分段Filipp ov系统的簇发振荡及擦边运动机理∗

张正娣 刘亚楠 李静 毕勤胜

1 引 言

实际工程系统中存在着大量的诸如干摩擦[1]、碰撞[2]、开关[3]等非光滑因素,导致相应的数学模型产生向量场的非光滑特性.而根据向量场光滑性程度的不同,非光滑系统一般可以被分为三类:1)非光滑连续系统,系统的向量场连续,而Jacobian矩阵不连续,如蔡氏电路系统[4];2)Filippov系统,系统的向量场和Jacobian矩阵不连续,而状态空间连续,如干摩擦系统[5];3)非光滑脉冲系统,系统的向量场、Jacobian矩阵和状态空间均不连续,如碰撞系统[6].

由于非光滑向量场存在着各种类型的非光滑分界面,使得轨迹产生了一些特殊的穿越分界面模式[7],从而导致整个系统出现复杂的动力学特性,而传统的非线性分析方法无法解释这些行为的产生机理[8].长期以来,非光滑系统复杂性及其机理分析一直是非线性动力学领域内的热点和前沿课题之一[9].围绕非光滑系统,国内外学者开展了大量的研究工作,相关结果大都是基于数值仿真得到的,如Kahan和Sicardi-Schifi no[10]讨论了非光滑电路中的同宿分岔行为,Baptista[11]给出了双涡卷系统中间歇现象等.而由于分析方法的不足,相关理论研究大都停留在平衡点和极限环的稳定性及其余维一分岔上.如对于穿越分界面的平衡点,以Leine为代表的学者们将微分包含理论[12]引入到其稳定性分析中,通过引入辅助参数,得到形式上光滑的平衡点穿越分界面时的向量场,根据其广义Jacobian矩阵特征值随辅助参数变化时穿越零值及纯虚轴的情况,给出平衡点的不同非光滑分岔的形式及其分岔结构和行为[13];而对于极限环,则通过引入非光滑映射,得到相应的Floquet乘子,按照其穿越单位圆的形式,给出相应的非光滑分岔结构和行为[14].由于实际非光滑向量场特性的复杂性,加上高余维分岔及高维系统的复杂性,相关理论分析大都局限在低维系统的低余维非光滑分岔上[15].

同时,在实际工程中经常会涉及不同尺度的耦合,这些不同尺度可以是时间上的,如催化反应中存在着两种不同反应速率之间的耦合[16],航空航天器中存在着快速的旋转运动与相对较慢的平动之间的耦合[17];也可以是空间上的,如绳系卫星[18]和输电塔线体系[19]中存在着刚柔耦合.不同尺度之间的耦合,使得无量纲模型出现不同量级向量场分量之间的耦合,导致系统产生特殊的动力学特性,通常表现为大幅振荡与微幅振荡之间的耦合[20].对不同尺度之间耦合导致的复杂行为的研究,最早可以追溯到Cardin等[21]在探索行星轨迹时建立的奇异摄动方程,但是,直到诺贝尔奖获得者Hodgkin和Huxley[22]建立了两快一慢的神经元模型,成功地再现了神经元的簇发放电行为以后,不同尺度耦合才引起了国内外学者的高度关注[23].但是,由于缺乏有效的分析方法,相关工作大都局限在现象报道和数值仿真上[24].直到Izhikevich[25]引入Rinzel的快慢分析法,才将相关研究提升到机理分析的层次.从那时起,大量的不同簇发振荡及其机理分析的结果见诸报道,但大部分工作都是针对自治系统即时域上的不同尺度耦合开展的[26].

由于周期激励会引起不同频率参与系统的振荡,而当周期激励频率与系统的固有频率之间存在着量级差距,即存在频域上的不同尺度耦合时,会导致系统产生类似的簇发振荡行为[27],而频域上的不同尺度耦合系统不存在明显的快慢子系统.为此,本课题组提出了一系列相关的分析方法[28],得到了各种激励模式下的簇发振荡现象及其产生机理.

而对于周期激励下的非光滑Filippov系统,当周期激励频率远小于系统的固有频率时,不同尺度耦合效应的研究工作尚不多见,不仅是由于Filippov系统本身的复杂性[29],同时,也是因为频域上不同尺度耦合簇发振荡的特殊性[30].因此,有必要开展相关的研究工作,探讨非光滑Filippov系统的各种复杂运动及其产生机理.

