直线参数方程在解析几何中的应用

黄艺婕

摘 要 直线的参数方程，属于高中数学选考内容。然而，在处理解析几何中有关于多条弦长关系的问题，参数方程可以使计算获得较大的简化。其参数“”的几何意义，正是我们解决弦长问题的核心所在。

关键词 参数方程 点斜式 弦长公式

中图分类号：G420 文献标识码：A

1知识解析

通过点斜式推得直线的参数方程

点斜式：

其中， 为直线经过的定点，，其中为直线的倾斜角，

此为直线的参数方程。（其中t为参数）

不论是锐角还是钝角，直线上已知点处，直线任意点都有唯一对应的，沿直线往上运动，参数逐渐增大。此时的直线可以类比为一条数轴，已知点为该数轴的原点，沿直线往上为该数轴的正方向，数轴上每个点的刻度为该点处的参数。数轴上（直线上）任意两点的距离满足：。以此来解决直线上的弦长问题。

通过接下来的例子中，我们对直线的普通方程与参数方程在解析几何中的应用进行对比

例1：设椭圆过点，且左焦点。

（1）求椭圆的方程；

（2）当过点的动直线 与椭圆交于两个不同的点，时，在线段上取点，满足，证明点总在某定直线上。

解.（1）由题意得 ；解得：

所以椭圆的方程为：

（2） 使用直线普通方程求解

设点，，，的坐标分别为，，

由题设知，，，均不为零，

记，则

又∵四点共线，∴

于是，，，

从而①，②

又在在椭圆上，即

③；

④

①+②并结合③、④得

即点总在他直线上。

该方法为高考标答，计算过程十分繁琐，故该题为高考最后一题，学生计算能力基本无法完成。特别中间有关“定比分点”的问题，在新版课本中已经删除，从另一个方面也反映了该解法的困难。

2用直线参数解题

设直线的直线参数方程为

将其代入椭圆的方程：中得：

将所得式化简得：

运用韦达定理得

由题设知均不为零，

由参数方程几何意义得到线段长，，，

由得，将所得式化简得

将代入点所在直线的直线参数方程得

得到，点总在定直线上。

这一问题运用直线参数方程解答，大大降低了计算有利于解题。

例2：已知抛物线： ；，过点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求抛物线的长度。

解：设直线的直线参数方程为

将所设方程代入抛物线：得

即

例3：平面上动点到点的距离比它到直线的距离小1

（1）求动点的轨迹的方程：

（2）过点作直线与曲线交于，与直线交于点，求的最小值。

解：（1）设动点的坐标为

由题意得

化简得：

即动点的轨迹的方程为

（2）设直线的直线参数方程为

将所设方程代入直线：，得：

将所设方程代入曲线：

得

由韦达定理得：

即的最小值為

总而言之，直线参数在解析几何中有多方面运用，例如“探求几何最值问题”，“解析几何中证明型问题”、“探求解析几何定值型问题”等等。普通方程可以运用其中解答，只是大部分题目中运用起来相对复杂。参数方程可以把复杂的方程简单化，在求解上述类型题目更为方便。