风电齿轮箱在随机风载下的疲劳损伤计算模型

向 东， 蒋 李， 沈银华， 韦尧中(清华大学 机械工程学院， 北京 100084)

随着社会发展，能源需求变得越来越紧迫，而风能是既清洁又安全的能源，具有很大的发展潜力[1]。风力发电机是一种将风能转换为电能的机电设备，风电增速齿轮箱是其中的一个关键零部件，它的疲劳可靠性会影响整个风机的运行状态；然而风力发电机一般安装在一些偏远地区，工作环境恶劣，造成齿轮箱的工作载荷非常复杂。齿轮箱在这种随机风载下的疲劳寿命计算对于齿轮箱的设计具有重大的指导意义。

风机整体仿真可以获取齿轮箱的输入输出载荷，很多学者都对风机的整体仿真进行了研究。Nejad等[2]利用风机整体仿真软件FAST获取风机在不同基底下的动力学响应，进而研究不同基底对齿轮箱疲劳寿命的影响。谢双义[3]在FAST和Simulink风机联合仿真模型的基础上，设计了多种变桨控制策略以降低风机的振动。张晨虬[4]利用风机整体仿真软件FAST计算了5 MW风机主轴的载荷，并且利用有限元分析主轴的应力分布从而分析主轴的疲劳寿命。付长江等[5]通过FAST软件建立了ADAMS风机模型，研究在湍流风作用下风机的动力学响应。

齿轮箱的动态载荷是影响齿轮箱疲劳寿命的一个主要因素，对于风电齿轮箱的动态载荷很多学者做了研究。Osman等[6]通过疲劳裂纹扩展的方法建立了从齿轮动态载荷计算齿轮接触疲劳的模型。Ajmi等[7]提出了通过将齿轮进行分片处理从而计算宽齿面齿轮和斜齿轮在啮合时的动态载荷的模型。秦大同等[8]建立了风电齿轮箱传动系统的微分方程，并且根据微分方程优化了齿轮箱的设计参数，减弱了关键零部件的振动。徐向阳[9]建立了柔性销轴式风电齿轮箱的动力学方程，研究了柔性销轴对齿轮箱动力学的影响。

齿轮的疲劳寿命的计算是很复杂的，目前有多种计算齿轮疲劳寿命的方法。Dong等[10]通过将点蚀裂纹考虑为II型裂纹从而根据齿轮载荷计算裂纹的扩展速度，进而估算风电齿轮箱的点蚀疲劳寿命。Li等[11]综合考虑摩擦、表面粗糙度和多轴疲劳提出了直齿轮的微点蚀预测模型，并且提出了微点蚀严重程度系数表征表面的损伤程度。Brandao等[12]提出了一种能够同时预测齿轮点蚀和磨损的仿真模型，能够很好的预测齿面形貌。

上述文献分别研究了风机整体分析、齿轮箱动力学分析和齿轮寿命计算，而研究风电齿轮箱在随机风载下的疲劳寿命的文章比较少，很多研究仅仅停留在风电齿轮箱的动力学的研究，而本文将风机整体仿真、齿轮箱动力学仿真和齿轮疲劳寿命的计算结合起来，在风电齿轮箱动力学计算结果的基础上建立了风电齿轮箱在随机风载下的疲劳寿命计算模型，并且通过实例分析介绍了各个阶段的参数设置，从各个齿轮的疲劳损伤计算结果找到了各级齿轮中最危险的齿轮。

本文提出的风电齿轮箱疲劳寿命计算模型的总体框架，如图 1所示。总共分为三个阶段：风机整体分析、齿轮箱动力学分析和齿轮疲劳损伤分析。风机整体分析是为了获取齿轮箱在随机风载作用下的输入输出条件，为齿轮箱的动力学分析提供边界条件；齿轮箱的动力学分析是在风机整体仿真结果的基础上计算齿轮箱在运行过程中的动态载荷；齿轮疲劳损伤分析是在齿轮动态载荷的基础上依据线性损伤累积理论计算齿轮的弯曲和接触疲劳损伤，进而估算齿轮箱的疲劳寿命。

图1 风电齿轮箱疲劳寿命计算模型总体框架图Fig.1 Process of calculating wind turbine gearbox’s fatigue damage

