数学开放性问题是数学命题的新方向

孙晶晶

摘 要：在倡导素质教育的大前提下为智育重要一环的数学教育也应做出大胆改革，去适应社会的发展与需要。“数学开放性问题”理念的提出，为我们提供了一个很好的关于数学命题的发展方向。本文探讨了数学开放题的定义，分类，特征，设计原则，以及数学开放题对于实施素质教育及培养学生实践和创新能力的重大意义。

关键词：数学开放性问题；实践能力；创新能力；数学兴趣

数学开放性问题，是兴起于70年代的一种新题型，在国外称之为“Open-ended problem”。与国外相比，我们在对于应试教育反思中，逐步认识到：数学教学（育），不应建立在“概念、定理——例题——练习”的知识传授型模式之上，而应建立在对学生的积极鼓励，引导学生进行探索的以学生为中心的创造型模式之上。本文探讨了数学开放题的定义，分类，设计原则，以及数学开放题对于实施素质教育及培养学生实践和创新能力的重大意义。

一、数学开放性问题的定义

数学开放性问题作为一个概念，应该给它一个明确的定义。但至今为止，还没有哪一个人或社团对数学开放题做出一个令人信服的定义。浙江教育学院戴再平教授给出了如下定义：所谓数学开放题是指条件补充分，解题策略不唯一，结论不确定的数学问题。华师大的张奠宙教授指出：开放题，无终结答案，培养发散思维，创造思维的数学问题。还有很多的定义这里就不一一给出。但汇总起大家的说法，我认为只要具有以下三个基本特征或者至少具有其中的一个特征就可以称为数学开放题：

（1）条件不足或多余；

（2）结论多变不确定；

（3）解题策略，方法，思路多种多样；

二、数学开放题的分类

对数学开放题的分类，从构成数学题系统的四要素（条件、依据、方法、结论）出发，可定性地分成四类。他们分别为条件开放型，结论开放型，策略开放型，以及综合型。

1.条件开放型，即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一

比如，例一：如果A离学校5千米，B离学校10千米，问A﹑B相距几千米。

这道题是荷兰弗赖登塔尔数学教育研究所所长，德·朗治（De.Lange）先生，1994年在上海作报告时讲到的一道题。此题看似极为简单，但事实上，它具有丰富的内涵，有不同解法，可涉及到自然数，有理数加减，圆的几何轨迹，函数，点的距离，乃至圆的参数方程等诸多知识。之所以隐含多个知识点，究其原因就是此题的条件是开放的。

条件中A、B的位置不确定，如果作各种不同的设定，则可以构成各种不同层次的解题过程和结论。

（1）如要我们设定A、B与“学校”在一直线上，那么应该有两种情况（即两解）。

（a）A、B在学校同侧（譬如如图在右侧）：

这时AB=10-5=5（千米）

（b）A、B在学校异侧（如图）

这时，AB=10+5=15（千米）

2.结论开放型，即在给定条件下，结论不唯一

例一：写出一个一次函数，使它的图象经过点（3，4）。或求出一个二次函数，使得当时，当时，当时.等等。这道题，学生只要了解函数概念和性质都可以拼凑出答案。这对于加强学生对于数学概念的理解是非常有好处的。

3.策略开放型，即思维策略与解题方法不唯一

比如：向阳小学四年级共有79人，在参加植树劳动前派一位同学去商店购果汁。商店规定：单盒买每盒2元，买40盒装一箱9折优惠，买50盒装一箱8.8折优惠，这位同学可以有哪些购买方案？怎样购买才能既让每位同学都能喝到一盒果汁，又最省钱？

这是一道策略开放题，求解者至少可以有三种不同购买方案选择：

（1）2.00×79=158.00（元）；

（2）（2.00×50）×0.88+2.00×29=146.00（元）；

（3）2.00×40×2×0.9=144.00（元）.

