指向以学定教的数学教学设计示例——透过弗赖登塔尔的数学“再创造”教学思想的视点

☉淮北师范大学数学科学学院 张 昆

揣测与掌握学生发生数学知识认识的心理过程是数学教师趋近解决如何实施教学设计问题的第一步，数学学习理论应该建立在现实数学课堂教学实践中所取得的证据，而不是建立在一些思辨的形而上学的基础之上.这些证据应该通过教师针对具体的数学知识情况观察所施教的学生、分析学生真实学习数学时的心理过程，才能掌握第一手资料，获得真知灼见.学生学习数学的心理过程包括两方面：其一，整个教育教学系统中的学习过程，包括各级学生、小组、班级、教师及观察者自己的学习过程；其二，人类的学习过程，即人类整体数学知识的发展历史.因此，依据学生学习数学的真实心理活动过程，是促进数学教学设计有效性的第一位的基础要素，以学定教就是由这种数学教学理念演化而来的必然结果.

一、以学定教的内涵

那么，何为以学定教？所谓以学定教，是学生学习数学与教师施教数学这两个方面的统一，“以学”就是依据具体（教师所施教的班级的）学生在学习某个特定的数学知识点时绕不过去的心理活动环节，从而，确定教学的起点，数学知识展开的途径、方法和策略，伴随展开学习活动，学生的情感体验与皈依等形成的教学预设，也就是教师的施教预设一定以学生发生具体知识认识的数学现实为基础，这里的学生的数学现实包括学生已经掌握的数学知识、内化的数学观念，伴随着掌握知识、内化观念时所形成的数学能力等，学生所处的年龄阶段的认知水准，学生对产生新知的情绪状态等编码信息生成知识所经历的心理过程的体现；而“定教”，就是决定教师施教时选择适应于“以学”所要求的规定性，具体地说，乃是确定教学的起点不过低或过高，在恰当的起点上选择最优的教学方法，促进每一个学生都能达到最优化的发展.

就个体学习而言，学生的数学学习活动过程不是被动地拟同微机“下载”文件式地接受数学化信息的过程，也不是不经过运用学生数学现实的思维活动而被动发挥“感觉效应”的过程，而是一个积极活泼地运用认知结构编码信息从而发挥“运动效应”的过程；就人类整体学习而言，数学史料证实，数学知识结构整体乃是以逐步渐进的模式化方式展开的建构过程，数学发展的每一步都意味着：由探究外在数学化信息得到了数学知识，需要通过不断的模式化进入（研究者自己或通过媒介记录下来使后来者可以直接领悟或吸取）记忆，转化为数学技能、能力或更高一级的领悟.因此，数学学习的过程就是人类以自己的数学现实为基地不断学习更高层次数学知识的领悟过程，进一步引用弗赖登塔尔的话说，数学学习的过程就是一个基于学习者自己的数学知识与领悟经验而生成的“再创作”过程.

研究者（1983年进入教学岗位，教过小学语文、初中数学、高中数学、大学数学，并且长期进行数学教学研究，一直笔耕不辍）借助于自己长期的数学教学实践经验认识到，学生学习数学的过程是基于他们自己的数学现实对数学知识进行领悟与对领悟过程本身的反思相结合的过程，这个过程的环节是从探究数学化信息，到领悟数学知识，到对数学知识与领悟自身的反思，到挂靠到数学现实中的数学知识结构进行模式化，到面临新数学化信息，这是一种循环上升的过程，反思是这个环节中一种重要的数学学习活动，它是学生学习数学活动的核心与动力.领悟与反思的双螺旋式地交替前进不仅形成了数学知识，更为重要的是，形成了组织数学知识的方法.教师在施教过程中，务必要促使学生意识到，在学习数学知识时，学生对自己发生数学知识认识所产生的判断过程、得到的学习结果及其使用自己的语言或数学专业术语的表达出这种结果并加以思考与证实，由此促进学生萌生反思意识，促使学生自觉地追求自身的某些行为及其活动成果后面所隐含的心理本质与数学知识的本质，并试图体会这两种本质是如何结合起来的，［1］从而形成有价值的数学学习经验.

