双正交小波基构造法及其在爆破振动信号分析中的应用

2018-06-25凌同华刘浩然谷淡平吴联迎长沙理工大学土木与建筑学院长沙404福建省建筑科学研究院福州350000

振动与冲击 2018年11期

凌同华，刘浩然，张亮，谷淡平，吴联迎(.长沙理工大学土木与建筑学院，长沙 404；.福建省建筑科学研究院，福州 350000)

目前小波分析技术被广泛地应用于爆破振动信号的能量谱分析、重构分析和微差延期时间识别等方面[1-2]。微差延期时间的有效识别对维护爆破施工安全、优化爆破参数和控制爆破效果具有重要的指导意义[3-4]。由于不同小波基分析同一信号会产生不同的结果[5]，因此为了提高爆破振动信号的小波分析效果，需根据信号的特征选取或构造最优小波基。

在小波构造的实际应用中，传统的小波构造方法普遍存在盲目性、局限性和计算复杂性。目前，正交小波基构造法能够构造具有良好紧支撑性和光滑性的Db系列小波基，该系列小波基能很好地用于爆破振动信号的去噪、重构和能量谱分析[6]。然而，该系列小波基波形固定，不能与爆破振动信号的波形相匹配，导致该类小波基在微差延期时间识别方面具有较差的精确性、分辨率和稳定性。近年来，模式自适应小波构造法被用于构造与爆破振动子信号相关性高的连续小波基(Pattern Adapted Wavelet，PA小波基)。该构造方法具有目的性强和构造过程简单等特点，且构造出的PA小波基能有效提高微差延期时间的识别精度[7]。然而，不同爆破参数、不同测点、不同岩性条件下，微差爆破振动信号各不相同，爆破振动子信号也各不相同，这影响了PA小波基在微差延期时间识别方面的分辨率和稳定性；同时每分析一条微差爆破信号，即需构造一个新的PA小波基，这增加了小波构造的工作量、降低了信号分析效率。

双正交小波基具有双正交性、对称性以及小波基波形不固定的特点。因此在理论上，构造与爆破振动信号相关性高的双正交小波基从而提高小波分析效果是切实可行的。然而，现有的双正交小波构造方法盲目性强，且计算复杂。这限制了双正交小波基在爆破振动信号分析中的应用。本文结合多分辨分析理论和双正交小波基的半带滤波器形式[8-9]，改进了双正交小波基的构造方法。根据爆破振动子信号的特性和改进的小波构造法，提出一种爆破振动信号分析用双正交小波基构造方法，并运用该法构造出新的小波基。新小波基在微差延期时间识别方面具有较高的准确性、稳定性和分辨率，具有一定的普遍适用性，从而提高了爆破振动信号的小波分析效果和应用效率。

1 双正交小波构造方法

1.1 双正交小波的多分辨分析

(1)

双正交小波的两尺度函数满足如下的双正交关系[11]

(2)

即双正交小波的低通滤波器满足下列条件

(3)

1.2 完全重构滤波器的双正交小波构造法

运用拉格朗日半带滤波器构造公式[12]和完全重构条件，双正交小波的构造方法可表示为

(4)

或

(5)

其中，

(6)

(7)

完全重构滤波器的双正交小波构造法考虑了滤波器的支集长度和消失矩阶数，在一定程度上降低了小波构造的复杂性。但在运用该方法求解滤波器时，需要设Z2n的系数为零，此步骤的计算机编程过于繁琐复杂，不易于快速实现。

1.3 改进的双正交小波构造方法

由于Z=cos(ln(z)/j)，运用换元法，式(4)、(5)可改写为

(8)

(9)

(10)

Foriform 1 tondo；

t=l1-2i

Ift≥l2

z=l2

elsez=l1-2i

end

eq[1,i]:=submatrix(h1,1..1,1..z)&*transpose(-submatrix(h2,1..1,1+2i..,z+2i)=0

end:

solve({eq[1,1],…eq[1,n]},{a0,a1,…ai,b0,b1,…bi})

2 爆破振动信号分析用双正交小波构造方法

2.1 爆破振动信号分析用双正交小波构造方法的具体步骤

根据爆破振动子信号特点和WMLB法，提出一种用于爆破振动信号分析的双正交小波基构造方法(Biorthogonal Wavelet Construction Method for Blasting Vibration Signal Analysis，BWBV法)。BWBV法建立了小波基与爆破振动信号之间的关系，并降低了双正交小波构造法在实际应用中的盲目性。该法详细步骤如下：