其中第三个购买方案显然是最省钱的，而且还多出一盒；即：40盒一箱的买两箱（可打九折）。但这是一个需要“打破常规”才能获得的策略思考。

4.综合型，即需要学生主体自己将问题数学化，然后建立数学模型，再实现问题解决

综合型实际上是一种更高级的数学开放题，它满足数学开放题的特征，而且又有所突破。它的条件是需要学生自己去寻找发现的，结论由于个人寻找的条件不同而不同，解决问题的思路也是因人而议。它对于锻炼学生的创新和实践能力都是大有益处的。

比如，例一：暑假到来，小民和小刚家住杭州，相约要到上海，苏州进行三日游，得到了父母的允许，并每人给他们400元钱，规定旅游时间不能超过三天。回杭州的时间不能超过晚上10点。再交给他们两城市的火车，轮船，汽车时间表，以及旅游景点票价。要求学生作出旅游计划。

这道综合开放题，它们仅用一般性的语言描述了一个问题的情景，具有相当大的不确定性；因此，在解题方法尚未得出之前，就得首先收集有关信息，然后将问题数学化并建立数学模型。由于主体思考角度与经验背景的不同，必然会提出各种不同解题策略和解法，从而会得到各种不同的精确或近似的﹑繁冗或简练的﹑可推广或难以推广的结论。这种问题其条件﹑解题策略与结论都呈现了极大的开放性。

以上题型已基本囊括了所有的数学开放题，但我国开放题型的研究起步较晚，题目并不丰富，这也是我们以后应该努力的方向。

三、数学开放题的设计原则

开放性问题引导学生去发现新规律，新的结论，去拓展前人尚未涉足的领域。在解决开放性问题的过程中，往往要运用各种推理手段，如归纳，类比，联想等，所以开放题的设计就显得尤为重要。设计开放性试题时应遵循以下六个原则。

1.思维性原则 开放性试题的设计应对教材进一步去补充和拓宽，挖掘教材内容的思维因素，从而构建基础性的训练与探索性、思维性训练相結合的习题体系，培养学生思维的深刻性、发散性和创造性。

2.开放性原则 开放性试题的设计要有利于开放学生的思维，让学生认识到数学不仅仅是狭隘的数学知识本身，它是我们广泛联系、认识世界、改造世界的有力工具。

3.层次性原则 根据学生的个性发展及差异性，设计开放性试题应讲究梯度，由浅入深，拾级而上，螺旋上升，层层开放，在评分标准上要体现这一原则。

4.合理性原则 开放性试题的设计应立足于教材内容与学生的基础知识，符合学生的认知规律，注意避免不从客观实际出发的主观主义和追求形式的做法。

5.实用性原则 设计开放性试题要紧密联系生活实际，多设计一些面向生活的开放题。把生活问题提炼为数学问题，调动生活经验用于数学问题的创造性活动积极性，以利于学生运用所学知识解决实际问题，体会数学的实用价值，体验数学知识来源于生活，又服务于生活的真谛。

6.可行性原则 开放性试题的设计要注意在考試状态下，学生可以在较短的时间内做答；在学生有多种解答的情况下，评卷时能够有统一的、稳定的标准进行参照评分；为了使开放性试题得到有序的、可持续性的发展，题目难度不宜过高，所占分数比例要有所控制。

四、研究数学开放题的意义

开放性问题可以促进学生智力因素与非智力因素与非智力因素的同步发展。因为要想顺利地解出开放题，必须对问题进行全方位，多角度的观察，分析，充分揭示问题的本质特征，既要注意力集中，又要记忆力强，想象力丰富，思维敏锐；而且有些开放题还可以长时间钻研，需要意志力和毅力，从而促进非智力因素的发展。

数学开放题强调了数学知识的整体性。而传统的封闭式的例题，仅停留在分类介绍技巧和方法的水平，指向知识，技能，原理和他们的适应性，往往会导致学生对某个结论或方法的记忆；重视的是学生计算，演绎等严格推理的能力，忽视了培养学生的社会实践，非形式的推理能力。因此数学开放题作为一种新的命题方式，把数学教学作为一个互相联系的有机整体，使同学们在数学上得到全面培养。

五、小结

运用开放题教学是数学本身发展的需要，是培养学生数学创新能力的需要，也就是实施教学素质教育的需要。学生解决开放性问题的长期性，他们要去实践，调查，而作为交教育者的我们，应该给予他们充分时间，也许学生们会带给我们惊喜！

参考文献：

[1]申建春.《湖南教育》2000年第11期

[2]戴再平.《数学习题理论》.上海教育出版社.1996.10

[3]钱从新.《有关开放题的基点探讨》.数学通报.北京

（作者单位：新疆乌鲁木齐市第74中学 830023）