基于实数信号的多相FFT实现

丁兆贵，张生凤，李宏圆

(中国船舶重工集团公司第七二三研究所，江苏 扬州 225101)

0 引 言

传统快速傅里叶变换(FFT)借助多相结构[1]实现多相FFT，相比传统的FFT实现，多相结构降低了数据传输速率。一方面，实际应用中模数转换(ADC)信号为实数信号，FFT频谱呈现共轭对称特性，仅一半频域信息有效，这说明频域变换有一部分运算是冗余的；另一方面，传统多相FFT各通道互相耦合，需要同时输出，难以采用分治法将功能模块划分为不同的子模块。

基于传统多相FFT的特性，本文提出改进的多相FFT实现思路，改进后的结构仅提取一半频域信息，且改进后的奇偶信道可分别独立处理，即奇偶信道分治。本文主要分为4个部分：(1)对传统的理论模型进行介绍；(2)论述本文思路以及创新点；(3)针对不同算法进行仿真分析；(4)全文总结。

1 传统多相FFT结构

频域处理在侦察接收机中具有广泛的应用场景：信噪比提升、频率特性分析、宽带信道化等等。对于实时的ADC信号，借助多相结构可以实现变速率传输，降低对硬件运算速度的要求。

1.1 多相分解

设系统的系统函数为H(z)，其定义为：

(1)

定义第m个多相分量为：

(2)

则H(z)可表示为：

(3)

对应结构[2]可表示为图1。

图1 多相滤波结构

1.2 多相FFT

假设x(n)长度为N(MxP)，对应傅里叶变换：

(4)

令k=s+tP，借助多相结构表达，得出多相傅里叶变换：

(5)

进一步化简可得：

(6)

多相FFT结构可表示为图2。

图2 多相FFT结构

2 改进的多相FFT

ADC采样信号为实信号，频域仅一半信息有效，从该点特性出发通过改进多相FFT结构，设计一种新的多相FFT实现结构。

2.1 改进思路

傅里叶变换体现了信号与各频率基信号的相关性，仅考虑频域一半信息的傅里叶变换：

k=0,1,…,N/2-1

(7)

式中：xeven为偶数序列；xodd为奇数序列。

通过该变换可得出结论：对于2N点数的单边谱，可通过2个N点FFT变换得到。

2.2 改进的多相结构

对于长度为N的序列x(n)，DFT变换的频点可任意设定，假设N点序列DFT变换后频点个数为2N，给出单边谱(N点)结构的多相FFT表达式：

(8)

当t为奇数：

(9)

式中：DFT′[.]表示单边谱变换，即：

(10)

同样地，当t为偶数：

(11)

其中内层DFT′[.]在t为奇、偶2种情况下，可通过2倍抽取简化为同一个子模块进行计算，改进后的多相结构如图3所示。

图3 改进的多相FFT

采用多相结构使得数据率降低，数据进入奇、偶通道后，奇通道、偶通道可分时复用后处理通用模块。相比传统多相架构，本文提出的结构实现了功能分治：多相结构划分奇偶子模块实现，且各子模块相互独立，奇、偶信道分别独立输出，而传统多相FFT中奇偶信道互相耦合，需要同时经过FFT后处理。图4给出了图3中提到的后处理(奇通道、偶通道均采用该模块)通用模块。

图4 后处理通用模块

3 仿真试验

仿真实验主要分为2个部分，首先仿真验证传统多相FFT的有效性；其次仿真验证本文多相FFT结构的有效性。

仿真1：传统FFT

采样率为1 000 MHz,信号频率218 MHz，256个采样点，信道总数取16。

将多相FFT各信道拼接，图5给出了拼接的频谱与直接FFT频谱的对应关系，可以看出多相FFT与直接FFT在结果上完全一致。

图5 多相FFT与传统FFT对比

多相FFT仿真结果如图6所示，可以看出信号分别落在第4、13两个信道，且信道1～8与信道9～16在幅值上互为镜像。从图5、图6的结果可以看出多相FFT既有传统FFT的功能，又可以划分子信道。

图6 多相FFT各信道输出

仿真2：改进多相FFT实现

采样率为1 000 MHz,信号频率373 MHz，256个采样点，信道总数取16。

图7给出了改进多相FFT实现结果，从图7可以看出该结构与传统FFT完全等价。图6给出了奇偶信道经过后处理的输出结果，其中奇偶信道的结果分别计算得出，二者相互独立，并且奇信道、偶信道共用同一个后处理模块。根据结果可以观察到改进的多相FFT频谱由奇偶信道的频谱拼接而成，对于输入信号为实数信号的场景，该结构仅计算[0,fs/2]的频域信息，并仅考虑奈奎斯特域对应的频域信息。

图7 改进多相FFT结果图

4 结束语

本文在传统FFT基础上，首先分析多相FFT实现思路，并进一步提出了改进的多相FFT结构。

该结构主要有2个创新点：(1)借助基本多相结构，仅分析奈奎斯特域对应的频域信息；(2)信号的奇偶信道可实现分治。实验结果证明了本文思路的合理性以及算法的有效性。

[1] HARRIS F J,DICK C.Digital receivers and transmitters using polyphase filter banks for wireless communications[J].IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques,2003,51(4):115-121.

[2] 宗孔德.多抽样率信号处理[M].北京：清华大学出版社，1996.