为深入揭示非光滑Filippov系统的尺度效应,本文以相对简单但非常经典的Duffi ng振子为例,通过引入对状态变量的分段控制,适当选取参数,建立了频域上两尺度耦合的非光滑Filippov系统.考虑当周期激励频率远小于系统的固有频率的情形,将整个周期激励项视为慢变参数,分析不同区域内及分界面上广义自治系统的平衡点及其分岔,结合转换相图,得到了两种典型参数条件下的不同簇发振荡及相应的分岔机理.

2 数学模型

为便于说明非光滑系统中的尺度效应,现以经典的Duffi ng振子为例,引入对状态变量的分段控制,可以建立如下的非光滑动力学模型

其中ω=A sin(Ωt),对应于周期激励项,A表示振幅,g(x)=[sgn(x−1)−1]/2对应于分段控制项.显然,系统的状态相平面由非光滑分界面(记为Σ:={(x,y)|x=1})分为两个光滑子区域,即区域D+:={(x,y)|x>1}和区域D−:={(x,y)|x<1},分别对应着不同的子系统.系统的轨迹在不同的区域内受不同子系统的控制,从而导致系统产生复杂的动力学特性,同时,当周期激励频率Ω远小于系统的固有频率ωN时,即Ω≪ωN,由于存在频域上的不同尺度耦合,会导致诸如簇发振荡等特殊的非线性行为.在此必须指出的是,与线性系统不同,非线性系统的固有频率与系统的状态相关,如对于系统(1),其固有频率可以由设定A=0时相平面上平衡点相应一对共轭特征值的虚部决定,并随着状态变量x的变化而变化.

3 含慢变参数广义自治系统的平衡点及其分岔分析

当Ω≪ ωN,也即周期激励频率与系统固有频率之间存在量级差距时,相应状态变量主要按照固有频率振荡.在固有频率对应的任一周期t∈ [t0,t0+2π/ωN]内,周期激励项ω =A sin(Ωt)在ωA=A sin(Ωt0)和ωB=A sin(Ωt0+2πΩ/ωN)之间变化,可见ωA≈ωB,这说明ω在固有频率的任一周期内变化很小.因此,可以把整个周期激励项ω看作慢变参数,进而得到含慢变参数的广义自治系统.从另外的角度,若把整个周期激励项视为慢子系统,而把含慢变参数的广义自治系统视为快子系统,快慢两子系统的耦合构成两尺度耦合系统(1).快子系统将决定系统的沉寂态和激发态的形式,而慢子系统则会对系统的轨迹起到调节作用.因此,首先需要分析快子系统即含慢变参数广义自治系统的分岔特性.

由于非光滑分界面的存在,含慢变参数广义自治系统在不同区域内表现为不同的形式.下面分析在不同区域中及非光滑分界面上该系统的分岔特性.

3.1 区域D±内的平衡点稳定性及分岔分析

在区域D±中,含慢变参数广义自治系统的平衡点可以表示为E±=(x0±,0),其中x0±满足

其稳定性由如下特征方程决定:

由(3)式可知,当µ >0,−α +3β[x0±+g(x0±)]2>0时,E±为稳定的平衡点.由于无量纲阻尼系数µ>0,不会产生Hopf分岔,而当满足条件

相应特征值穿越零值时,平衡点失稳.由(2)式可知,系统的平衡线为典型的S形曲线,故系统可能会产生fold分岔,导致跳跃现象.

3.2 分界面上的非光滑分岔分析

由于系统向量场在分界面Σ:={(x,y)|x=1}上不连续,因此,轨线穿越分界面Σ :={(x,y)|x=1}时可能出现非光滑分岔,可以通过微分包含理论[12]来分析.引入辅助参数q,利用Clarke导数得到广义Jacobian矩阵

其中J+,J−分别对应于区域D+和区域D−内平衡点相应的Jacobian矩阵,其广义特征方程可以表示为

进而可知相应的特征根为:

同样可知,在非光滑分界面上,不会产生Hopf分岔,而当

相应特征根穿越零值,在分界面可能会产生非光滑fold分岔,导致轨迹在非光滑分界面上的跳跃现象.

在区域D±内及分界面上的这些分岔行为将直接影响到系统的动力学特性,而这些分岔的产生与否和系统参数存在着密切的关系,为进一步说明相关的分岔特性,图1给出了µ=0.1,α=1.0,A=5.0,Ω=0.01,β分别为β=0.5和β=2.0时,快子系统随慢变参数ω变化的平衡曲线及其分岔特性,其中实线表示稳定解,虚线代表不稳定解.同时,红色曲线表示该解虽然存在,但由于分界面所对应的子系统的限制,其解不可能实现,而蓝色表示该解与相应子系统在同一定义域,是真实存在的.