(1) 根据爆破振动子信号的持续时间特点，设计小波基的支集长度[15-16]。支集长度太长会产生信号分析的边界问题，也会影响小波分析的局部特性；支集长度太短会影响消失矩阶数，从而减弱小波分析对信号能量的集中程度。

(2) 根据爆破振动信号的细节幅值变化和规则性，确定小波基的消失矩[17]。小波基的消失矩阶数决定了信号能量在各小波频带中的分布程度，一般消失矩阶数越高，低频段的信号能量越大。

(3) 对爆破振动子信号进行小波时-频分析，其中低频成分的主体波形能够很好的反映子信号的振动形式。因此，令小波函数与低频成分的主体波形具有一定的相似性。

(4) 将确定的支集长度、消失矩阶数代入WMLB法构造小波基，通过改变构造方程中未知数的取值调整小波基波形。

(5) 将新小波基用于模拟和实例信号分析，运用小波变换模值识别微差延期时间，以验证小波基分析的准确性、分辨率和稳定性[18-19]。若分析效果较差，则重新调整该法中各参数取值。注意，各参数调整的优先级为：方程未知数>消失矩阶数>支集长度。

爆破振动双正交小波基构造方法的流程如图1所示。

图1 BWBV法的应用流程Fig.1 Flowchart of BWBV method

2.2 双正交小波基的构造

爆破振动子信号的持续时间较短，因此新小波基的支集长度的取值范围为5～9。图2(a)为爆破振动子信号的速度-时程曲线，对子信号中的任意区域进行微观分析，通过观察区域1的幅值变化，可以看出爆破振动信号具有突变快的特点，是典型的随机非平稳信号。考虑信号规则性与消失矩之间的关系，以及消失矩阶数对信号能量分布的影响，设新小波基消失矩的取值范围为2～4。运用小波时频分析提取爆破振动子信号的低频成分，如图2(b)所示，其中低频成分的主体波形具有一定的近似对称性，因此新小波基应具有对称性，其小波函数要与该低频成分的主体波形具有一定的相似性。

(a) 爆破振动子信号速度-时程曲线

(b) 爆破振动子信号低频成分的速度-时程曲线图2 爆破振动子信号及其低频成分Fig.2 Blast vibration sub-signal and its low-frequency signal

(11)

根据式(10)，新小波的构造方程组如下

(12)

由于式(12)为不定方程，为了求解小波的尺度函数，令未知参数b1=-0.4，求出式(12)的解，则新小波的尺度和对偶尺度滤波器为

(13)

图3 MB4.2小波的函数及滤波器组Fig.3 Functions and filter bank of MB4.2 wavelet

3 新小波基的可行性验证

构造已知延期间隔的模拟信号，采用新小波基对模拟信号进行分析，从而验证新小波基在微差延期时间识别方面的精确性和普遍适用性，以及BWBV法根据爆破振动子信号特点构造双正交小波基的可行性。

3.1 模拟信号概况

在MATLAB的Simulink软件平台中，运用图2(a)中的爆破振动子信号构造模拟信号y1(n)，该信号由5段子信号叠加而成，且各子信号出现的时刻为0，0.01 s，0.02 s，0.03 s，0.04 s，即设计间隔均为0.01 s。图4为模拟信号y1(n)的速度时程曲线。运用图5中的爆破振动子信号构造模拟信号y2(n)，该模拟信号由5段子信号叠加而成，各子信号之间的设计间隔均为0.02 s，图6为模拟信号y2(n)的加速度时程曲线。

图4 信号y1(n)的速度-时程曲线

Fig.4 The velocity vs time curve of blast vibration signaly(n)

图5 爆破振动子信号加速度-时程曲线

Fig.5 The acceleration vs time curve of blast vibration sub-signal

图6 信号y2(n)的加速度-时程曲线

Fig.6 The acceleration vs time curve of blast vibration signaly2(n)

