话说分数和分式

毛建国

进入中学后，你会发现分数、分式是数学表示和运算的基本形式之一.不过，分数并非一开始就为人类所掌握，像其他数学知识一样，是在社会发展中逐渐成熟起来的.对于数与式，人类是先认识数的.

依据尤瓦尔·赫拉利的研究，早期人类每天只需劳作很有限的几个小时，幸福感满满的.这中间免不了会有一些无聊的人，没事的时候摆弄吃剩的果子，望着每天数目不等的梅花鹿从窝棚前跑过，以野外的捕获量竞相讨好异性.于是1、2、3、4、5……自然数慢慢在生活中产生了.但随着人口增长以及冰河时期自然环境的变化，人类为了摄取足够的热量，开始捕获大型动物.不过，抓一只老虎可不像逮一只小羊那么简单.为此，人类不得不进行分工、合作，进一步也就出现了分配问题.这可不像分配自然可数的果子那么简单，为了共同的利益，咋办？分而食之呗.长话短说，分数就这样萌生了.

古巴比伦人曾使用过分母是60的分数.公元前1650年左右，古埃及《莱因德纸草书》卷首，记录了一组分数分解表，把3到101之间的奇数分解为单位分数（分子为1的分数）之和，接着列出了87个问题，其中有应用分数的面包分配问题，甚至有14个问题涉及分数的乘法.在中国，晚周铜器铭文中出现过关于分数的叙述《.九章算术》的第一章《方田》已经讲了分数四则算法！

如何合理表示分数是人类加深对分数认知的又一个关键.古时可没有现在的符号系统，这肯定让先贤们绞尽了脑汁.古人是怎样记录的呢？下面两幅图是古埃及纸草书记载的分数样子.图1分别表示，图2分别表示古埃及人对一般分数的处理是先分解为单位分数，再进行运算，除了外，多是整数的倒数.

图1

图2

古代中国似乎没有长期忍受单位分数的折磨，你可以说我们祖先会偷懒，但你不得不为这种大智慧发出惊叹.现在想想，确实没有必要纠结3被5分是哪几个单位分数的和，直接记下“五分三”就是了.中国很早就广泛使用分数了，但很长时期一直是用文字表述的，显然不利于分数的运算和进一步研究.也可以想象，《九章算术》里的分数成果有多么了不起.南宋时期，秦九韶在《数书九章》中，独创了分数的一种表示方法.如下图，表示3056斤，明确标明了“子”和“母”的位置.与现代分数相比，就差那条华丽的分数线了.

分数线最早见于阿拉伯数学家花拉子米（783-850）的著作《还原与对消计算概要》.他比秦九韶还要年长400多岁，他是从除法角度引进分数线的，用表示3除以5.这条美丽的线段不是分隔母子的沟壑，而是联结母子的彩带.差不多与秦九韶同时代的意大利人斐波那契，早年师从北非的阿拉伯数学家，回国后写了本《算经》，把分数线带到了欧洲，对欧洲数学的发展产生了较大影响.

数与式在一定的意义上，具有相同的本质属性，但式超越了数的具象束缚，是数的“2.0升级版”，是对数的一般性揭示.分式形式虽然出现得很晚，但人类对分式的思考也有很长的历史.《九章算术》中已有通分、约分以及四则算法.显然古人已超越了具体数字的束缚，抽象出更一般的属性和规律，尽管没有从形式上界定分数与分式，尽管只能依赖繁琐的文字表述.也可以这么说，在分式出现之前，人类对分式的认识已经有七八成熟了.

伟大的法国数学家韦达在《分析方法入门》一书中，首次系统地使用符号表示未知量进行运算，提出符号运算与数的区别，规定了代数与算术的分界.韦达是第一个试图创立一般符号代数的数学家，他开创的符号代数，经另一位伟大的法国数学家笛卡尔改进后成为现代的形式.从此，数学彻底摆脱了具象的束缚，进入抽象的代数阶段.数学像笼中放飞的小鸟，进入高速发展的黄金时代.人类对分数理论的研究和完善，正式随着代数式的发展进入分式阶段，水到渠成、日臻完善.

今天，我们在课堂上这么轻易学会的分式，凝聚了人类的血汗.让我们把数学学好，继承前人的成果，开创人类的新未来吧！