基于数学核心素养的高考数学备考建议

黎福庆

【摘 要】本文阐明基于高中数学核心素养的数学高考备考方向，总结备考的基本思想，即概括试题的具体问题，建立高考数学全国卷试题题干和设问的模胚，在模胚题的基础上建立部分变式题，形成题集，供高三学生和数学教师使用。

【关键词】高考数学 核心素养 模胚题 变式题

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2018）02B-0067-02

高中数学核心素养是数学学科特有的适应青少年一生发展和国家发展需要的人的基本思维和必备能力，是数学学习目标的集中体现，也是在数学知识的发生、发展的过程中慢慢形成起来的。当前数学核心素养的内容主要包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析，也就是说，数学核心素养是众多数学素养中更应该注重的核心要素。陈敏（2015）认为，将一切数学基本知识剔除，余下的数学逻辑、推理和分析能力则是数学核心素养，培养数学核心素养需要具有针对性的教学设计和一定监督效果的教学评估来保障。孙朝仁和马敏（2015）认为，培养数学核心素养要从教学生如何正确运用数学开始，从现实中发现抽象，从具体中剥离规律，从微观中总结宏观。

2017 年数学高考全国卷考试大纲的修订与前两年相比，主要表现是从数学思想方法、能力以及科学与人文素养三个方面提出要求，进一步了解学生的数学学习现状，注重引导一线教师积极更新教学理念，削弱重知识轻能力、人为地将科学与人文分开等现象给学生的发展带来的负面影响，更加重视数学文化，体现考查数学核心素养的思想。总体而言，它进一步优化高中数学基础知识结构，适当削减一些不必要的教学内容，比如在数学考试大纲中删去选考模块 4-1“几何证明选讲”，以更好地集中培养高中学生的数学核心素养。这既符合目前高中数学教学实际，又保持了与数学教学大纲和今后课程改革标准的一致性，更能提高高中数学教学实效性与备考的有效性。

一、明晰基于高中数学核心素养的数学高考备考方向

基于高中数学核心素养，通过分析 2015—2017 年高考数学全国卷的试题本质特征就可发现高考试题的基本解法，并由此总结出备考的基本思想。就试题而言，概括出试题的具体问题，建立高考数学全国卷试题题干和设问的模胚，在模胚题的基础上建立部分变式题，形成题集，编著为校本教材，供学生和高三数学教师复习备考使用。以三角函数部分为例，进行举例说明。

1.概括出三角函数试题的具体问题

〖高考原题 1〗（2015 年全国 Ⅰ 卷）sin20°cos10°-cos160°sin10°=（ ）。

〖问题 1〗利用两角和、诱导公式变形求值。

（2016 年全国 Ⅱ 卷）若 ，则 。

〖问题 2〗利用两角差、同角公式变形求值。

（2016 年全国 Ⅲ 卷）若 ，则 。

〖问题 3〗利用二倍角、同角公式變形求值。

由以上归纳出考点：利用主要公式变形求值。

〖高考原题 2〗（2015 年全国 Ⅱ 卷）△ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分 ∠BAC，△ABD 面积是 △ADC 面积的 2 倍。（Ⅰ）求 ；（Ⅱ）若 AD=1， ，求 BD 和 AC 的长。

〖问题 1〗利用面积公式列方程变形求解。

（2016 年全国 Ⅰ 卷）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC（acosB+bcosA）=c。

（Ⅰ）求 C；（Ⅱ）若 ，△ABC 的面积为 ，求 △ABC 的周长。

〖问题 2〗利用正余弦定理方程变形求解。

（2017 年全国 Ⅰ 卷）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 △ABC 的面积为 。

（Ⅰ）求 sinBsinC；（Ⅱ）若 6cosBcosC=1，a=3，求 △ABC 的周长。

〖问题〗利用面积公式列方程变形求解。

由以上归纳出考点：利用正余弦定理、主要三角公式、基本不等式等知识，通过转化、方程等思想，经过运算、推理、解三角形及其有关问题。

2.形成三角函数大题的模胚

（1）解三角形的本质：已知某三个元素（三角形确定），求其他元素或有关的量。如果已知某一两个元素（三角形不确定），则可求出其他部分元素，并可以求出某些元素或有关量的变化范围。

（2）命题思路：间接给出三角形的一个条件，利用另一个或两个元素的值和隐藏条件求某元素或量或取值范围。

（3）命题蓝图：给出三角形的一个条件。①已知一个元素，求另一个元素；②已知另一个元素，求某个元素或有关量的范围。

由此得出模胚。如：在 △ABC 中，AB=2AC。①若 C=90°，求 B；②若 AB=2，求 △ABC 的面积的最大值。

3.划分与确定高考数学内容，明晰主要方向

（1）对试卷、教材、考纲三者的领会。关于试卷，因为知识有变化，思想方法又隐藏于答案，数学能力与内容有关，因此需要对试卷进行归纳。关于教材，因为知识不系统，思想方法零散，数学能力隐含于知识发生发展当中，因此需要对教材进行整理。关于考纲，因为考纲中知识太多，思想方法指向不明，学科能力描述空洞，因此需要对考纲进行有效详细解读。