1 整体仿真分析

要计算风电齿轮箱在随机风载下的疲劳寿命，齿轮箱在随机风载下的载荷是不可或缺的信息，整体仿真模型就是要获取风电齿轮箱在随机风载下的输入扭矩和转速、输出扭矩和转速，为下一步具体分析各个齿轮间的动态啮合力提供边界条件。

1.1 整体仿真数学模型

本文在NREL实验室提供的风机整体仿真软件FAST的基础上建立了风机整体仿真模型结构，如图 2所示，主要由三部分构成：空气动力学模型、结构动力学模型和控制模型。结构动力学模型主要考虑风机从叶轮到发电机端的各个零部件之间扭矩和转速的传递。空气动力学模型是根据风的风向、风速，结合叶轮截面形状和桨距角计算叶轮的输入扭矩，这个扭矩也是风力发电机的动力输入。结构动力学模型、空气动力学模型在FAST软件中已经经过封装，详情可参见文献[13-14]；而风力发电机的控制模型采用自定义模型，下面将详述本文采用的控制模型。

图2 风机整体仿真结构Fig.2 Diagram of wind turbine global analysis

风机的控制模型由偏航控制、桨距角控制和电机控制组成。偏航控制是当风向发生改变时，调节风机的对风角，使得风机一直正对着风从而使风力发电机捕获的风能最大，本文所考虑的随机风载风向变化很小(<15°)，因此偏航控制的作用不大，在模型中不予考虑；发电机控制是当风速低于额定风速时控制发电机转子的转速，得到最佳尖速比从而最大化发电机功率，在风速高于额定风速时控制发电机的扭矩保持在一个恒定值，本文采用简化的电机控制，假定发电机的扭矩与转速的关系，如图 3所示；桨距角控制是当风速高于额定风速时，根据发电机端的转速或者功率调节叶轮的迎风角从而控制输入风机的功率，防止输入功率过大，本文采用PI增益控制算法[15]实现桨距角控制，控制框图如图 4所示。

图3 发电机扭矩控制Fig.3 Generator’s torque control

图4 桨距角控制框图Fig.4 Diagram of wind turbine pitch control

1.2 整体仿真参数设置

在FAST风机整体仿真模型中，需要输入的参数有：叶片参数、塔架参数以及传动链参数[16]。本文根据国内某风电公司提供的1.5 MW风机的资料，风机的基本信息，如表 1所示。在应用实例仿真分析时使用的主要参数，如表 2所示。其中叶片和塔架参数包含了质量、转动惯量和截面形状等，没有一一列出。

FAST软件提供了Simulink的接口，本文将FAST软件建立的整体仿真模型导入Simulink，并且在Simulink中实现风机的桨距角控制，风机整体仿真的Simulink模型，如图 5所示。桨距角控制的PI参数，如表 3所示。

表1 风机的基本信息Tab.1 General description of the wind turbine

表2 风机整体仿真参数Tab.2 Parameters of wind turbine global analysis

表3 PI增益控制参数Tab.3 Parameters of PI gain scheduling control

本文采用NREL实验室提供的TurbSim[17]根据Kaimal模型[18]生成随机风载，在风轮平面采用20×20个网格点，步长为0.02 s，随机风载模型采用正常湍流模型[19]，主要输入参数是平均风速和湍流密度，在实例分析中平均风速采用11.5 m/s和18 m/s，湍流密度设为14%。

2 齿轮箱动力学仿真模型

风机整体仿真能够得到齿轮箱在随机风载下的输入扭矩和输出转速，齿轮箱动力学仿真是将风机整体仿真得到齿轮箱输入输出条件作为齿轮箱动力学模型的边界条件计算各级齿轮的转速和动态啮合力，为下一步计算各齿轮的疲劳损伤提供支撑。

图5 风机整体仿真Simulink模型Fig.5 Simulink model of wind turbine global analysis

2.1 齿轮箱动力学仿真数学模型

在齿轮箱的动力学仿真模型中不考虑轴承和箱体的支撑刚度，也不考齿面误差、装配误差等，并且每个齿轮只考虑沿着轴向的旋转自由度，则行星轮系和平行轮系的动力学分析简图，如图 6所示。对于本文实例应用所使用的齿轮箱，由两级行星轮系和一级平行轮系(斜齿轮)组成，结构简图如图 7所示。齿轮箱的整体动力学方程式可表达为式，根据已知的边界条件Tin和θ4，可以通过数值积分的方法求解方程式进而计算各级齿轮的动态啮合力和转速。

(1)