图1 µ=0.1,α=1.0,A=5.0,Ω=0.01时的平衡曲线及其分岔 (a)β=0.5;(b)β=2.0Fig.1.Equilibrium branches as well as bifurcation points forµ=0.1,α=1.0,A=5.0,Ω=0.01:(a)β=0.5;(b)β=2.0.

从图1中可以看出,两子系统所对应的平衡曲线均存在两个fold分岔点,加上平衡曲线与分界面的交点,从而导致相应平衡曲线被分为性质不同的四段.如对于β=0.5时的E−曲线,可以分为四段,其中EB−1稳定,EB−2不稳定,且均能实现;而EB−3不稳定,EB−4稳定,但均不能实现.

在非光滑分界面Σ与平衡曲线的交点上,其相应的广义Jacobian矩阵所对应的特征值分布定性相同,当平衡点穿越分界面时,在β=0.5时,q=2/3,而在β=2.0时,q=1/6,广义特征值穿越零值,可能会产生非光滑fold分岔.

虽然表面上图1(a)和图1(b)两种情形相似,但进一步分析可以发现,两者存在着明显的区别,在β=0.5时,随着慢变参数ω的增加,相应的位于D−区域内的子系统存在着可以实现的稳定平衡曲线EB−1,该平衡曲线直到抵达Π2时才会产生fold分岔,而在D+区域内的稳定平衡曲线EB+4从ω变化到Π1时就会产生失稳,随着ω的减小一直保持稳定.而当β=2.0时,在D−区域内的稳定平衡曲线EB−1当ω增加到Π1时就会失稳,而EB+4从ω变化到Π2时才会产生失稳.也就是说,当β =0.5时,在ω ∈ (−∞;+∞)区间内,存在着EB−1和EB+4之间变化的稳定平衡曲线,而当β=2.0时,在ω∈(−∞;WP1]区间内存在稳定的平衡曲线EB−1,而在ω∈[WP2,+∞)区间内存在稳定的EB+4,其中WP1和WP2分别对应于截面Π1和Π2时相应的ω值,满足WP1

由于两种情形下系统平衡曲线的性质在ω∈(WP1;WP2)区间上存在着本质的不同,从而导致系统可能会产生不同的尺度效应,下面分别探讨这两种情形下系统的不同振荡行为及其产生机理.

4 簇发振荡及其机理分析

为进一步揭示上述两种情形下振荡行为之间的本质区别,在此引入转换相图的概念[28].由于上述平衡曲线及其分岔分析都是基于将慢变量ω作为参数得到的,即给出了平衡曲线及分岔行为与ω之间的关系,而传统的相图给出的是不同状态变量之间的关系,无法反映这些平衡曲线及其分岔对其振荡行为的影响规律.因此,有必要引入能够反映状态变量与慢变量之间关系的转换相图.

传统的相图反映的是随时间变化不同变量之间的关系,对于本文的系统模型而言,传统相图可以表示为Γ:≡{[x(t),y(t)],∀t∈R},在此基础之上,定义

为转换相图,即将ω视为广义状态变量,能够描述状态变量与慢变量ω之间的相互关系.

4.1 β=0.5

图2 β=0.5时系统振荡行为 (a)(x,y)平面上的相图;(b)x的时间历程Fig.2.Oscillatory behavior of system forβ=0.5:(a)Phase portrait on the(x,y)plan;(b)the time history of x.

图2 给出了β=0.5时系统在(x,y)平面上的相图及其相应的状态变量x的时间历程.从图2(a)中可以发现,系统轨迹可以分为位于D±区域中的两个部分,表现为分别趋于稳定焦点E±的逐渐收敛过程.当轨迹抵达E±时,由于慢变量的作用,轨迹产生跳跃现象而趋向分界面Σ,同时,在轨迹穿越分界面Σ时,存在非光滑行为.

从图2(b)中相应的时间历程可以发现,状态变量x在大幅振荡和微幅振荡之间来回变化,分别对应于SP±和QS±,表现为典型的周期簇发振荡特性,其振荡周期与ω完全一致,也即T=2π/Ω.

