基于FDM的自适应分层算法的研究

王占礼， 任元， 陈延伟， 周天诣， 高山山

（长春工业大学机械工程学院，长春130012）

0 引言

快速成型技术利用计算机技术，逐层堆叠打印出立体模型的方法，具有不需要模具即可生产出各种产品模型的特点，它用于生产少量、单件的产品，并且可以降低成本、节省时间。在制造业得到了广泛的应用，具有广阔的应用前景[1-3]。

熔融沉积成型工艺的分层方法有2种[4-6]，其一为等厚度分层，等厚度分层由于其本身的过程简单，所以在LM系统中得到了广泛的应用。但是，等厚度分层有一个弊端，即会产生较大的台阶效应[7-8]，台阶效应会降低成型件的成型质量。针对于这一弊端，近几年来，国内外学者提出了第二种分层方法——自适应分层方法[9-10]，这种方法可以自动识别制件的边界曲率，从而调节成型件每层的打印厚度，优点是可以提高制件的成型质量，并且节省打印时间。因此，自适应分层方法是未来分层方法中的重要发展方向[11]。

1 等厚度分层分析与计算

图1为阶梯误差的数学模型。

由图1可得出以下公式：

式中：ε为实际模型边界与理论模型边界在堆积平面方向上的最大距离；δ为与模型边界相切的直线和经过层边底端与该直线平行的直线的距离；R为当前层边与理论边界相交处的曲率半径；θ为层片底端与堆积平面间的夹角；φ为层片顶端与堆积平面间的夹角；t为分层厚度。

当θ=0°时，式（2）、式（3）可写成

图1 阶梯误差的数学模型

当φ=90°时，由式（1）、式（2）得

由式（1）、式（3）得

即此时CAD模型表面与分层制造实体边界沿实体表面法向方向的最大距离就是分层厚度[12]。

当θ=0°和θ=90°时，阶梯面积趋于无限大，这种情况不可能存在，所以角度选取时要去除此两点。

成型件在成型时会由于材料自身的特性会产生收缩变形，通常阶梯不是完全垂直的，而是实际轮廓线和成型方向存在一个偏置夹角，己有研究表明[13-14]，偏置夹角的取值范围为5°～15°。但是即使引入偏置夹角，粗糙度与成型角度的关系仍不受影响，所以在此不考虑角度偏置夹角。

图2 层厚分别为0.2 mm和0.3 mm时的表面粗糙度和体积误差

图2为层厚分别为0.2 mm和0.3 mm时的表面粗糙度和体积误差的示意图。由图2得出以下结论：1）随着θ角的增大，ε逐步增大，即在制作快速成型制件时，制件边与竖直方向夹角愈大，体积损失愈大。并且随着θ的增大，δ逐渐增大，即在制作快速成型制件时，制件边与竖直方向夹角愈大，制件表面越粗糙。2）分层厚度越大，相同成型角度的ε值越大，即制件体积损失越大，并且随着成型角度的增加，其ε值相差越大；并且随着成型角度的增加，其δ值相差越大。

2 自适应分层厚度计算

2.1 对图形表面进行参数化分析

对于曲线C，沿着曲线的切线逐渐变化的方向为曲率向量，曲线向量在曲线上的分量为曲率。曲率的半径为曲率绝对值的倒数，即在这一点形成与曲线C相切的圆的半径。曲率可以延伸到整个表面,如图3所示，与表面上某一点相切的部分为一个平面。沿切平面的每个方向，切线矢量的变化率都是相对的。因此在这一点上，曲面的曲率并没有唯一的定义。

图3 表面的法向曲率示意图

对图形进行参数化分析可以得到

曲率的定义为：

将表达式的分子和分母同时除以du2，可得到曲率的另外一种表达式：

2.2 垂直方向法向曲率的计算

我们可以在切线平面上找到一个垂直于水平的方向。考虑任何表面S上有都有2条曲线C和C′，做出这2条曲线的切线α和α′，那么可得出如下方程：

让θ角在P点所在曲线的切线角之间，α和α′的数量积为θ的余弦。将表达式进行简化，可以得到以下方程：

根据这个方程，如果已知方向v′，就可以得出与v′垂直的方向：

用vortho取代v，可得出与表面的曲率法向方向垂直的方向。

一旦这个曲率被确定，就可以通过曲率绝对值的倒数得出局部曲线的半径。然而，一个重要的问题仍然没有得到解决，如图4所示，点P和Q两者具有相同的曲率半径，但是，在P点处的半径方向向内，而Q点处的半径方向向外。这种模糊性可以通过考虑与曲率相关的符号来解决。

平面曲线的曲率可以是正的或负的，得出平面曲线的曲率向量

式中：t和n分别是切线和曲线的法线；k是曲率向量；k是曲率。可以很容易地发现，如果方向的dt/ds的方向与n的方向相反，那么曲率为负值，否则为正。对于具有转折点的平面曲线（带连续导数），向量在拐点两侧有不同的曲率，可以很容易的通过符号k的不同来区分曲线的凸和凹，这样就可以得到2种情况下的曲率。