3.2 模拟信号的分析结果

(1)模拟信号y1(n)的小波分析结果

按照文献[7]中的方法，根据图2(a)中的子信号构造模式自适应小波基，并命名为PA1小波。分别采用MB4.2小波、Db5小波以及PA1小波对模拟信号y1(n)进行小波变换,并取模值，结果见图7和表1。图7(a)为MB4.2小波变换模值曲线，在该图中可以确定5个具有高分辨率的局部模极大值点，用局部模极大值点1，2，3，4，5表示各爆破振动子信号的奇异点，再用奇异点的时间坐标值表示雷管的起爆时刻。因此采用MB4.2小波得到的1-2段、2-3段、3-4段和4-5段微差延期时间，详见表1。图7(b)为PA1小波变换模值曲线，在该图中标记子信号的奇异点，并计算微差延期时间，详见表1。图7(c)为Db5小波变换模值曲线，在该图中标记子信号的奇异点，并计算微差延期时间，详见表1。在表1中，MB4.2小波的识别结果与设计间隔时间完全相等，PA1小波基和Db5小波基的识别结果与设计间隔时间存在微小误差。上述结果表明MB4.2小波、PA1小波和Db5小波均能有效识别叠加信号中爆破振动子信号的奇异性，并能运用奇异性精确识别微差延期时间，且MB4.2小波的识别精度高于PA1小波和Db5小波。这验证了MB4.2小波在微差延期时间识别方面的可行性和精确性，也证明了BWBV法根据子信号特点构造双正交小波基的可行性，从而解决了爆破振动信号分析中双正交小波构造的盲目性。

(a) 采用MB4.2小波的小波变换模值曲线(a=5)

(b) 采用PA1小波的小波变换模值曲线(a=7)

表1三种小波基识别的信号y1(n)的延期间隔

Tab.1Delayintervalofsignaly1(n)identifiedbythreewaveletbases

段次设计间隔/ms实际间隔/msMB4．2小波PA1小波Db5小波1⁃210109．69．62⁃31010109．63⁃4101010104⁃510101010注：段次1⁃2是指第一段与第二段的时间间隔，其他依次类推

(2)模拟信号y2(n)的小波分析结果

按照文献[7]中方法，根据图5中的子信号构造模式自适应小波基，并命名为PA2小波。分别采用MB4.2小波、Db5小波以及PA2小波对模拟信号y2(n)进行小波变换,并取模值，结果见图8和表2。图8(a)为MB4.2小波变换模值曲线，在该图中可以确定5个具有高分辨率的局部模极大值点，用模极大值点表示子信号奇异点，并计算微差延期时间，详见表2。图8(b)为PA2小波变换模值曲线，在该图中标记子信号奇异点，并计算微差延期时间，详见表2。图8(c)为Db5小波变换模值曲线，在该图中标记子信号奇异点，并计算微差延期时间，详见表2。在表2中，MB4.2小波的识别结果与设计间隔时间完全相等，PA2小波基和Db5小波基的识别结果与设计间隔时间存在微小误差。上述结果表明MB4.2小波、PA2小波和Db5小波均能有效识别叠加信号中爆破振动子信号的奇异性，并能运用奇异性精确识别微差延期时间，但MB4.2小波的识别精度高于PA2小波和Db5小波。这再次证明MB4.2小波在微差延期时间方面的可行性和精确性。此外，在模拟信号y1(n)和y2(n)的分析中，MB4.2小波基均具有最优的微差延期时间识别效果，这表明，与模式自适应小波构造法相比，BWBV法无需跟据不同的爆破振动信号而重新构造小波基，即BWBV法构造的小波基具有一定的普遍适用性。

表2三种小波基识别的信号y2(n)的延期间隔

Tab.2Delayintervalofsignaly2(n)identifiedbythreewaveletbases

段次设计间隔/ms实际间隔/msMB4．2小波PA2小波Db5小波1⁃2202020202⁃3202020203⁃4202020204⁃520201919注：段次1⁃2是指第一段与第二段的时间间隔，其他依次类推

(a) 采用MB4.2小波的小波变换模值曲线(a=1)

(b) 采用PA2小波的小波变换模值曲线(a=1)

图8 信号y2(n)的小波变换模值曲线

Fig.8 Wavelet transform modulus curve of signaly2(n)

4 工程实测信号分析

4.1 实测信号概况

选取某微差爆破工程中的一条爆破振动信号s(n)，加速度-时程曲线如图9所示，相应的爆破参数见表3。注意，图5中的子信号与图9中的信号s(n)同属一个爆破工程项目，所以PA2小波为该实测信号的模式自适应小波基。

