驶的追击问题，即点P向右、点Q向右.故若用小学学过的方法解答，则：（1）P向右Q向左时，时间=路程÷速度和=12÷（2+1）=4（s）；（2）P向右Q向右时，时间=路程÷速度差=12÷（2-1）=12（s）.

若用设方程来解答，则设经过ts后，点P、Q重合.P向右Q向左时，ts后，点P的位置为（-8）+2t，点Q的位置为4-t，因此|PQ|=|（-8+2t）-（4-t）|=0，解得t=4s.P向右Q向右时，ts后，点P的位置为（-8）+2t，点Q的位置为4+t，因此|PQ|=|（-8+2t）-（4+t）|=0，t=12s.

对于七年级学生来说，用小学方法更容易理解，也更简单，但讲解第二种代数方法不仅为第（3）问作铺垫，也可以让学生体会方程和函数的思想，有利于以后的数学学习.

第（3）问同样以相遇和追及直观想象的手势展示为主，数轴为辅来讲解.首先询问学生：“在同一条道路上的两个同学如何从距离12个单位变为距离14个单位？”解决该问题的思维仍从相向而行和同向而行两个方面着手.因为学生对“点P、Q两点间的距离为14个单位”理解不透彻，大多数都认为当点P、Q重合后便不再运动了，因此在引导学生想象的过程中辅以口头讲解和手势演示更有效.突破了问题的实际背景的可能性后，再应用相遇问题的公式或解方程的办法实现问题的圆满解答（具体解答过程略）.

三、小结与思考

该例题富有教育价值，它考查了数轴、绝对值、整式加减、解方程、路程问题等数学知识，同时它渗透了数形结合、方程和函数、分类讨论、转化与化归等数学思想.若学生真正理解了该题，则其在直观想象素养方面将有所提高，首先能够借助数轴和空间认识到两数的位置变化和运动规律，其次利用已学知识建立数与形的联系，将两点的位置问题转化为解绝对值有关方程的问题或转化为路程与速度和差的问题；最后构建出该问题的实际直观背景模型，并进行逻辑推理来解决问题.由于七年级学生的直观想象素养发展不够完善，在设计讲解的过程中，要充分考虑学生已有知识水平，一步一步引导其对新知识的理解，从而提高知识迁移的速度.