图4 曲率的含义

如前文所述，对象应该是建立在负公差或正公差基础上的。设P为表面上的一点，将P点所在表面的部分近似为一个圆。近似于圆的曲线可能存在正偏差或负偏差，曲率存在正值或负值，因此有4个可能的组合。为了清楚起见，将负偏差和正偏差分成2个不同的部分，分别如图5、图6所示，虚线区域表示所建物体的内部。

由图5（a）、图5（b）可以得出负偏差时d的公式：

图5 负偏差时的数学模型

图5（c）、图5（d）为负偏差时，θ趋近于0，即cosθ趋近于1。因为δ≤R，它意味着这个条件只发生在θ接近于零时，即点P非常接近赤道的圆。可将式（17）、式（18）简化为如下方程：

正偏差的数学模型如图6所示。由图6（a）、图6（b）可得到关于d的方程：

图6（c）、图6（d）为正偏差时，θ趋近于0，即cosθ趋近于1。可将式（21）、式（22）简化得到如下方程：

图6 正偏差时的数学模型

3 分层实例与分析

图7为零件的CAD模型，由1个圆柱、半个球组成。零件CAD模型是在AutoCAD中进行制作的。图7（a）为CAD模型的轮廓图，图7（b）为等层厚分层的效果图，图7（c）为自适应分层的效果图。

图7 零件的CAD模型

图8 二次开发的CURE仿真分层

为了更好地比较等分层厚度和自适应分层的分层效果，将等层厚分层的层厚设置为0.5 mm，将自适应分层的最小层厚设置为0.2 mm，最大层厚设置为2 mm，用CURA软件进行仿真分析，从仿真效果图可以清晰地看到，相对于等层厚分层，零件的成型质量有了明显的提高，详细分析结果见表1。

从表1可以得出：在采用相同的几何误差要求条件下，等层厚分层的打印时间为325 min，自适应分层打印时间为294 min，相对于等层厚分层，自适应分层方法的打印时间减少了10.3%，分层表面质量可以提高15%[15]。

表1 等厚度分层与直接自适应分层结果比较

4 结论

本文为了兼顾FDM快速成型工艺的精度和效率，对实体表面进行了参数化分析，基于STL模型的负偏差、正偏差两种情况下的自适应分层方法进行计算，依据三维CAD模型的边界曲率的变化率，确定其分层的厚度。结果表明，RP工艺所产生的原理性误差与实体表面的方向、曲率半径以及分层厚度有关，改进的自适应分层算法易于编程，提高了制件的成型质量，且节省了打印时间。

[1]史玉升,张李超,白宇,等.3D打印技术的发展及其软件实现[J].中国科学:信息科学,2015,45(2):197-203.

[2]董海涛.熔融沉积快速成型的工艺分析[J].制造技术与机床,2013(10):96-98.

[3]孙建平,曹志清,张爱军,等.FDM自适应分层层厚范围研究[J].机械设计与制造,2006(12):29-30.

[4]陈鸿,程军.激光快速成型系统中自适应分层算法及实现[J].应用基础与工程科学学报,2003,11(3):329-334.

[5]赵吉宾,刘伟军.快速成形技术中基于STL模型的分层算法研究[J].应用基础与工程科学学报,2008,16(2):224-233.

[6]张嘉易,刘伟军,王天然.三维模型的适应性切片方法研究[J].中国机械工程,2003,14(9):750-752.

[7]PAN X,CHEN K,CHEN D.Development of rapid prototyping slicing software based on STL model[C]//Proceedings of the 2014 IEEE 18th International Conference on Computer Supported Cooperative Work in Design.Piscataway:IEEE.2014:191-195.

[8]陆春进,侯丽雅,杨继全.微小机械快速成型系统中的CAD技术[J].机械科学与技术,1998(4):683-685.

[9]钟山,杨永强.RE/RP集成系统中基于STL的精确分层方法[J].计算机集成制造系统,2012,18(6):1145-1150.

[10]ZHANG Z,JOSHI S.An improved slicing algorithm with efficient contour construction using STL files[J].International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2015,80(5-8):1347-1362.

[11]WANG S,WANG Y,CHEN C S,et al.An adaptive slicing algorithm and data format for functionally graded material objects[J].The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2013,65(1/2/3/4):251-258.

[12]刘利.光固化快速成型制件的精度研究[D].大连:大连理工大学,2005.

[13]AHN D,KIM H,LEE S.Fabrication direction optimization to minimizepost-machininginlayeredmanufacturing[J].International Journal of Machine Tools&Manufacture,2007,47(3-4):593-606.

[14]江开勇,肖棋.熔融挤压堆积成形的原型精度分析[J].中国机械工程,2000,11(6):665-667.

[15]马静静,胥光申.基于AutoCAD的CAD模型直接切层方法研究[J].计算机光盘软件与应用,2012(13):128.（责任编辑 马忠臣）