式中：I1c和I2c为一级和二级行星架的转动惯量；C1psi和C2psi为一级和二级太阳轮与第i个行星轮之间的啮合阻尼；C1pri和C2pri为一级和二级齿圈与第i个行星轮之间的啮合阻尼；K1psi和K2psi为一级和二级太阳轮与第i个行星轮之间的啮合刚度；K1pri和K2pri为一级和二级齿圈与第i个行星轮之间的啮合刚度；r1bc和r2bc为行星架的当量半径；I1pi和I2pi为一级和二级行星轮系的第i个行星轮的转动惯量；r1bpi和r2bpi为一级和二级行星轮系的第i个行星轮的基圆半径；I1s和I2s为太阳轮的转动惯量；θ1c和θ2c为一级和二级行星架的转角；θ1pi和θ2pi为一级和二级行星轮系的第i个行星轮相对于行星架的转角；θ1s和θ2s为太阳轮的转角；x1psi和x2psi为一级和二级太阳轮与第i个行星轮沿啮合线的相对位移(x1psi=r1bpiθ1pi-r1bsθ1s+r1bccosα1psiθ1c,x2psi=r2bpiθ2pi-r2bsθ2s+r2bccosα2psiθ2c)，x1pri和x2pri为一级和二级齿圈与第i个行星轮沿啮合线的相对位移(x1pri=r1bpiθ1pi-r1bccosα1priθ1c,x2pri=r2bpiθ2pi-r2bccosα2priθ2c),I3为三级大齿轮的转动惯量;I4为三级小齿轮的转动惯量;C34为啮合阻尼;K34为啮合刚度;rb3为三级大齿轮的基圆半径;rb4为三级小齿轮的基圆半径;θ3为三级大齿轮的转角;θ4为三级小齿轮的转角;β为斜齿轮的螺旋角;x34为主动轮和被动轮沿啮合线的相对位移(x34=(θ3rb3-θ4rb4)cosβ)，Tin为输入转矩;Tout为输出转矩。

图6 齿轮箱行星轮系和平行轮系的动力学分析简图Fig.6 Dynamic analysis of planetary and parallel gear train

2.2 齿轮箱动力学参数设置

图7 风电齿轮箱的结构简图Fig.7 Wind turbine gearbox’s schematic layout

图8 ADAMS风电齿轮箱动力学仿真模型Fig.8 Wind turbine gearbox’s dynamic model in ADAMS

通过ADAMS动力学仿真，能够计算风电齿轮箱的各个齿轮在随机风载下的动态啮合力和转速，为下一部分计算各齿轮的疲劳损伤奠定基础。

(2)

式中：x0为接触体的半径；x为变形后接触面与物体中心的距离。

表4 齿轮参数Tab.4 Gears’ parameters

表5 各齿轮对Contact Force力元的参数Tab.5 Parameters of Contact Force element for every gear pairs

3 齿轮疲劳寿命计算模型

“2.2”节通过齿轮箱动力学计算得到了齿轮的动态啮合力和转速，本小节对得到的数据进行处理，计算各个齿轮的疲劳寿命。首先将随时间连续变化的啮合力转化为载荷块；然后根据国际标准ISO6336计算风电齿轮的S-N曲线参数；最后根据载荷块和S-N曲线参数，利用线性损伤累计准则计算齿轮的疲劳损伤。本部分是在在整体动力学分析、齿轮箱动力学分析的基础上根据线性损伤累计理论计算了各个齿轮的弯曲及接触疲劳损伤，通过疲劳损伤的计算将随机风载和各个齿轮的疲劳损伤联系了起来。

3.1 载荷块

为了计算齿轮的疲劳损伤，首先需要把随时间连续变化的啮合力转化为载荷块，转化过程，如图 10所示。假设随时间变化的啮合力在F1和F2之间有n个时间片段，则F1的作用次数可用式计算；得到啮合力块后，通过式[22]和式[23]计算齿轮的弯曲和接触疲劳载荷块。对于太阳轮和齿圈，齿轮啮合时齿根弯曲应力和齿面接触应力的变化都是0→σmax→0，换句话说，应力加载的循环应力比R=0；而对于行星轮，它是前齿面和后齿面都受载，因此在计算齿根弯曲疲劳时，弯曲应力的循环应力比为R=-1。因为总共有3个行星轮，因此计算时应将齿圈和太阳轮的循环次数乘以3。