为揭示这一簇发振荡的产生机理,图3给出了相应的转换相图及其与平衡曲线之间的叠加图.从图3(a)中可以非常清楚地看出,按照分界面的划分,系统轨迹可以分为分别位于区域D±的两部分,不同区域中的轨线随着慢变量ω的变化,又分别存在着趋于稳定平衡点的渐进过程和从平衡点产生跳跃的过程.

图3 β=0.5时簇发振荡 (a)(ω,x)平面上的转换相图;(b)转换相图与平衡曲线的叠加图Fig.3.Bursting oscillatory forβ=0.5:(a)Transformed phase portrait on the(ω,x)plane;(b)the overlap of equilibrium branches and transformed phase portrait on the(ω,x)plane.

为说明其振荡机理,下面分析转换相图与平衡曲线的叠加图(图3(b)).假设轨迹从M1点出发,对应于慢变量ω取最小值ω=−5.0,由于M1位于区域D−内,因而轨迹受D−内子系统控制,而该子系统存在稳定的平衡曲线EB−1,因此轨迹几乎严格沿EB−1运动,表现为沉寂态QS−,直到轨迹抵达分岔点FB−2,产生跳跃现象.由于此时轨迹依然受D−内子系统控制,轨迹将跳向D+区域内的稳定平衡曲线EB−4.在该跳跃过程中,当轨迹穿越分界面Σ后,轨迹转为受D+内子系统控制,而该子系统在D+区域内存在稳定的平衡曲线EB+4,因而轨迹将逐渐振荡趋于稳定平衡曲线EB+4.由于从分界面到EB+4之间存在一定的距离,而EB+4为焦点型平衡曲线,因此存在着振荡趋于该稳定平衡曲线的过程,导致大幅振荡,对应于激发态SP+.随着ω的继续增加,激发态的振荡幅值逐渐减小,直至轨迹稳定于平衡曲线EB+4上,进而几乎严格沿该平衡曲线运动,进入沉寂态QS+.

当轨迹运动到M2点,也即ω增大到最大至ω=+5.0时,随着时间的增加,ω将逐渐减小,使得轨迹掉头,此时轨迹受D+区域内子系统控制,因此几乎严格沿EB+4反向运动.当轨迹穿越分界面Σ进入D−区域时,轨迹转而受D−区域内子系统控制,因此轨迹将趋向焦点型平衡曲线EB−1,导致大幅振荡,对应于激发态SP−.随着ω的继续减小,其激发态的振荡幅值也逐渐减小,直至轨迹稳定到平衡曲线EB−1上,进入沉寂态QS−,并几乎严格沿EB−1运动,直到轨迹抵达出发点M1,完成一个周期的振荡.

必须指出的是,轨迹两次穿越分界面的性质不同,在ω增加过程中的穿越,是由于D−区域中平衡曲线的光滑fold分岔引起的,而在ω减少过程中的穿越,是由于轨迹抵达平衡曲线与分界面交点时产生非光滑fold分岔引起的,这不仅可以从上述的微分包含理论说明,也可以从轨迹的跳跃过程得到证实.这也导致在两区域D±内,产生激发态的机理是不一样的.在D−区域内,由于fold分岔,使得轨迹跳向D+区域内的另一稳定平衡曲线,而在这一过程中,一旦轨迹穿越分界面,就会产生趋向D+区域内子系统的稳定平衡曲线.而在D+区域内,当轨迹沿稳定平衡曲线运动到分界面时,由于控制系统发生突变,导致轨迹跳向D−区域内子系统的稳定平衡曲线.同为跳跃现象,一种是由光滑fold分岔引起的,而另一种是由非光滑fold分岔引起的.另外,两激发态分别对应于从轨迹和分界面交点处向不同区域内子系统的稳定平衡点的收敛的暂态过程,因此其相应簇发振荡的频率可以由焦点型平衡点特征值的一对共轭复根的虚部决定.

另外,当非光滑分界面为快子系统的平衡曲线时,在其相应的簇发振荡中存在着擦边运动行为[31],非光滑分岔决定着擦边运动的开始和终结及轨迹穿越分界面的模式[32].而在本文中,由于子系统的平衡曲线直接穿越非光滑分界面,两子系统的稳定平衡曲线及其相应吸引域分别存在于不同的区域中,导致了其簇发振荡中的擦边运动,并直接决定着擦边运动的开始和结束.