因此，在运用以学定教这一教学观念进行数学教学设计时，教师必须要充分认识到学生所处的数学现实情况，即不仅仅认识到学生已经拥有的数学知识、数学观念、数学经验、数学能力，思维定式等，还要特别注意学生学习数学的心理倾向性，如数学学习动机、兴趣、数学对自己的用处等形成的价值判断等；它们的交织与综合促成学生对新学习的数学知识内容的领悟，由领悟所获得的知识通过逐步渐进的模式化活动过程，进入记忆，从而在认知结构中组织成新的知识结构，由此走向更高级的领悟.由于学生学习数学活动后的反思的进入，致使这种领悟的过程与数学思维活动过程本身紧密结合了起来，从而形成元认知体验，提高了学习的效率，进而提高了课堂教学的有效性.经由如此分析，我们认识到，以学定教应该具有丰富的教学内涵，是教师施教的基础性要求.

二、指向以学定教的数学教学设计示例

在现实的数学课堂教学中，数学教师往往没有遵循以学定教这种教学理念的告诫，表现在：如果从以学定教的理念出发，那么就要求学生对将要学习的数学知识的理解、领悟与反思的过程能够独立地完成，然而，在现实教学活动中，这些却常常被教师的直接教导与教科书不当呈现数学知识的方式过程所取代，被数学家的成功领悟过程经由教师的直接供给过程所取代，被教师教学活动中过早过多的训练过程所取代.这就警示我们数学教师，在数学教学设计时，如何最大限度地促使学生在学习数学知识过程中保持有效理解、领悟数学知识，促进学生对已经发生的数学知识认识成果及认识过程自身进行反思活动，是教师有效施教的几个非常重要的关键环节.由于基于以学定教教学理念的教学活动过程是由不同数学知识特点与不同个性学生学习数学的心理特征所制约的，因此，研究者在这里不能给出一个万能的课堂教学过程的活动框架，只能举具体的课堂教学活动的课例加以说明.

课例1：已知：如图1，CD是Rt△ABC斜边上的高.求证：∠CAB=∠BCD.

研究者借助于安徽省初中数学骨干教师的“国培计划”的施教活动这一机会，对受训教师进行调查、访谈，要求受训教师研究这道题的教学活动，并且基于这些研究成果（这道题对应的学习内容处于教科书上的位置——作为巩固“三角形内角和定理”的一个例题，揣摩与估计学生此时所具有数学现实的水平、探究解题思路的心理活动起承转合环节的展开途径等）要求受训教师利用模拟授课的途径进行无生上课.研究者发现，八成以上的数学教师在课堂施教活动过程中使用的解题教学活动的思路是：因为∠ACD+∠BCD=90°（直角的定义），∠ACD+∠CAB=90°（直角三角形的两锐角互余），又因为∠ACD是公共角，从而可以得到∠CAB=∠BCD（同角或等角的余角相等）.

然而，这种方式的教学恰恰是教师没有从学生思维的心理活动（即以学定教的教学设计理念）出发，因为，在刚刚学习“三角形内角和定理”这个知识点时，学生对于如此复杂的几何图形的处理活动没有达到像这些教师施教活动过程这种熟练程度的水平，通过调查发现，九成以上的学生都需要首先解决图形的遮蔽（重叠）的问题，另外，此时，学生也没有学习直角三角形的“两锐角互余”与“同角或等角的余角相等”这些知识（依据课标安排及其产生的教材编制），所以，由于教师对处于这个年龄阶段的学生数学现实的认识不足，在这种课堂教学中，教师就没有充分暴露解决问题思路的发现过程中所需要的心理条件，致使教师的施教行为所产生的结果不是从学生具体的数学现实出发的.因此，透过如此分析活动的视角，我们发现，教师的这种课堂教学活动行为严重地违反了以学定教的教学理念与教学原则.

医家讲究“对症下药”，达到治病的目的就要细心诊断，通过“望、闻、问、切”探清病因，而病因绝不同于它的外表的症状，总是内部的某些器官的功能不能正常运转.对学生发生数学知识认识的心理活动过程的理解也是一样，学生学习数学知识，或者解决数学问题的疑难，一定是反映在他们自己的某些僵化了的内在心理过程的某些环节与数学思维的某些侧面.现在，这道题解题思路的心理疑难既已探明，那么，要遵循以学定教的教学理念，教学中，教师如何对症下药呢？［2］下面实录研究者针对受训教师的某些施教活动的缺点，设计的一节示范课的课堂教学的关键环节（省略号表示学生思维的中断）：

师：如何解决这个问题？

生：……

师：请大家利用已知条件在图1中找出一对相等角.

