翻之有理 翻之有道——绝对值拓展研究翻转课堂的教学设计与案例分析

☉江苏省常州外国语学校 周 琦

一、教学内容

2017年版《义务教育教科书数学（苏科版）》七年级上册第二章第三节“绝对值与相反数”学习后的拓展研究.

二、设计思路

1.设计理念.

在前三节关于绝对值和相反数概念的了解，基本性质掌握的基础上，对绝对值非负性和绝对值代数和几何意义进行深入探究学习，激发学生学习数学的兴趣，拓展学生的视野和思维.

2.教学内容分析.

（1）教学内容：利用绝对值的非负性对含有绝对值的代数式进行化简，用到绝对值的基本性质、分类讨论、数形结合等知识和方法；运用绝对值的代数和几何意义探究最值问题.

（2）教学内容的地位：绝对值的非负性和绝对值的几何意义是绝对值概念教学中的重、难点，是前一课“数轴”的应用.同时，绝对值的非负性和绝对值的几何意义在代数式化简求值、解方程、解不等式、最值问题的探究、平面中两点之间的距离等方面也有广泛的应用.理解思维及教学活动连接紧密，使前后形成整体，起到了承前启后的重要作用.

3.学情分析.

学生的知识能力基础：学生已经理解了有理数的意义，并能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小，掌握了绝对值和相反数的概念、性质.获得了分析问题和解决问题的一些基本方法，初步体验解决问题方法的多样性.

学生的活动经验基础：学生已经经历了一些探究活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了从数学活动中积累数学经验的过程.同时在以前的数学学习中，学生具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作交流的能力.

三、教学目标

（1）利用绝对值的意义和非负性化简含绝对值的代数式；

（2）运用绝对值的代数和几何意义探究最值问题；

（3）体会分类讨论、数形结合等数学思想方法，发展逻辑思维能力和抽象思维能力.

四、教学过程

1.课前预习案.

问题1：化简：|4|=_____，|0|=_____，|－4|=_____，|π+4|=_____，|π－4|=_____.

小结：化简绝对值的关键：____________.

设计意图：复习绝对值的意义和性质，从而体会到化绝对值的关键是判断绝对值内的符号.

问题2：化简：|a|.

设计意图：将具体的数抽象成字母，为化简含绝对值的代数式作铺垫，体会分类思想.

问题3：已知x＜－3，化简：|3+|2－|1+x|||.

设计意图：虽然绝对值一层套一层，但x的取值范围已经给出，只需正确判断每个绝对值内的符号，由内而外逐层化简，问题可迎刃而解.

问题4：阅读下面材料：

图3

图4

点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|.

当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a－b|；

当A、B两点都不在原点时，

如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|=|OB|－|OA|=|b|－|a|=b－a=|a－b|；

如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|－|OA|=|b|－|a|=－b－（－a）=|a－b|.

如图4，点A、B在原点的两边，|AB|=|OB|+|OA|=|a|+|b|=a＋（－b）=|a－b|.

综上，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离|AB|=|a－b|.

回答下列问题：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是_____；

（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是3，则点A和B之间的距离表示为_____；

（3）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是－3，则点A和B之间的距离表示为_____；

（4）|x－1|的几何意义可解释为_____；

（5）|x+2|的几何意义可解释为_____；

（6）|x－1|+|x+2|的几何意义可解释为_____.

设计意图：理解绝对值的几何意义是重、难点，用图示的方式数形结合，巧妙地化解难点.四种情况概括了数轴上任意两点之间距离可表示为这两点表示的数的差的绝对值.让学生从具体到抽象，从文字语言到符号语言，灵活理解含有绝对值代数式的几何意义.

2.课堂导学案.

问题1：（1）化简：|x－1|+|x+2|.

设计意图：令x－1=0和x+2=0，分别求得x=1，x=－2（称1、－2分别为|x－1|与|x+2|的零点值），零点值x=1和x=－2可将所有的数按照不重复且不遗漏的标准分类.

（2）设T=|x－1|+|x+2|，x为何值时，T有最小值？T的最小值是多少？

设计意图：这个问题可以借助上一问的化简结果，在x的取值范围内找最值，也可利用含有绝对值代数式的几何意义，数形结合，在数轴上找出符合要求的值.

问题2：（1）化简：|x－1|+|x+2|+|x－3|.

设计意图：化简含有三个绝对值的代数式，进一步提升学生有序分类的意识和能力.

（2）设T=|x－1|+|x+2|+|x－3|，x为何值时，T有最小值？T的最小值是多少？

设计意图：借助上一问化简后的代数式，在x的取值范围内找最值，也可利用含有绝对值的代数式的几何意义，在数轴上找出满足要求的值，加强数形结合的意识和能力.

问题3：（1）设T=|x－1|+|x－2|+…+|x－2016|+|x－2017|，x为何值时，T有最小值？T的最小值是多少？

（2）设T=|x－1|+|x－2|+…+|x－2017|+|x－2018|，x为何值时，T有最小值？T的最小值是多少？

（3）设T=|x－x1|+|x－x2|+…+|x－xn－1|+|x－xn|（x1＜x2＜…＜xn－1＜xn），x为何值时，T有最小值？

设计意图：在问题1、2中已经积累了一定的经验.三个小问的设计就是让学生发现归纳其中的关系，阐述规律，让此类问题的解决更具一般性.

