被“边缘化”的非负数教学初探

吴震

摘 要 概念教学一直是数学教学的重要环节，也是难点。学生对概念的理解程度，对概念掌握的深度，巩固的否熟练，决定学生学习数学的效果。所以，对教材中明确定义的概念，在教师的常规教学环节和学生的平时学习中，都得到重视。而非负数的概念，虽然不同版本的数学教材，大都在七年级就已经引入了与非负数相关的习题，但教材本身并没有给出明确的定义，貌似已经都被“边缘化”了。但在初中不同阶段的习题中，确出现了大量的与非负数相关的题目，在高中甚至大学教材中对非负数也都有涉及和应用。因而，本人认为“非负数”的概念应该得到教师和学生的重视。为更好地开展非负数的教学，本文结合自己的初中数学教学经历，从非负数的概念和分布；非负数的意义和地位；非负数的性质和应用；非负数的教学体会和建议等四个方面谈谈自己的认识和建议。

关键词 非负数 边缘化 性质 应用 建议

中图分类号：G632 文献标识码：A

1非负数的概念和分布

若a大于或等于零，则称a为非负数，也可以读着a不小于零，虽然两种读法都是正确的，但如果采用后面一种读法，对学生理解和巩固“非负数”的概念将是有益的。对理解3≥2，1≥1等是正确命题将会有所帮助。

从几何层面来理解，非负数是指在数轴上，原点与原点右边的点所表示的数。这样可以引导学生感受数形结合的好处，直观认识非负数的客观存在。

针对教材没有明确给出非负数的定义，教学中鼓励学生独立思考，相互交流，敢于归纳，进而丰富学生的数学语言，激发学生非负数概念探索的热情。“兴趣是最好的老师”，学生有了兴趣，则会把学好非负数，学好数学的态度变为自觉，学好数学是自然而然的事了。对于学生的表述，教师及时规范和指导，引导学生体会数学概念及数学概念的定义以及数学语言的简洁美。

初中数学教材中，关于“非负数”的概念，主要有以下几个方面：

（1）绝对值：正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数。显然，|a|≥0，表明|a|是非负数。

（2）算术根：正数的正的方根叫算术根，零的算术根是零。即：≥0，说明为负数。

（3）偶次方：一个数的偶次方在实数范围内，恒有a2n≥0，得到a2n是非负数。

2非负数的意义和地位

非负数是初中代数的一个重要概念，顾名思义，指的是在实数范围内是零和正数的数。这一概念及其应用在中学数学教学中占有重要地位，如实数大小比较，各种运算，方程的解，函数的定义域与值域，包括初中以后要学习的极限与微分等多方面都要用到它。作为一线数学老师必须透彻理解这一概念的意义与作用，才能帮助初中学生打好基础，为后续的数学学习添力。

概念是一种思维模式的成果，它反应了客观事物的本质属性，概念对事物本质属性的反应，就是概念的内涵。揭示非负数概念的内涵，既是教学的需要，也是实践数学联系观点的表现。概念和概念之间一般会有或多或少的联系，我们既可以把非负数的概念独立教学，也可以贯穿于有理数、整数、实数等与数有关知识的教学中，也可以结合与数有关的一些概念如绝对值，算术根，偶次方等来学习，而且在学习函数定义域、值域时也是离不开非负数的概念的。更有个别题目，只有利用非负数的概念才能更好解决，如|x+3|+|y-1|=0，求x、y的值；因此，应用非负数概念解题也是一个重要的数学方法。

现行教材中没有明确而系统的提法，有被“边缘化”地嫌疑，导致许多学生对绝对值、算术平方根等涉及到“非负数”的概念十分模糊，更不能自觉地运用“非负数”的概念和性质来解题，并常常出现逻辑上的错误。与“非负数”相关题目不仅在不少章节及习题里涉及，而且在中学各年级的数学教材中，均占有一定地位。

3非负数的性质和应用

非负数的主要性质：

（1）有限个“非负数”之和仍然是非负数，这一原理在不等式的证明中很有用；

（2）如果有限个“非负数”之和等于零，则每一个非负数均是零，这一原理在求值和解特殊方程时很有用；

（3）有限个非负数之积仍然是非负数；

（4）有限个非负数之积等于零，则至少有一个非负数是零，之一原理在解特殊方程时很有用；

（5）非负数之商仍然是非负数（除数不为零）；

（6）非负数之商等于零（除数不为零），則分子必为零。

以上性质很多时候被用来解决相关问题，事半功倍。也能让学生感受到数学问题解决手段的丰富，从而激发学生探索、应用的热情，非常利于养成“学以致用”的好习惯。

在初中数学学习的三个年级的不同阶段，学习了绝对值，完全平方，二次根式以及求函数的定义域、值域和最值，都跟非负数的概念联系非常紧密，而且应用非负数的相关性质和概念很容易解决。这种“螺旋”式的知识学习过程，很好的达到对非负数概念和性质的理解、巩固和掌握。在初中阶段，非负数的应用集中在对其知识点性质的相关运用。此类应用在解题时通常需要挖掘题目中暗藏的非负性条件，利用配方、倍分、拆项、添项等变形技巧，通过列方程或不等式解决问题。

例：用长度为60cm的铝合金材料，加工成一个长方形窗框，面积何时最大（忽略废料损失和重叠）？

可以设长方形的长为cm，则宽为cm，面积S=*=2+30x=（15）2+900，所以当且仅当x=15cm时，Smax=900cm2。

这里，显然经过添项、配方，运用非负数的性质，得到了（15）2≥0，进而-（15）2≤0，得到Smax=900.