生1：在图1中，已知△ABC是直角三角形，CD⊥AB于点D，CD将Rt△ABC分割成两个直角三角形，图形的覆盖影响了解题思路.我想，首先应该解决这种图形覆盖问题，使我们容易看清图形本质……

师：这是一个很好的建议！可以动手试试.

图1

图2

学生课堂活动实录：有学生如此操作，首先，把△CDB从△ABC中平移出来，得到了图2与图3，其次，根据已知条件CD是Rt△ABC斜边上的高，得到∠ACB=∠CDB=90°①，和要证明的结论∠CAB＝∠BCD②，把图3变换成图4的位置形态.研究者依据学生操作的结果，相机将这些途径板书在黑板上.

图3

图4

师：大家做得非常好！请对比图3与图4，你有新发现吗？

生2：比较图3和图4中这两个三角形之间角的关系可得（教师相机选择学生生成成果，精心设计板书）：

直角都相等 ∠ACB=∠CDB①，

结论应相等 ∠CAB=∠BCD②，

公共角相等 ∠ABC=∠CBD③.

师：同学们认真想一想，在这三个等式中，①和③成立，②是求证的结论，应该成立.那么，如何处理这三个等式呢？

生：……

生3：应用“三角形的内角和等于180°”……

生4：①②③三个等式左边的三个角是△ABC的三个内角，右边的三个角是△CBD的三个内角.于是，我们把这三个等式左、右两边分别相加就得到了这两个三角形各自的内角和，都等于180°，即：

∠ACB＋∠CAB＋∠ABC＝180°④，

∠CDB＋∠BCD＋∠DBC＝180°⑤.……

师：生4想到并且运用了三角形内角和定理.这样的认识有价值吗？可以起到什么样的作用？

生：……

生5：两个等式的右边相等（180°），则∠ACB＋∠CAB＋∠ABC＝∠CDB＋∠BCD＋∠DBC ⑥.将⑥的左、右两边分别对应减去①与③的左、右两边，就可得到②成立.

研究者所设计施教预案及其在课堂上得到执行的教学活动，可以说是一节比较好地遵循了以学定教的数学教学设计理念的数学示范课.如此评价的重要依据在于，这样设计的课堂教学活动充分地实现了从学生的“感觉效应”的数学学习活动过程转化为“运动效应”的数学学习活动过程，体现了本研究所界定的以学定教的教学设计理念的精髓.因为，在传统的观念中，数学常常被作为一个已经完成了的形式理论来向学生说教，开始是定义、符号，接着是各种规律、算法与原理，最后对这些发现了的东西假惺惺地加以验证（证明）.教师教学设计的任务就是首先向学生呈现这些规律、定义、算法与原理，然后是举例与讲解.在这样的教学活动过程中，学生学习的主要任务就是模仿与复制，这恰恰没有尊重学生学习数学的数学现实与心理过程，施教的途径就是只有数学知识却目无学生.

然而，众所周知，真实的数学发现过程是学习者在面临问题时经由数学化过程而产生的数学化信息，必须要凭依学习者的直觉思维首先提出猜想（课例中从学生已经发现的信息①②③三个等式，猜想使用三角形内角和定理），然后加以证实.如此，体现了在解决问题时所出现的那些符号、所引入的那些解决问题的学生数学现实中已经掌握的数学知识都是思维活动的结果，是将学生还没有认识到数学知识的系统化，但学生自己可以感受到这种系统化的体验过程，为了学生在数学交流中表述的需要才引进的.这种在教学中促进学生形成的体验特别重要，有了这些体验，如果给学生以相似或同样的条件，它们自己就会认识到，不仅数学性质、数学规律，即使是数学定义也可以包括在学生能够重新创造的范围内，教师就应该以此为凭据展开数学备课及基于此的数学教学活动.

三、指向以学定教的教学理念应突出数学“再创造”的思想

研究者所提供的这个课例更进一步的内涵是能够以此说明以学定教的教学理念应该突出数学“再创造”的思想.在数学课堂教学中，实现数学“再创造”这种思想的途径，就必定是利用学生已经具备的数学现实，充分发挥这一具体的数学现实的作用，要求把学生发生数学知识认识作为一种操作数学化信息的活动过程来展开.在整个课堂教学活动中，教师应尽最大努力为学生营造一种良好的探究知识生成的活动环境，在这个环境中，应想方设法维护学生始终处于积极、主动、创造的心理状态，学生愿意甚至追求参与这个创造活动之中，感觉到创造活动是自己必不可少的需要，欣赏着那种从探究创造活动中生成的激情.继而通过学生对实际情境（向学生提供相关的数学化信息）的接触，增进他们运用自己的思维活动，形成实践创造的心理动力.在这个过程中，萌生数学概念，发现数学规律，构建数学原理，解决数学问题，验证数学结论，形成数学能力，构建再创造的体验，吸收再创造的经验，等等.

