基于MATLAB的无碳小车轨迹优化

2018-06-14王晶东陈广俊汤翔李妍王旭

机械工程师 2018年6期

王晶东，陈广俊，汤翔，李妍，王旭

（1.长春理工大学，长春130022；2.中国电力工程顾问集团东北电力设计院有限公司，长春130022）

0 引言

全国大学生工程训练综合能力竞赛[1]已经成功举办四届，吸引全国众多重点院校参与其中，有效地培养了大学生动手实践、运用理论知识的能力。由于“8”字形小车[2]，对尺寸设计、机械加工的精度要求较高，为避免主要尺寸误差对小车运行轨迹造成较大误差，本文在利用解析法[3]建立小车转向以及运行轨迹的数学模型[4]，并利用MATLAB对小车运行轨迹进行仿真[5]，在得出单周期小车最优尺寸的前提下，为减小累积误差，对小车进行多周期仿真，最终得出小车参数最优值，为无碳小车的设计提供了有效的参考。

1 工作原理分析

图1 小车三维模型

所设计的无碳小车具体结构如图1所示。小车整体机构主要分为驱动部分和换向部分，且均由线轴驱动。当重锤下落，其重力势能通过线轴转换为小车各部分的驱动力。

换向部分利用不完全齿轮实现间歇运动，由与线轴固联的不完全齿轮1驱动，其通过曲柄滑块的简单变形机构拨动转向架，实现前轮的间歇摆动。曲柄的有效半径和拨杆在滑块上的位置均可调，主要用于控制前轮的初始角度和摆角的大小。驱动部分主要通过一对增速较大的直齿轮实现，线轴与驱动大齿轮固联。由于“8”字形小车转弯半径较小，两个后轮应该具有良好的差速性能。本设计中，通过后轮单轮驱动，另一后轮与后轴铰链连接，可自由转动，解决了差速问题[6-7]。

2 转向机构分析

2.1 驱动方程的建立

由于小车在运行过程中速度基本恒定，假设线轴的角速度ω1已知，且ω1=0.2π(rad/s），根据传动比公式

式中：ω1为驱动大齿轮角速度，其与绕线轴角速度相等；ω2为驱动轮角速度；Z1为大驱动齿轮齿数，取130；Z2为小驱动齿轮齿数，取20。则可得驱动轮角速度ω2=0.13π(rad/s），则驱动轮线速度vq2=r2ω2=0.078π(m/s），其中r2为驱动轮半径，取60 mm。

2.2 转角方程的建立

由于小转向机构具有间歇性，即转向部分运动的数学模型是基于时间的分段函数。分析不完全齿轮间歇传动特点可知，转向机构的运动周期T0与线轴转动周期相同，均为10 s。

由于齿轮啮合线速度相等，可得ωb1rb1=ωb2rb2，式中：ωb1为不完全齿轮1的角速度，ωb1=ω1=0.2π(rad/s）；ωb2为不完全齿轮2角速度；rb1为不完全齿轮1的半径，取40 mm；rb2为不完全齿轮2半径，取10mm。则可得不完全齿轮2角速度ωb2=0.8π(rad/s）。

由不完全齿轮2的角速度可知，在连续工作时，转向机构的运行周期T1=2.5 s，则转向机构在间歇工作周期T0=10 s时，有7.5 s不动作，则可设定动作时间区间为

其中，k∈N，则当t∈T时，ωb2=0.8π(rad/s），其余时间，ωb2=0。

图2 曲柄滑块运动简图

可得曲柄的线速度v3=ωb2r=0.8πr，其中，t∈T，r为曲柄的有效长度，其值可通过优化轨迹确定。

转向部分曲柄滑块的运动关系如图2所示。

由图2可得滑块直线移动的速度

将v3、ωb2代入式（2），可得

图3为滑块通过拨头拨动转向架摆动的运动简图。

图3 滑块拨动转向架运动简图

由图3可得：

式中：φ为转向架与车身夹角，0＜φ＜π；a为前轮立轴线与拨杆端部拨头在垂直于车身方向投影的垂直距离，a=19 mm；b为前轮立轴线与拨杆端部拨头在平行车身方向上投影的垂直距离。则可得

其中，b0为初始值，可通过优化轨迹确定其值。

将a、b的参数值以及式（5）代入式（4），可得转向架与车身的夹角

由于前轮与车身方向的夹角与转向架与车身的夹角互余，则可得前轮与车身方向的夹角

考虑到前轮轮轴随时间变化间歇摆动，故将θ写成关于时间的分段函数

式中：ψ=b0+0.8πrcos（0.8πt）；k∈N。

根据式（6），利用MATLAB绘制出如图4所示的前轮摆角变化曲线。

图4 小车前轮摆角随时间变化关系

由图4可知，小车前轮每个周期内包括2次换向，2次间歇停止摆动，符合实际情况，验证了所建立方程正确。由图4易知，前轮偏向于车身一侧时，角度值为正，偏向于车身另一侧时角度值则为负。