4非负数的教学体会和建议

把非负数的教学作为一条线索，有计划、有层次地在各个阶段，结合不同知识点穿插讲授，可以加深学生对课本知识的理解，是一个值得研究的教学方法和手段。下面谈谈我的做法和体会。

（1）非负数的概念何时提出较好？我认为，在七年级上学期“有理数”一章的教学中，随着负数的引入和绝对值概念的建立，就可以不失时机的归纳：任何有理数的绝对值都是非负数，并联系数轴，明确非负数的分布区域和特点，感受非负数的几何意义。这样做，有助于学生理解绝对值概念的本质，正确进行有关绝对值的计算。也展示了数学联系观点的教学。

当教学进入“乘方”一节时，可进一步提出：任何平方数都是非负数。这样做，有助于学生掌握平方数的特点，正确进行有关平方数的计算，进一步加强联系的观点。

在讲到“用字母表示数”时，应该而且必须复习已经涉及的两种非负数，并提出|a|≥0和a2≥0的形式，使学生掌握这两种非负数的数学表达形式，为以后应用非负数概念解决问题做好准备。

配合七年级上学期的非负数教学，可以穿插补充如下一些类型的练习题目供学生思考和练习：

①小于6的非负整数有（）；

②求不等式3x5<15的非负整数解；

③求代数式3+（x2）2+5的最小值；

④求代数式 的最大值；

⑤若|x5|+|y+1|=0，求x+y的值；

⑥若（a+2）2+（b+1）2=0.求ba的值。

（2）七年级下学期的课本没有新的非负数的引入，但八年级前半部分是“二次根式”的教学，配合这一部分的学习，一方面应该强调只有正数才有平方根，也就是说，对于，被开方数a一定是非负数，即a≥0；但另一方面，应该强调算术平方根的非负性，即≥0，从而揭示算术平方根的最本质的特性。这对于研究二次根式是极其重要的基本概念。而关于二次根式的两个重要公式：（）2=a（a≥0）；=|a|，也能更好地记忆、理解、掌握，进而自觉运用。

而且，初中阶段涉及的三种非负数也能自然而然地联系起来。配合这一阶段的教学，可以安插如下类型的习题供学生思考、练习：

①分别求下列各式中x的取值范围：

；；

②化简：。

③求下面代数式的最小值：

3+； （x2）2+5

④若|x+5|+|y1|=0，求x、y；

若+ （y2）2=0，求yx的值.

配合二元一次方程组和乘法公式（完全平方公式）的教学，可以安排以下类型的习题供学生练习，起到复习和深化的作用。

①若|x+y3|+|xy1|=0，求x和y的值；

②求证：不论m为何值，关于的方程（m2+1）x22（m1）x1=0一定有两个不相等的实数根。

通过这一阶段的教学，要求学生对绝对值、平方数、算术平方根这样三种涉及非负数概念有明确而清晰的认识，这样，在处理具体问题就有的放失了。

（3）整个初中阶段的代数教学，内容繁多，不可能也不必要都穿插非负数的概念，并应用非负数解题，应该而且可能在九年级有目的有意识地安排一些习题供学生研究。

例如，在“根式”复习中，已知实数x、y满足y=++3，求xy的值。要求xy的值，需先求x、y的值，而由已知条件，联系偶次根式被开方数的非负性可知：x=，y=3，问题即可得以解决。

如在求函数最值的复习中，求函数y=+1最小值时，显然就可以利用非负数的性质得到≥0，求出x=3，即=0时，y最小值=0+1=1。

再比如解决图形问题：四边形四条边的长为a，b，c，d，它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd。试判断四边形的形状。通过确定四边形的边角关系，进而确定四边形的形状。由条件有：（a42a2b2+b4）+（c42c2d2+d4）（2a2b24abcd+2c2d2）=0

变形为：（a2b2）2+（c2d2）2+2（ab+cd）2=0

则：（a2b2）2=0且（c2d2）2=0且（ab+cd）2=0

从而得到：a=b=c=d，故四边形是菱形。

综合以上几点，初中数学教学，从掌握非负数概念到应用非负数概念解题，当然应该有一个过程，教学中必须紧扣教材，自然联系，合理引申，但要在学生可接受范围内进行。只要注意由浅入深，步步为营，那么，到初中代数学习结束时，就完全有可能解决一些综合型的习题。这样做，表面上看似越出了教材的要求，但由于整個非负数教学是分散在初中数学教学的各大环节中进行的，学生一般不会感到多大困难，而这对以后的数学学习无疑奠定了良好的基础。值得一提的是，教材直到九年级总复习题中才出现为数不多的几个应用非负数概念解决的习题，这是否为时太晚，对需要明确建立非负数概念阶段的学生来说，这类习题早在七年级学习阶段即可解决；而如果没有建立明确的非负数概念，即使到初中毕业，也可能会面对此类习题感到困难。

纵观初中阶段不同阶段的非负数学习，既教授了学生非负数的概念、应用，也加强了学生对非负数与绝对值、平方根、完全平方等概念的联系观点；既丰富了解决数学问题的方法和手段，也养成了学生学好数学必须的意志品质和良好地思维模式。数学中的概念教学是数学教学的不可回避的难点，而非负数概念的学习也是初中数学教学的重要一环，不该被“边缘化”的非负数，应该引起每个数学老师的重视。

参考文献

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