问题设计逐步深入 解题思路越辨越明——以《图形的翻折》专题复习为例

☉江苏省张家港市港口学校（初中部） 韦丽琴

中考数学复习备考的内容面广量大、知识点多，要想让学生在短时间内回顾初中三年所学的数学知识，进一步理解基础知识，掌握基本方法，形成基本技能，提高解题能力，绝非易事.而且，复习是没有现成的教学资料可用的，加上学生的知识水平、解题能力不尽相同，因此对老师的要求就更高了.

作为一线教师，应该努力提高复习课效率，让学生在有限的时间内尽早巩固三年的数学知识.我们知道，专题复习课有两大任务：一是“理”，即对所涉及的知识再进行系统的整理，达到进一步理清概念，巩固知识、掌握方法的目的，形成知识的网络.二是“通”，即弄清所涉及知识的前因后果，实现知识融会贯通，应用熟练自如，积累思想方法的目标.这就要求教师要精心设计好专题复习的内容，既要弥补学生对所学知识掌握的不足，又要提高学生综合应用知识解决问题的能力；同时还要精心设计好教学的各个环节、生生活动和师生活动，加强知识的整理、归纳，注重思想方法的渗透，提升学生的思维品质、学习素养.

下面就例谈初中数学复习备考中经常涉及的几类典型的翻折问题，找到解决这类问题的常规方法，归纳出基本的规律，从中感悟初中数学专题复习的一些有效策略，以期对一线教师的教学有所帮助.

一、梳理基础知识，渗透基本方法，促进学科知识的系统化，逐步构建完整的知识网络

翻折问题涉及的知识比较多，对学生识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力的要求比较高.因此，我们在设置教学内容时，一定要把握好教学的起点，通过一些基础的翻折问题，让学生梳理一下翻折问题中常常涉及的知识，初步领会解决翻折问题的思路、方法.

例1如图1，一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6，BC=8.现将三角形沿直线AE折叠，使AC边落在斜边AB上，且点C与点F对应，求CE的长.

变式1：如图2，一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6，BC=8.现将三角形沿直线EF折叠，使两个锐角的顶点A、B重合，求CE的长.

变式2：如图3，一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6，BC=8.现将三角形沿直线AE折叠，使AB边落在直线AC上，且点B与点F对应，求CE的长.

图1

图2

图3

解读与思考：三角形中的翻折问题，图形比较简洁，难度相对较低.把它作为教学起点十分有利于教师的教与学生的学.通过例1的讲解，学生能基本了解图形的翻折问题中涉及的知识、解题的思路和方法：我们常常将所求线段的长度设为变量x，然后用含x的代数式表示其他相关线段的长度，利用勾股定理建立方程求解.通过变式1与变式2的练习，让学生进一步巩固所学知识，逐步积累解决图形的翻折问题的经验.例题的讲解与示范是教学中传授知识、培养技能必不可少的一个环节，学习知识的最终目的是要转化为能力，例题教学作为学以致用的重要环节，在教学过程中担负着把知识转化为能力的重要使命.把握好教学的起点很重要，例题和练习题的难度必须要控制好，能说明问题、起到示范作用、引领思维就行.

二、注重问题剖析，理清解题思路，揭示问题解决的本质，逐步明晰规范的解题要领

以四边形为载体的图形翻折问题是翻折问题中最常见的题型，往往与平行线、三角形的全等、勾股定理等知识紧密联系，对学生识别和理解几何图形的能力、应用几何图形的性质解决问题能力的要求更高.因此，在例题教学中，我们一定要重视这类问题的分析、讲解、归纳、提炼，让学生进一步理解解决翻折问题的关键步骤、解题要领.

例2如图4，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC上的点F处.求CE的长度.

图4

图5

变式1：如图5，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点D落在点F处，AF与BC相交于点E.求CE的长度.

解读与思考：在解答图形的翻折问题时，我们要引导学生仔细观察图形，了解翻折前后哪些量没有发生变化？哪些量发生了变化？它们之间有什么联系？灵活应用平面图形的基本性质及定理解决问题.在例1的解答过程中，要注意AF=AD=10，利用勾股定理可以求得BF=8，从而得到CF=2. 若设CE=x，那么EF=ED=6-x，再利用勾股定理可以得到x2+22=（6－x）2，解得变式1的解答过程中，学生可能会遇到一点困难，假设CE=x，则BE=10－x.在Rt△EFC中，只知道CE=x，CF=6；在Rt△ABE中，只知道BE=10－x，AB=6.因此，无法利用勾股定理来列方程.此时，需要教师引导学生观察图形，发现Rt△EFC与Rt△ABE的全等关系，进而证得AE=CE=x，在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程就能解决问题了.当然，我们还可以利用平行线的性质来证明AE=CE.AD//BC，所以∠DAC=∠BCA，由翻折可知∠DAC=∠FAC，所以∠FAC=∠BCA，所以AE=CE.通过上述问题的解答过程，要让学生明白：全等三角形的相关知识是几何学习的基础和纽带，通过三角形的全等可得线段的相等、角度的相等；利用角的相等来证明线段的相等也是几何推理中最常用、最快捷的方法之一，这些知识在解决图形的翻折问题时有着十分重要的作用，我们应当予以重视.