图9 ADAMS风电齿轮箱动力学仿真模型拓扑图

Fig.9 Topology diagram of ADAMS’ gearbox dynamic model

(3)

式中：ni为载荷块i的循环作用次数；tj为载荷块i第j个时间片段；ωj为在时间片段j内齿轮的平均转速(rad/s)。

(4)

式中：Ft为齿轮间的啮合力；b为齿宽；mn为法面模数；YF为齿根圆角系数；YS为应力修正系数；Yβ为螺旋角系数；YB为轮毂厚度系数；YDT为重合度系数。

(5)

式中:d1为齿轮的分度圆直径；u为齿轮的传递比;ZH为接触系数，ZE为材料弹性系数,Zε为重合度系数，Zβ为螺旋角系数。

图10 载荷块转化过程Fig.10 Process of creating force bins

3.2 S-N曲线

S-N曲线是联系载荷块和疲劳损伤的桥梁，是很重要的参数。本文主要利用齿轮的国际标准ISO 6336-2、ISO 6336-3、 ISO 6336-5[24]中的疲劳数据计算风电齿轮箱各齿轮接触和弯曲疲劳的S-N曲线参数，具体的计算方法详见以上各标准。在本文应用实例中的风电齿轮箱各齿轮的材料和热处理，如表 6所示。计算出来的S-N曲线参数，如表 7所示(各齿轮有不同的S-N曲线参数)。为了更准确的计算疲劳损伤，本文使用了双斜率S-N曲线，如图 11所示。第二条直线的斜率为-1/(2m-1)；对于弯曲疲劳，N0=3×106；对于接触疲劳，N0=5×107，详见标准ISO 6336-2和ISO 6336-3中的相关数据。

表6 齿轮的材料和热处理Tab.6 Gears’ material and heat treatment

3.3 疲劳损伤

在获取了载荷块和S-N曲线参数的基础上，齿轮弯曲和接触疲劳损伤通过线性损伤累积理论[25]计算出来，具体计算公式如下

(6)

式中：Nb为载荷块的数量；ni为载荷块i的循环作用次数;Nci为在载荷i作用下的极限循环次数;Dc为累积的疲劳损伤。

在本文的实例分析中，总共仿真时间是80 s，为了去除风机仿真模型在启动时的不平稳性，仿真结构的前20 s被舍弃，只考虑后面60 s的结果。因为主轴的转速比较低，60 s内转的圈数少，因此本文在处理数据时假设一天内每一分钟风速的变化相同，对齿轮造成的疲劳损伤也相同来计算齿轮箱各齿轮在一天内的疲劳损伤。

表7 齿轮弯曲和接触疲劳S-N曲线参数Tab.7 Bending & pitting fatigue S-N parameters

图11 双斜率S-N曲线Fig.11 Two-slope S-N curve

4 应用实例与讨论

前面3个小节详细介绍了本文提出的风电齿轮箱在随机载荷下的疲劳损伤计算模型，包括整体分析、动力学分析和疲劳损伤分析，通过3个步骤能够计算任意风载下各个齿轮的疲劳损伤，能够对风电齿轮箱的疲劳寿命有一个比较好的描述。

本节利用上面建立的风电齿轮箱疲劳损伤计算模型，计算国内某公司生产的1.5 MW风电齿轮箱的疲劳寿命，说明提出的风电齿轮箱在随机风载下疲劳寿命计算模型的应用。本文利用NREL实验室提供的TurbSim软件生成随机风载，当平均风速从5 m/s变化到20 m/s，湍流密度从9%变化到24%时，风机整体仿真得到的主轴功率的平均值和标准差，如图 12所示。从图12可知，当平均风速低于额定风速时，主轴功率在随着平均风速的增加而增加，当平均风速高于额定风速时基本保持恒定，而主轴功率的标准差随着湍流密度的增加而增加。主轴扭矩的平均值和标准差，如图 13所示。趋势基本和主轴功率相同。整体仿真结果随风速变化的趋势同文献[26]中750 kW风机整体仿真结果的趋势基本一致，表明整体仿真结果的正确性。