问题4：设T=|x－p|+|x－15|+|x－p－15|，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？

设计意图：含有绝对值的代数式中的字母由一个增加为两个，但这两个字母的取值范围都已经给出，所以只要准确判断每个绝对值内的符号即可解决问题.

问题5：已知数轴上两点A、B对应的数分别为－1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.

（1）若点P到点A、B的距离相等，求点P对应的数.

（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、B的距离之和为3.5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.

（3）当点P以每分钟1个单位长的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长的速度向左运动，问：它们同时出发，几分钟后P点到点A、B的距离之和最小？

设计意图：并不是所有的含有绝对值代数式的最值问题都可以利用数轴找出最值，应该具体问题具体对待，代数方法和几何方法有机结合，有选择地有机整合运用.

五、教学反思

1.微视频和预学案双管齐下，为翻转课堂推力.

课前，让全班学生利用课后时间学习了含有绝对值代数式的几何意义的微视频，同时完成课前预习案.我收集全班的预习案进行批阅分类整理.四个问题的预设是有层次、有梯度的，问题1达到99%的正确率，但在小结时65%的学生不能很好地表述，教会学生规范、准确地表述同等重要.问题2，个别学生把0掉了，渗透分类讨论思想中不重复、不遗漏的标准.问题3，有50%的学生能做对，原因是没有判断清楚符号就想一步到位.如果绝对值内代数式的符号是负号，个别学生没有正确地变号.问题4，这考查学生微视频学习后的效果，学生在第（3）（5）（6）小问错误率较高，不能很好地借助数轴理解绝对值是两点间的距离，距离应该是做差，而不是求和.比如|x+2|应该先转化为|x－（－2）|，然后描述几何意义.大部分学生的思维还没从形象思维提升到理性思维，这是课堂教学的思想方法生长点.

2.基于学情进行科学的教学设计，为翻转课堂接力.

根据学生预学习情况的反馈，上课时，我先把每道题问题典型的学案呈现出来，让大家一起找问题，再请做的完全正确的学生分析错误并给予纠正，体现翻转课堂主体是学生的理念.预学单的最后一个问题承上启下，课堂先从化简这个含有绝对值的代数式开始.对于问题1，学生首先想到分类讨论，因为有化简|a|的经验.学生想到令绝对值内每个代数式等于0找到分界点，其实这就是零值点，然后借助数轴分段，逐一讨论绝对值内的符号，达到了化简的目的.教师在翻转课堂中是引导者、参与者，在肯定学生想法的基础上，还要纠正一些错误或者补充学生知识能力方面的不足.我强调分类的原则是既不重复也不遗漏，每个零值点只能属于其中的一类.有学生先想到利用化简结果确定每段的范围，从而找到最值，这是代数方法.也有学生提出利用绝对值的几何意义，在数轴上画图，三段中任意取一点讨论，发现当这点在零值点之间时，路程和最短.问题2是在问题1基础上的拓展，根据问题1的研究方法，学生能准确地找到零值点，正确地分类，准确地求出每一段代数式化简的结果.在求最值时既用代数方法，又用几何意义，发现三个绝对值求和时，x取中间点值时，路程和最短.问题3设置了三个小问，从特殊到一般，找出绝对值求和取最值的规律.一开始有学生尝试用代数方法，发现要分2000多类，而且情况复杂，就算能分清楚，也算不清.最后经过小组合作讨论大家的目标都锁定几何意义找最值，图并不能完整地画出，大部分学生根据解决问题1、2的经验猜想，将零值点由小到大地有序排列，奇数个零值点最小值在时得到，偶数个零值点时最值对应x的一个范围.数形结合，用不完全归纳的方法找到规律，得出一般性的结论.问题4和问题5，因为时间关系没有处理完，课后完成.

3.课后持续跟进分享交流，为翻转课堂举力.

从课后完成情况看，问题4较好，问题5个别学生受上课内容的影响，尝试用绝对值的几何意义解决，但以失败告终.学生最终体会到，绝对值既有代数性质也有几何意义，二者不可偏废，应该具体问题具体分析，代数方法和几何方法有机整合运用.我还在网上和学生就这节课做进一步探讨.学生普遍反映翻转课堂的形式很有挑战性，通过预学习，哪些知识已经过关，哪些知识方法还有不足，教师课前就心中有数，上课有针对性地重点攻坚克难.翻转课堂中，每个学生各抒己见，思维碰撞.当学生独立思考后陷入思维的漩涡不得其解时，小组合作探究，智慧共享，思维的广度、深度大大提升.

翻转课堂只有适合的教学对象、科学的教学设计、合理的教学形式才能翻转出对学生有意义、有价值、有收获的课.任何一种课型都有自身的优越性和局限性，只要我们对教学内容深度研究、准确把握、大胆尝试，就能在翻转课堂的研究中翻之有理，翻之有道.F