图5 小车简化模型

3 运行轨迹分析

将三轮小车模型简化为二轮车以简化小车的模型。设二轮小车某一时刻前轮的转角为θ（t），其模型简图如图5所示。

其中，A代表驱动轮转轴轴心，B代表转向轮转轴轴心。在较小的时间段δ(t）内，小车由AB移动到A′B′。若忽略AA′在竖直方向上的二阶小量，即认为δ（t）时间后，A′仍在线段AB上[10-11]。

绘制的小车简化模型运动轨迹如图6所示。

小车由初始位置A0B0经过3δ（t）移动到A3B3。在求小车运行轨迹方程时，忽略小车自身运动状态，以小车前轮轴心B为小车质点，则B点位置坐标代表小车位置。以B0点为原点，小车初始位置A0B0所在直线为x轴，建立直角坐标系。

图6 简化小车模型运动轨迹图

图6中，L为小车车身长度，取L=137 mm，即A0B0=A1B1=A2B2=A3B3=L=137 mm。R为驱动轮的线速度vq2与微小时间段δ（t）的乘积，即R=vq2δ（t），其中vq2=0.078π m/s。

仿真时，仿真时间设置为1s，步数设置为100，则取δ（t）=0.01 s，将参数代入，求出R=2.45 mm，即A0A1=A1A2=A2A3=R=2.45mm。

根据正弦定理，在图6中，以三角形A1B0B1为参考对象，可得：

则B1点坐标：

同理在三角形A2B1B2中，可得

则B1B2与x轴正方向的夹角

可得B2点坐标：

同理可得B3点坐标：

由数学归纳法[12]得Bn点坐标：

4 轨迹仿真及参数优化

根据上式，利用MATLAB中编写小车运行轨迹程序[13]，并对其仿真。所编写程序要实现参数人机交互[14]，即每次仿真之前，要键盘输入曲柄的有效长度r和b的初始值b0，计算机便会绘制出对应输入参数的小车轨迹。

首先，对小车轨迹在一个周期10 s内进行调整，取得合适参数，使小车轨迹尽可能接近“8”字形，然后根据所取参数，继续优化仿真，得到如图7所示小车轨迹图。

图7 一个周期小车的运动轨迹

图8 多周期小车运动轨迹

对图7（b）进行分析知，当r=0.005 mm，b=0.013 mm时，小车在一个周期内可形成一个完整封闭的“8”字形轨迹，而其它图内“8”字形轨迹都不完整，当一个周期结束时，小车无法返回起点位置。

通过对小车在单个周期内轨迹的仿真分析，得到参数r、b的初步优化值。也验证了所建立小车轨迹模型的正确性。观察图7（b），可看出“8”字形轨迹中间交叉点偏向于一侧，这正是转向机构不对称性在轨迹上的反应[15]。

为了观察小车累积误差大小，再次利用MATLAB对小车在20个运动周期内的运行轨迹进行仿真，仿真结果如图8所示。图8（a）中，参数设置为一个周期的优化值。易知，小车轨迹的重复性很差，所以要对初选参数值进一步优化，使轨迹的重复性满足要求[16]。

图8（b）、图8（c）中，“8”字形轨迹随时间沿圆弧方向平移，图8（d）、图8（e）、图8（f）中，轨迹随时间绕圆形旋转，轨迹的重复性较差。在图8（g）中，小车轨迹重复性好，20个周期内，小车轨迹位置基本不变，可以有效地避免小车碰桩，所以结合单周期、多周期小车轨迹优化分析，参数的最优值r=0.005 35 m，b=0.013 45 m。

5结论

1）设计了一种轨迹近似于“8”字型的无碳小车，详细介绍了其内部结构与工作原理，并利用解析法建立了小车转向机构以及运行轨迹的数学模型。

2）根据建立的小车轨迹模型，利用MATLAB对小车运行轨迹进行仿真，得到一个运行周期内的小车参数最优值。为了减小小车累积误差，在单周期最优值基础上进行多周期仿真，分析仿真结果，得到小车轨迹最小误差时的小车最优参数值r=0.005 35 m，b=0.013 45 m。

[1]裴鑫智.开展大学生工程训练综合能力竞赛的意义—以无碳小车的改进和优化为例[J].山西科技,2015,30(5):103-104,109.

[2]王立靖,隋红艳,王丽.“无碳小车”机械结构的创新性设计及仿真分析[J].机械工程师,2016(2):120-121.

[3]刘洋,姜吉光,谢醇.基于“轨迹分析法”的无碳小车微调机构的创新设计[J].机械传动,2015,39(12):83-87.

[4]卞玉帅,陈正强,晁兴旺.无碳小车轨迹建模与参数优化[J].科技视界,2013(33):171,173.

[5]武时会.8字形无碳小车的建模与Matlab仿真[J].科技风,2017(14):28-29.

[6]濮良贵,纪名刚.机械设计[M].7版.北京:高等教育出版社,2001:186-236.

[7]朱孝录.机械传动设计手册[M].北京:电子工业出版社,2007.

[8]李杰,谢良喜,马昭,等.无碳小车轨迹模拟及转向机构的优化[J].机械工程师,2015(7):36-38.

[9]同济大学.高等数学[M].北京:北京高等教育出版社,2006.