在以学定教教学设计理念下，数学教师的施教任务突出体现在，其教学组织、教学设计为学生学习活动的展开营造一个优化的环境，通过选择乃至于设计合适的数学化信息的情境，为学生提供自由广阔的学习空间.因此，首先，教师应该听任学生在课堂上萌生各种数学观念，并且启发学生分析这些观念对面临具体问题（组织信息）的价值，从而作出合适的选择；其次，教师应该听任具有不同思维层次、不同方法水平的学生力所能及地产生不同思维、不同方法、不同结论，并且真心诚意地启发学生评价（自己的或他人的）这些思维、方法与结论的价值，从而作出合适的选择.在我们所提供的这个课例中，学生面临问题时，通过他们自己的探究活动生成的观念与方法，都是在研究者的合适启发下，自己进行了有效评价与选择，由此不仅为解决问题提供了利器，而且比较容易过渡到学生自己发现（提出）问题、从而加以分析与解决，并且通过这种选择与应用的过程，内化并进入学生的智囊，成为学生认知结构中提出问题、分析问题与解决问题的经验的一个有机组成部分.

通过这个以学定教的课例，我们还应该认识到，数学“再创造”的教学理念所形成的教学模式与现时所流行的“发现法”教学理念所形成的教学模式大相径庭，迥然有别.其一，数学“再创造”不仅仅是具体的教学方法，更是高于具体教学方法的数学教学原则（一般方法），这是任何数学知识的教学活动都可以用得到的抽象的方法；其二，“发现法”教学则是一项具体的数学教学方法，这种教学方法常常是教师通过事先设计好的一个个问题（表现为信息的形式）组成的“序列”，然而，如果从消极角度思考的话，这些“序列”又像是教师有意无意地设置“圈套”一般地牵着学生的鼻子走，其实，教师施教时稍不注意，这种方式就会导致学生的学习依然是被动的，而这是数学“再创造”的教学活动必须要摒弃的.这个课例充分体现了数学“再创造”的教学思想.

数学“再创造”的一个理想化模型就是充分地利用学生的“数学现实”，每个学生都有自己的数学现实，教师数学教学设计的首要前提在于比较准确地确定学生的“数学现实”已经扩展到了怎样的程度，下一步可能向哪个方向再扩展，如何帮助学生实现这种再扩展，据此，选择课堂教学途径.用弗赖登塔尔自己的话来说，就是“与其说是让学生学习数学，不如说是让学生学习‘数学化’；与其说是让学生学习公理体系，不如说是让学生学习‘公理化’；与其说是让学生学习数学的形式体系，不如说是让学生学习数学的‘形式化’.”［3］数学“再创造”的教学活动模型，正是实现这三个“与其，不如”的一般的也是最佳的途径.我们提供的这个课例也充分地体现了这一论点.例如，从①②③这三个等式过渡到选用三角形内角和定理的知识点，从④⑤过渡到⑥，都是基于激发学生运用数学“再创造”思想组织信息产生数学知识活生生的体现.

四、简要结语

指向以学定教的数学教学设计，特别重视正在发生数学认识的学生的数学现实，从学生的数学现实出发，有选择地向学生提供相关的数学化信息，学生就会利用自己的数学现实组织信息，探究信息编码的途径，将教师提供的信息整合成某种数学知识结构.因此，这种从信息到知识结构的过程都是经由学生自己的编码活动实现的，这是一种数学“再创造”的过程.在这个过程中，萌生数学概念，发现数学规律，构建数学原理，解决数学问题，形成数学能力，构建再创造的体验，吸收再创造的经验，由此，数学“再创造”的教学模型不仅提高数学课堂教学的有效性，而且可以实现数学教学的多项目标.

1.梅全雄.弗赖登塔尔的数学教育思想［J］.数学教师，1993（7）.

2.张昆，宋乃庆.初一列方程入门教学的思考与建议［J］.中学数学杂志（初中），2014（2）.

3.弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M］.陈昌平，唐瑞芬，等，编译.上海：上海教育出版社，1995.F