（2）对高中数学基本知识（含基本技能和具体方法）的划分与确定。高中数学基本知识：“是什么”“具体怎样做”“掌握解决问题步骤”。数学学科基本思想方法：“如何想到”“如何运用”“掌握同一类问题的解决方法与思路”。数学学科基本能力的内容及要求：数学抽象、逻辑推理、数学建模（创新意识和应用）、数学运算、直观想象、数据分析六个核心素养，做到以此立意命题，统领问题并解决。

（3）对试题进行归类整合。按照内容划分，将试题归类，全国卷可分 14 类：函数与导数、三角、立体几何、解析几何、概率统计、向量、数列、不等式与线性规划、排列组合与二项式定理、算法、复数、集合与简易逻辑、坐标系与参数方程、不等式（选讲）。要求突出核心思想，始终贯穿思想方法，体现学科能力。呈现要清楚，问题的一般描述形式为“用概念、规则等知识通过学科思想方法做具体分析、解决任务”，问题形式简洁，知识层次分明，题目搭配合理。

（4）对考点的划分与确定。问题与内容，主要是考查问题及其核心思想方法，如，小问题及主要知识方法技能，具体问题及概念规则应用等。对于大题模胚及得分点来说，包含评分标准，各小问题的得分步骤，共性和突破点以及相应的训练题。对于小题题型结构及变式来说，要有考查问题题型结构，条件结论变式方向，变式题组。

（5）对考查问题进行归纳。首先，针对高考内容分别进行分类，一按教材分类（14 类），二按高考试题分类（按近三年全国卷试题按内容归类）。其次，归纳各类试题的考点，弄清考查问题及其分层问题、考查内容及其分层内容、大题模胚及其得分点、小题题型结构及变式题目。就题目而言，包括例题、课堂练习题、作业题、测试题。

（6）对考查问题及其考查内容进行归纳分析。要给出每一道题的完整解答过程。根据解答总结考查内容（含学科核心知识和思想方法，板块内的主要知识方法、技能，涉及的主要概念、原理、法则），归纳出这类题考查的问题（高考考查问题，考查问题包含小问题，小问题涉及的具体问题）。

（7）大题模胚构建。明晰试题考查的本质，整理命题思路（如何给出题目的条件，适合解决什么问题），设计命题蓝图（将命题思路具体化，给出题目基本形式）。

（8）弄清小题题型结构。弄清本小题考查的本质，总结条件的变化形式，有哪一些条件，它们如何变化；总结结论的变化形式，有哪一些结论，如何变化。

二、明晰高考数学研究的出发点

认真对 2015 年、2016 年、2017 年高考数学全国卷试题和高中阶段数学核心素养进行研究，找到数学核心素养和高考数学内容的关联性。

三、明晰高考数学的研究立足点

文献研究—制订过程规划—案例分析（作品分析）—调查研究（问卷调查、座谈、个案调查）—拟定数学高考的模胚题—设计模胚题的变式题—构建高中数学问题的框架。

四、确定高考数学研究路线

理论基础研究（包括对高中生数学认知发展理论的把握、高考及其相关研究成果的把握、数学课程标准的内容标准对高考各知识点的认知要求）—现状调查研究（问卷调查、访谈、个案调查，内容包括广西近年师生对高考的认识情况、广西高中生近年高考成绩状况、数学学科认知发展状况）—个案研究（高考现状及经验的研究）—作品分析（广西近年高考试题研究、学生答题研究）—理论建构 1（拟定高考数学的模胚题）—理论建构 2（设计模胚题的变式题）。

总的来说，近几年的高考数学试题注重考查学生的逻辑推理能力、实践能力、关键能力、创新意识，体现课程标准和考试大纲内容和要求的一致性。基于数学学科核心素养的高考数学研究，不仅对考生和高三教师具有一定的指导意义，而且对更新教师教学理念和促进学生学习都会产生积极的影响。

【參考文献】

[1]常 磊，鲍建生.情景视角下的数学核心素养[M].数学教育学报，2017（4）

[2]常毓喜.中学数学教学如何应对高考考试内容的变化以及核心素养的提出[J].中国考试报，2017（2）

【基金项目】本文是广西教育科学“十三五”规划 2017 年度广西考试招生研究专项课题“基于核心素养下的数学高考问题的内容研究”（2017ZKS010）的部分研究成果。

（责编 卢建龙）