图12 不同风况下的主轴功率的平均值和标准差Fig.12 Mean and standard deviation of rotor’s power

图13 不同风况下的主轴扭矩的平均值和标准差Fig.13 Mean and standard deviation of rotor’s torque

从文献[27]的数据可知平均风速等于及高于额定风速的风况对风电齿轮箱的损伤最大，因此本文选择平均风速为11.5 m/s(额定风速)和18 m/s，湍流密度为14%的风况作为特定风况来研究1.5 MW风电齿轮箱的疲劳损伤。在这两种特定风况下，一级太阳轮齿根弯曲应力的载荷块分布，如图 14所示。对于这两种特定风况，载荷块的分布基本相同，集中分布在215 MPa附近，但是平均风速为18 m/s的风况下载荷分布更加集中，这可能是发电机的控制造成的，从图 3可知，在额定转速附近，当转速低于额定转速时发电机的扭矩下降非常快，从而造成当平均风速为额定风速11.5 m/s时，发电机扭矩的波动幅值较大，导致各个齿轮间的啮合力变化范围大，最终造成更加分散的载荷块分布。

根据载荷块的分布和各齿轮弯曲疲劳S-N曲线参数计算风电齿轮箱各齿轮的弯曲疲劳损伤，如图 15和表 8所示。从弯曲疲劳损伤值的对比可以发现一级齿圈、二级齿圈和三级小齿轮是各级中最易发生弯曲疲劳的齿轮。第一级和第二级齿圈的弯曲疲劳损伤大是因为齿圈的材料比其他齿轮的材料稍差；而第三级小齿轮的疲劳损伤大是因为载荷循环作用的次数多。

同样根据载荷块和接触疲劳S-N曲线参数计算各齿轮的接触疲劳损伤，如图 16和表 8所示。从计算结果可知一级太阳轮、二级太阳轮和三级小齿轮是各级中最易发生接触疲劳的齿轮。第一级和第二级太阳轮的点蚀疲劳损伤大是因为接触面的曲率小(曲率定义，如图 17所示。)从而造成接触应力大，并且太阳轮的载荷循环作用的次数比行星轮和齿圈多；而第三级小齿轮的点蚀疲劳损伤大主要是因为载荷的循环作用次数比大齿轮多。从图中还可以知道，行星轮后齿面的点蚀疲劳损伤比前齿面的疲劳损伤小很多，这是因为后齿面和齿圈啮合是内啮合并且齿圈的曲率半径大，造成后齿面的接触应力小，从而导致接触疲劳损伤小，因此在实际中可以只考虑行星轮前齿面的点蚀疲劳损伤。

表8 1天内各齿轮弯曲和接触疲劳损伤值Tab.8 1-day tooth bending & flank pitting fatigue damage

(a)平均风速11．5m/s，湍流密度14%(b)平均风速18m/s，湍流密度14%

图14 一级太阳轮齿根弯曲应力的载荷块分布

Fig.14 Bending stress bins of the first stage sun gear

s1-一级太阳轮；p1-一级行星轮；r1-一级齿圈；s2-二级太阳轮；p2-二级行星轮；r2-二级齿圈；p3-三级小齿轮；g3-三级大齿轮

图15 1天内各齿轮弯曲疲劳损伤值

Fig.15 1-day gear tooth bending fatigue damage

s1-一级太阳轮；ps1-一级行星轮与太阳轮啮合齿面；r1-一级齿圈；pr1-一级行星轮与齿圈啮合齿面；s2-二级太阳轮；ps2-二级行星轮与太阳轮啮合齿面；r2-二级齿圈；pr2-二级行星轮与齿圈啮合齿面；p3-三级小齿轮；g3-三级大齿轮

图16 1天内各齿轮接触疲劳损伤值

Fig.16 1-day gear tooth pitting fatigue damage

图17 节圆处齿面曲率的定义Fig.17 Definition of radius of relative curvature at the pitch surface

5 结 论

本文建立了计算风电齿轮箱在随机风载下的疲劳寿命的模型，并且通过一个1.5 MW风机齿轮箱的实例说明了模型的计算过程和参数设置，最后根据平均风速11.5 m/s和18 m/s，湍流密度为14%风载下的计算结果找到了各级齿轮中最易发生弯曲疲劳和点蚀疲劳的齿轮：一级齿圈、二级齿圈和三级小齿轮最易发生弯曲疲劳，一级太阳轮、二级太阳轮和三级小齿轮最易发生点蚀疲劳。这对于齿轮箱排错和改善齿轮箱的设计都有很重要的指导意义。

致谢

本论文受到中国国家自然科学基金的支持，项目编号：51475263，项目名称：高动载、大传动比风电增速箱能量空间分布特性及其对疲劳裂纹扩展的影响规律，特此感谢。

参 考 文 献

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