高中数学解题思想方法之一

马韵贤

摘 要 换元法是我们高中生常用的知识，灵活应用换元法，对数学中遇到的问题进行转换能使很多问题都迎刃而解。用一句话来概括换元法就是“复杂结构简单化，混乱思路清晰化”，帮助我们简化思路，找到清晰的解题思路。我们常用的换元法可以分为直接换元、局部换元、均等换元和三角换元等，对换元法的熟练运用能使我们在学习道路上得到越走越远。

关键词 换元 解题 高中生

中图分类号：G632 文献标识码：A

0引言

在解答数学题时，将一个复杂的问题转化一个概念将之简单化就是一次换元的过程。换元法的核心思想就是转化，将包括变量的一部分看为一个整体，用新的元素代替，是一个由繁到简的过程。但我们在学习中经常遇到这样的问题，不知道如何作出合理还正确的变量代换。这个时候我们就需要去积累，分析题目类型，加强我们的熟练度，以此来增强我们变量代换的能力。

1换元法的概念

在解决数学问题时，依据所需要求解问题的特征，把某一式子作为一个整体，用一个变量去代替它，这就是换元思想，我们把这种解题方法称为换元。换元的实质在我们看来就是通过一系列的映射转移、构造元和设计元，将一個复杂的元素换为另一个元素，将一个知识转移到新对象的知识中去探究、去解答，或者把生疏的问题变得熟练，复杂的问题简单化，将一切超越式转化为我们现阶段可以理解的解答的问题，化繁为简，化难为易，提高我们的解题效率。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用它对整个认知活动起着计划、监督控制、适当的调整的作用。

2换元法的应用

2.1换元法的计算

在我们高中的学习中，课程只要求我们需要熟练掌握一些特殊的高等方程，最常见的一种高等方程就是“双二次方程”。这种方程只含有未知数的四次项、二次项和常数项，我们对于这种方程可以简单的对二次项进行换元，转化为一元二次方程。例1，解方程（x2+1）2=x2+3

分析：思路1：以x2+1为一个整体进行换元，因此要对方程右边进行变形使其含有x2+1。

思路2：把方程展开成标准的双二次方程，再对x2进行换元。

解法一：原方程可化为（x2+1）2-（x2+1）-2=0，设x2+1=y得y2-y-2=0，

解得 y1=2，y2=-1，x2+1=-1无实根，

由x2+1=2解得x1=1，x2=-1。

解法二：由原方程得x4+x2-2=0，设x2=y（解题熟练时，这一换元过程也可以不写出）

得y2+y-2=0，解得y1=1，y2=-2，x2=-2无实根，

由x2=1解得x1=1，x2=-1。

注意：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元的对象。在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到降次目的的换元方法都可以应用。

2.2解分式方程的应用

在进行分式方程的运算中，我们可以把一个分式看成一个整体进行换元换元时要注意分子、分母互换的两个分式可以用一个新元和它的倒数来表示。如果换元的难度过大，我们还可以添加一些辅助元素来解决。应用辅助元素把一些未知的问题替换成新的问题，用我们学过的知识去解决，从而把问题简化变为我们能过熟练解决的问题。这种将未知量变成已知量的转化就是换元法的应用。我们在进行的分式运算的时候经常能用到换元法。

2.3换元法的步骤

在进行用换元法解题时，我认为，分式运算的换元法可以分为以下几个步骤。

（1）设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；

（2）解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；

（3）把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；

（4）检验做答。

3换元法中的转化与化归思想

我们在换元法中所运用到的核心思想便是转化与化归思想，转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化。在一般的数学问题中我们都能用到转化与化归思想，其精髓在于这种思想能把未知的、陌生的、问题转化为简单的、熟悉的问题，换元法中充斥着转化与化归思想，我们如果能够熟练掌握转化与化归思想的话就能轻轻松松的掌握换元法。当然，转化与化归思想也是存在一定的限制性，要遵守一定的原则。化未知为已知，化陌生为熟悉，化复杂为简答。事实上，函数与方程的思想实质也是转化与化归思想。将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题，将抽象的问题转化为直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决。

4结束语

我们在高中的学习中，换元法起着至关重要的作用。不管是局部换元、均等换元还是三角换元，我们都应该能够熟练掌握。对一个问题深入探究，掌握一个问题的多种解法，使其从复杂变为简单，缩短我们的答题时间。形成主动探究的意识，养成自主学习的习惯，提升我们解题的需求。

参考文献

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