从几何结构上,该簇发振荡表现为围绕不同平衡点的振荡,因此,可以称为周期非光滑点-点型簇发振荡.而从分岔形式上,其沉寂态向激发态的转换分别由光滑fold分岔和非光滑fold分岔引起,因此,该簇发振荡也可以称为周期光滑fold/非光滑fold簇发.

4.2 β=2.0

由上述分析可知,增加参数β值,会导致平衡曲线的变化,从而可能会改变振荡吸引子的结构.图4给出了β=2.0时系统在(x,y)平面上的相图及其相应的状态变量x的时间历程.

从图4中可以看出,系统轨迹虽然也是围绕两平衡点振荡,但是其穿越非光滑分界面的方式发生了很大的变化,不仅表现在穿越次数的增加,同时,在y轴上穿越范围也显著变化.特别地,由图4(b)可知,轨迹在非光滑分界面上发生了擦边运动,这也可以从图5中状态变量x的时间历程中得到证实.

从图5中的时间历程及其局部放大图可以发现,其轨迹依然表现为周期振荡,且同样包含两个沉寂态QS±和两个激发态SP±.然而与β=0.5时相比,发生了明显的变化,主要表现在:1)轨迹存在着多次穿越分界面的非光滑行为,参见图4(b)和图5(c);2)轨迹会沿分界运动一定的时间区间,即产生擦边运动,参见图5(d);3)两区域中激发态的振荡周期发生变化,参见图5(b)和图5(c).

导致激发态周期发生变化的主要原因是,对于图5(b)中的激发态,由于整个激发振荡的过程不穿越分界面,其振荡频率可以由位于区域D−中的平衡曲线所对应特征值共轭复根的虚部近似,经计算可知两特征值为λ1,2=−0.1±2.16i,从而可得激发态振荡频率的理论值近似等于2.16,这与图5(b)中的数值仿真结果Ω1=2π/T1=2.09符合良好.而对于图5(c)中的激发振荡,其相应轨迹来回穿越分界面Σ,因此其振荡频率分别由两部分组成,即分别由从分界面到位于D±中不同吸引子振荡趋近部分组成,经计算其振荡的理论解近似为3.17,这也与数值仿真结果Ω2=2π/T2=3.14非常一致.

为进一步说明β=2.0时振荡行为的产生机理及上述两种不同模式簇发振荡之间的区别,图6给出了β=2.0时簇发振荡的转换相图及其与平衡曲线的叠加图.从图6(a)中可以看出,系统轨迹在D±区域内分别围绕两稳定平衡曲线振荡,两振荡过程之间出现了两种形式的连接方式,一是跳跃连接,二是先沿非光滑分界面上运行一段时间后,再产生跳跃连接.

图4 β=2.0时系统振荡行为 (a)(x,y)平面上的相图;(b)(x,y)平面上的局部放大图Fig.4.Oscillatory behavior of system forβ=2.0:(a)Phase portrait in the(x,y)plan;(b)the locally enlarged parts in the(x,y)plan.

图5 β=2.0时x的时间历程及其局部放大图Fig.5.Time history of x forβ=2.0 and its locally enlarged part.

图6 β=2.0时的簇发振荡 (a)(ω,x)平面上转换相图;(b)转换相图与平衡曲线叠加图及局部放大图(c)和(d)Fig.6.Bursting oscillatory for β =2.0:(a)Transformed phase portrait on the(ω,x)plane;(b)the overlap of equilibrium branches and transformed phase portrait on the(ω,x)plane and the locally enlarged parts of the overlap in(c)and(d).

为进一步说明簇发振荡模式的机理,下面分析其转换相图与平衡曲线之间的叠加图.依然假设系统轨迹从M1点出发,对应于慢变量ω取最小值ω=−5.0(参见图6(b)),由于M1点在D−区域内,因而轨迹受D−内子系统控制,而该子系统存在稳定的平衡曲线EB−1,因此轨迹几乎严格沿EB−1运动,表现为沉寂态QS−,直到轨迹抵达与分岔点FB−2点对应相同ω值的M3点(参见图6(c)),由fold分岔产生跳跃现象.由于此时轨迹依然受D−内子系统控制,轨迹将跳向D+区域内的稳定平衡曲线EB+4.

