一道解析几何试题的析题展示

◎王建鹏

析题是近年来比较流行的一项教研活动，与以往的说题不同，析题的关键在“析”，在于“用题去教”，即通过对学情的预设，选择题目做传输带，刺激学生把原有的知识经验作为新知识的生长点，进而形成新的知识经验。下面，我以一道高三质检题为例进行析题，以期达到抛砖引玉的效果。

展示题目：如图1，椭圆的左、右 焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为为椭圆上一点，且TF2垂直于x轴。

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）给出命题：“已知P是椭圆E上异于A1A2的一点，直线A1P，A2P分别交直线l：x＝t（t为常数）于不同两点 M、N，点 Q在直线 l上.若直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P，则Q为线段MN的中点”，写出此命题的逆命题，判断你所写出的命题的真假，并加以证明。

一、试题评价

1.考试评价功能 本题主要考查椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的定值问题等基础知识，并以这些知识为载体，考查学生的抽象概括能力、推理论证能力与运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想。试题通过对解析几何板块学科本质的考查，来实现对学生综合运用学科知识分析问题和解决问题的能力的评价。试题的主要亮点有（1）能严格遵循“数学科的考试，按照‘考查基础知识的同时，注重考查能力’的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养”这一命题原则（注：《考试大纲》）；（2）问题设置脉络清晰，层次分明，注重几何描述，强调数形结合，能有效地在问题的求解过程中实现对数学思想方法和学科本质的考查。

2.教学导向功能 本题的设计切合《课程标准》的基本理念，符合《考试大纲》与《全国考试说明》的要求，很好地体现了高中数学立足基础、关注过程、突出思想、把握本质等教与学的导向。重视对学生运用数学语言进行思维和交流的能力的培养，有效引导数学教学由结果教育向过程教育的转变。

二、教学意图

1.课堂情景 本题拟作为高三理科第二轮圆锥曲线的定值问题专题复习的例题。

2.学情分析 通过分析省质检该题的得分情况，结合平时对学生的观察、了解学生的现有发展区基本特征为：学生已学习了运用坐标法解决圆锥曲线定值问题的基本方法，已有一定的运用参数工具解定值问题的经验，但是在类比能力、化归能力、运算能力上还有一定的不足，对“设而不求”的思想方法还不熟练。如：学生比较习惯以斜率或比值为参数解决定值问题。而对于以点的坐标为变量的“设而不求”，由于还要涉及到点在曲线上横纵坐标之间的关系，对学生的运算求解能力和数据处理能力的要求大大提高，学生往往显得很不适应信心不足。同时，“类比、推理、联想”能力的不足也是学生在求解本题时可能遇见的思维障碍。

3.教学目标 基于课程标准的要求、学生情况的实际、遵循教学目标的“三维”理念，确定教学目标为：学会选择合适的变量切入问题，体会“设而不求”的思想方法在解定值问题中的价值，经历“类比、推理、联想”的探究过程，进一步理清运用“设而不求”思想解决圆锥曲线定值问题的一般方法。

三、教学流程

下面我以波利亚的“怎样解题表”为指导展示第（Ⅱ）问的析题过程。

1.弄清题意 数学解题过程中的“观察”是“弄清题意”的一种方式，它往往贯穿于整个解题过程的始终。拿到一个题目时，需要经过初步观察弄清题意，明确解题的目的、任务，然后有目的地对问题的局部从角度进行观察，分析它们的结构特征以及之间的关系，为“拟定计划”打下基础。

2.拟定计划 从本质上来看，第（Ⅱ）问研究的对象还是圆锥曲线的定值问题。直线PQ与椭圆E相切的结论并不受点P位置的影响。换句话说，只要点P是椭圆E上的一点，结论就一定成立。回到题目的条件，条件与结论之间的关系是否显然？如果没有，如何显化条件？不难看出，点Q为线段MN的中点，而M、N两点又是直线A1P、A2P与直线l：x＝t的交点，可见点Q的坐标是受点P影响的。但因为结论并不受点P位置的影响，依据“设而不求”的思想，解决本题应从点P的坐标P（x0，y0）入手，结合x0与y0满足的条件，并在推导过程中进行有效的“消元”。

3.实施计划 依据拟定的计划实施解题过程，检验每个步骤是否正确，并穿插易错点的讲解与分析。

平心而论，在解决解析几何问题的过程中，不同的学生有不同的解题体验，也获得了不同的解题经验。但有一点无法回避，解析几何的本质决定了其考查的重点必然是学生的推理论证能力和运算求解能力，这在本题得到了非常好的验证。

4.反思提高 作为高考的一个热点，从全国考试说明的要求以及高考命题的趋势来看，以圆锥曲线为背景的定值问题应引起我们的高度重视。本道试题的价值在于，能较好地切中学生原有的知识经验，贴近学生的“最近发展区”。刺激学生把原有的知识经验作为新知识的生长点，进而体会研究定值问题不应只是掌握具体的方法如参数法，更要关注对“设而不求”的思想方法本质的理解，提高“类比、推理、联想”的探究能力。

然而，我们探究的目的绝非纯粹地强调应如何对试题进行改造，而是希望借助这样的共同反思，加深对圆锥曲线定值问题解决方法的本质理解，加深对教学过程中从发散到回归的教学理念的升华。正所谓“解需有法，而解无定法”。在解决问题时，首先要对相关知识与方法“寻根溯源”，总结一套切实可行的解题思路，更要在此基础上打破思维定势，见机行事，才能在我们的脑海中“活水长流”。

［1］解析几何主观题备考策略与注意事项［J］.吴亲饶.考试与招生2018年03期