三、关注题型变化，强化图形分析，突出知识与方法的巩固，逐步积累必备的解题经验

以四边形为载体的翻折问题，随着折痕的变化，翻折部分的图形也会随之发生变化，最后形成的图形也就变得“复杂”一些，涉及的数学知识也会更加丰富，需要发现、探究的图形性质、结论也会更加多一些，对学生的动手能力、想象能力、综合应用知识的能力提出了更高的要求，有些问题还需要学生通过画图、测量、猜想、归纳来发现结果.针对这种题型的变化，我们要积极引导学生强化对图形的分析，发现图中隐含的结论，充分利用已有的知识、方法解决新的问题，理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验，逐步积累必备的解题经验，提升学生思维品质和学习素养.

例3已知长方形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，折痕的一个端点F在边AD上，另一个端点G在边BC上，顶点B的对应点为E.

（1）如图6，当顶点B的对应点E落在边AD上且BG=10时，求AF的长；

（2）如图7，当顶点B的对应点E落在长方形内部，点E到AD的距离为2，且BG=10时，求AF的长.

图6

图7

解读与思考：《数学课程标准（2011年版）》指出：“教学中注重结合具体的学习内容.设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径.”在图6中，大部分学生会采用如下方法求解：折叠后点B的对应点E落在边AD上，根据折叠的性质可知HE=AB=8，∠BGF=∠EGF，利用AD//BC，可得∠BGF=∠EFG，所以∠EFG=∠EGF，所以EF=EG=BG=10.在Rt△EFH中，易得FH=6，所以AF的长为6. 从上述解答过程发现，EF//BG，EF=BG.又EG=BG，所以四边形BGEF是菱形.这样的结果教师应当引导学生去发现、论证.因而，AF的长也可以在Rt△ABF中求得.在图7中，大部分学生都会过点E作EM⊥AD，垂足为M，并延长ME交BC于点N，如图8所示. 由EM=2，得EN=6，在Rt△GNE中求得GN=8.利用△GNE∽△EMK，求得MK=，所以，再利用△FHK∽△EMK，求得.事实上，在求得GN=8以后，连接EF，BF，设AF=x，FM=18－x，由EF=BF，可得82+x2=22+（18－x）2，解得，则AF的长为，利用勾股定理能较快地解决问题.通过这样的数学探究活动，数学知识之间有机地联系起来了，形成了一个条理化、有序化和网络化的数学知识整体.苏联教育家乌申斯基指出：“智慧不是别的，而是组织良好的知识体系.”只有数学知识之间上下沟通，左右逢源了，学生的头脑中才会建立起一个完整的认知结构，数学课堂教学才能扎实、有效、有智慧，学生的解题能力才会得到提升，例题教学才会有价值.

图8

四、合理拓展素材，理性思辩价值，领悟知识与方法的内涵，逐步提高综合应用知识的关键能力

图形的翻折问题大多联系实际，内容丰富，解法灵活，与代数计算、方程、函数、几何推理等知识均有联系，是中考试题中出现频率较高的一类题型.在平时的教学中，学生对翻折前后图形的位置、特征、几何性质认识不够清晰，对几何元素之间错综复杂的关系理解不够透彻，在解答这类问题的过程中，要么因为解题能力不够，无从下手；要么因为解题方法选择不当，使得解题过程变得繁难，增大了运算量，甚至于半途而废.针对这种现状，在进行图形的翻折专题复习时，教师要选择合适的问题与学生共同分析、研究，使得学生对翻折问题中有关的几何图形之间的位置关系和数量关系有进一步的认识；在问题分析和解决的过程中巩固头脑中已有的有关几何图形的性质及解决这类问题的方法；并在观察图形和探索解决问题的方法的过程中提高分析问题和解决问题的能力.

例4如图9，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N.

（1）若CM=x，则CH=___________（用含x的代数式表示）；

（2）求折痕GH的长.

图9

图10

解读与思考：这是2017年江苏徐州市的中考试题，由于点M在边CD上，很容易证得△HCM∽△MDE，所以，从而在解决第（2）问前，教师应当让明白：这里的x是一个变量，还是一个定值？也就是说x是否还有限制条件？事实上，在Rt△CHM中，CH=，所以，这看似一个非常可怕的方程，如果将－视为一个整体，不难求得x=2或x=6（舍去）.当然，求解x=2还有更加巧妙的方法，我们不妨看看命题者给出的解答过程：

解：（1）方法一：因为CM=x，设CH=t，根据翻折的性质，则HM=BH=6－t.

在Rt△HCM中，（6-t）2=t2+x2，所以（0

方法二：由题意CM=x，则DM=6－x，DE=3，根据翻折的性质，∠NMH=∠ABC=90°，易证△HCM∽△MDE，所以，即，所以

（2）由（1）知，解得x=2或x=6（舍去）.

所以如图10，过点G作GP⊥AB于点P，设AG=m，GE=3－m，根据翻折的性质，则GN=m.在Rt△GNE中，m2+1=（3－m）2，解得，所以，PH=BH－BP=2. 在Rt△GPH中

纵观上述解答过程，我们发现：合理地利用三角形的相似、勾股定理的相关知识是解决问题的关键，方程则是问题解决最有力的“工具”.

复习备考不应是简单机械的知识重复，而应是知识巩固后能力的拓展，它是教育、教学的一个重要组成部分.作为专题复习的内容，教师要通过课前的精心安排和课堂有效的系统组织，让问题设计逐步深入，让学生的解题思路越来越明晰，通过师生共同的学习、研究，真正使得学生形成合理稳固的知识结构，完善思维品质，提升他们的学习能力.

1.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2011.

2.曹文喜.由课本一道习题所想到的［J］.中学数学（下），2016（12）.H