4.2.1 围绕分界面振荡机理

在该跳跃过程中,当轨迹穿越分界面Σ后,轨迹转为受D+内子系统控制,而该子系统仅在D−区域内存在稳定的平衡曲线EB+3,因而轨迹又穿越分界面返回D−区域,转为受D−内子系统控制,同样,该子系统仅在D+区域内存在稳定的平衡曲线EB−4,轨迹只能穿越分界面回到区域D+.由于不同区域中子系统的稳定平衡曲线与该子系统分别位于不同的D±区域内,因此,控制轨迹的系统在两子系统之间交替变化,从而导致轨迹来回穿越非光滑分界面,形成这种特殊形式的激发态SP+.

随着ω的继续增加,激发态的振荡幅值逐渐减小.当轨迹抵达M5点时(参见图6(d)),一旦轨迹进入区域D+后,由于控制系统与其相应的稳定吸引子均位于同一区域D+内,因此轨迹将逐渐稳定于相应的稳定平衡曲线EB+4上,进入沉寂态QS+(参见图6(d)).当轨迹几乎严格沿稳定平衡曲线EB+4运动到M2时,即对应于ω取最大值ω=+5.0,随着时间的继续增加,ω将逐渐减小,从而导致轨迹几乎严格沿EB+4反向运动(参见图6(b)).当轨迹运动到稳定平衡曲线与分界面的交点,也即截面Π2上的M5点时,随着ω的继续减小,会产生擦边运动(参见图6(d)).

4.2.2 擦边运动机理

当轨迹运动到分界面上的M5时,由上述分析可知,当ω取值范围在两截面Π1和Π3之间时,控制轨迹的系统和其所对应的稳定平衡曲线分别位于不同D±区域内,一旦轨迹穿越分界面则必将反向返回,而在M5点轨迹与分界面之间的距离为零,因此在两子系统的交替作用下,轨迹只能驻留在分界面上,从而导致轨迹的擦边现象.

当轨迹沿分界面擦边运动到位于截面Π3与分界面的交点,即图6(c)中的M6点时,一旦轨迹进入D−,由于控制轨迹的子系统与相应的稳定平衡曲线均位于同一区域D−内,因此,轨迹将跳向稳定平衡曲线EB−1,由于分界面与焦点型稳定平衡曲线EB−1之间存在一定的距离,从而导致大幅振荡趋近过程,产生激发态SP−.随着ω的继续减小,轨迹的振荡幅值也将逐渐减小,直到轨迹稳定于平衡曲线EB−1上.当轨迹几乎严格沿稳定平衡曲线EB−1运动到出发点M1时,完成一个周期的簇发振荡.

4.2.3 擦边运动时间

显然,当ω取值位于两截面Π1和Π3之间时,会产生擦边运动,因此擦边运动的时间可以根据ω从截面Π1变化到截面Π3所需的时间来近似.从图7中可以得到擦边运动时间的理论近似值为TC=19.42,而从其相应数值计算中的时间历程(图5(d))可以得到相应擦边运动的时间为TS=18.63,两者符合良好.

从几何结构上,该簇发振荡依然为周期非光滑点-点型簇发,而从分岔机理上,该振荡则为周期非光滑fold-sliding簇发振荡.

从上述不同参数条件下系统行为的分析可以发现,快子系统的平衡曲线及其相应的分岔特性不仅直接影响到系统的簇发振荡形式,其与分界面之间的关系也会影响簇发振荡轨迹穿越分界面时的动力学行为.

图7 ω在两截面Π1和Π3之间的变化情况Fig.7.The change ofωbetweenΠ1 andΠ3.

5 结 论

周期激励下Filippov系统存在频域上不同尺度耦合时会产生各种簇发振荡行为.周期激励频率远小于系统的固有频率的情形,可以将整个周期激励项视为慢变参数,从而得到相应的快子系统,即广义自治系统.非光滑分界面将整个状态平面划分为不同的区域,随慢变量的变化,在各个区域中子系统存在着不同的平衡曲线及分岔特性.同时,在非光滑分界面上,平衡点也会产生相应的非光滑分岔行为,这些平衡曲线及分岔特性,不仅影响整个激励系统簇发振荡的结构,也会影响轨迹在分界面上的行为.必须指出的是,在系统运动过程中,当控制子系统与相应稳定平衡曲线在同一区域时,轨迹将逐渐稳定于该平衡曲线,而当控制子系统与相应稳定平衡曲线在不同区域时,轨迹将产生穿越非光滑分界面的行为.其穿越方式与稳定平衡曲线的具体分布密切相关,在不同条件下,会产生直接穿越现象,也会产生沿分界面的擦边运动,其产生机理可以通过相应子系统及其平衡曲线的性质得到.

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