图9 微差爆破振动信号s(n)的加速度-时程曲线Fig.9 The acceleration vs time curve of blasting vibration signal s(n)

表3 信号s(n)的爆破参数Tab.3 Blasting parameter of signal s(n)

4.2 实测信号分析及结果对比

分别采用MB4.2小波、PA2小波和Db5小波对信号s(n)进行连续小波变换并取模值，分析结果如图10所示。

图10(a)为MB4.2小波变换模值曲线，在该曲线中出现了5个局部模极大值点，可以清楚看出5个局部模极大值点均具有较高的分辨率。利用模极大值点的时间坐标确定雷管起爆时刻，经计算MB4.2小波确定的实际微差延期时间如表4所示。图10(b)为PA2小波变换模值曲线，在该曲线中可以找到5个局部模极大值点，其中，2#、5#和7#雷管对应的局部模极大值点的模值较大，3#、9#雷管对应的局部模极大值点的模值较小，且受局部干扰信号影响。这表明Pa2小波的分辨率较低、稳定性差，很难将爆破振动子信号中的奇异成分和干扰成分进行区分，易造成漏判和误判，该小波识别的微差延期时间如表4所示。图10(c)为Db5小波变换模值曲线，在该曲线中可以找到5个局部模极大值点，其中2#、7#雷管对应的局部模极大值点的模值较大，3#、5#和9#雷管对应的局部模极大值点的模值较小，且受局部干扰信号影响。这表明Db5小波的分辨率较低，易造成漏判和误判，该小波识别出的微差延期时间如表4所示。

(a) 采用MB4.2小波的小波变换模值(a=3)

(b) 采用PA2小波的小波变换模值(a=5)

图10 微差爆破振动信号s(n)的小波变换模值

Fig.10 Wavelet transform modulus value of blasting vibration signals(n)

在图10中，MB4.2小波基的分辨率和稳定性明显优于PA2和Db5小波基。这表明对于该爆破振动信号，MB4.2小波基具有最优的奇异性识别效果，且不受干扰信号影响，也表明MB4.2小波基确定的微差延期时间具有更好的准确性和可靠性。因此可以将MB4.2小波用于实际微差延期时间识别分析。在表4中，将MB4.2小波识别出的实际微差延期时间与雷管的设计延期间隔进行比较，可以看出MB4.2小波得到的3#-5#、5#-7#、7#-9#实际延迟时间均在设计的间隔范围内，而得到的2#-3#延迟时间略大于设计的间隔范围。这证明该次微差爆破达到设计要求，但在应用2#、3#雷管进行爆破时需谨慎。

表4三种小波基识别的信号s(n)延期间隔

Tab.4Delayintervalofsignals(n)identifiedbythreewaveletbases

段次设计时间间隔/ms实际间隔/msMB4．2小波PA2小波Db5小波2#⁃3#5～4546．958．543．03#⁃5#35～8570．371．374．25#⁃7#50～125101．687．9101．67#⁃9#60～165117．1136．7117．1注：段次2#⁃3#是指2#与3#雷管之间的时间间隔，其他依次类推

此外，MB4.2小波基在模拟信号和实测信号分析中均有较好的微差延期时间识别效果，这进一步证明运用BWBV法构造用于微差延期时间识别的小波基是切实可行的。

5 结论

(1)基于多分辨分析理论和完全重构滤波器的双正交小波构造法，提出了一种改进的双正交小波构造法。根据爆破振动子信号特点和改进的双正交小波构造法，提出爆破振动信号分析用双正交小波基的构造法(BWBV法)，构造出新的双正交小波基(MB4.2小波)，并将MB4.2小波基成功用于模拟信号和实测信号分析。

(2)BWBV法构造的MB4.2小波基能够精确识别微差延期时间，该小波基在微差延期时间识别方面的稳定性和分辨率明显优于Db5小波基和模式自适应小波基，从而提高了爆破振动信号的小波分析效果。与模式自适应小波基构造法相比，BWBV法无需根据不同的爆破振动信号而重新构造小波基，从而提高了爆破振动信号的小波分析效率。

(3)爆破振动信号是典型的随机非平稳信号，爆破振动子信号的波形具有多样性，因此单个双正交小波基并不能用于所有爆破振动信号的微差延期时间分析。下一步将运用BWBV法构建用于爆破振动信号分析的双正交小波系列。

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