基于有效集算法的大功率单色LED太阳光谱模拟仿真

张玉宝，董 礼*，张国英

(1.内蒙古科技大学 机械工程学院, 内蒙古 包头 014010；2.鄂尔多斯市莱福士光科技有限公司，内蒙古 鄂尔多斯 017000)

1 引 言

太阳光是最重要的自然光源，具有光照比较连续、光谱失配度好、辐照均匀性好、准直性高等优点，但存在光照强度受时间和气候的影响比较大、光谱分布不均匀、总的辐照度不能调节等缺点。许多学者都在研究太阳光谱模拟技术。在卫星姿态控制和热平衡实验中，专门研制了中小型太阳模拟器[1]。在建材行业中，材料的耐辐照老化实验也会用到太阳模拟器。农业科学中的植物发育和培育良种以及人体健康保健也离不开太阳模拟技术[2]。但是之前并没有非常准确的标准来定义太阳光光谱分布，国际组织(IEC)规定AM1.5[3]为标准太阳光谱辐射，其波长范围是300～1100nm，总的辐照度为1000W/m2[4]。单色LED较传统的汞灯表现出抗压能力强、体积小、光效高、使用寿命长、波长可以覆盖可见光部分[5]、单色性能好、半高全宽窄、发光为非相干光的优点[6]。目前单色LED叠加拟合太阳光谱主要有以下两个研究方向：一是范铎等[7]将不同单色的LED排成阵列，改变经过LED的电流的方法，如朱继亦等用程控技术控制每个LED的开合以及驱动电流[8]。该方法操作繁琐，不停地改变通过LED的电流会使LED的发热严重，造成峰值波长和半高全宽(FWHM)产生偏移。二是甘汝婷等[9]通过反演法，在原有多光谱拟合的前提下加入适当的判别条件，根据光谱特性对仿真的目标光谱进行分析判别，反演得到所需要的最佳LED波段和最小的LED单元数。该方法虽然准确，但是得到的LED的单元数都不是整数，不适用于实际工程中，并且目前的技术还不能研制出等波长间隔的半高全宽非常窄的单色LED。徐广强等[10]采用LED内部光子在二维空间内联合态密度函数作为辐射模型基于最小二乘解求出拟合精度最高的LED的种类和数量，该方法拟合模型虽然准确，但是却将影响LED的重要参数半高全宽拟合了，实际上没有用到半高全宽的具体数值。

本文主要侧重于工程实践，利用市面上Epitex公司SMBB系列的大功率单色LED并建成大功率单色LED的数据库，将已知的LED峰值波长和半高全宽作为已知数据，拟合AM1.5标准太阳光谱中可见光波长的光谱。采用修正高斯模型为单色LED的发光模型，基于有效集算法通过求解超定方程组的最小二乘解筛选有效集中的数据，得到拟合精度最高的LED的种类和数目。并且使用的单色LED的半高全宽并不相同，这样就可以灵活地找到目标光谱的波峰和波谷的位置，然后再根据残差图分析拟合的精度和拟合模型的精度，并且为了验证模型和方法的合理性进行了优化验证实验。拟合精度虽然没有反演法的精度高，但是具有很高的可行性，并为实际的工程实践提供了理论指导。

2 光谱构造原理及拟合方法

2.1 LED的光谱辐射模型

根据LED光源的物理特性可知，对于单个LED在其光轴方向上单位立体角内的辐射功率随光谱的分布模型可用修正高斯函数[11]来近似，具体关系式如下：

S(λ)=

(1)

其中S(λ)是单个LED辐射强度，λc是峰值波长，Δλ是半高全宽，C是相对振幅。

2.2 光谱的匹配

由于太阳光光谱可以看成是多个单色LED叠加而成的，不同的单色LED叠加的数学模型可表示为:

(2)

式中f(λ)为目标光谱曲线，Sn(λ)表示不同单色LED的光谱，kn为拟合系数。

为了方便计算记向量S1=[S1(λ1),S1(λ2),S1(λ3),…,S1(λi)]T，LED的光谱矩阵可以改写成A=(S1,S2,S3,…,Sn)，记系数矩阵X=(k1,k2,k3,…,kn)T，目标光谱矩阵为Y=[f(λ1),f(λ2),f(λ3),…,f(λi)]T，将其表示成矩阵的形式为：

(3)

将其简化表示成：

AX=Y,

(4)

实际中目标AM1.5太阳光谱在380～780nm波长范围内有34个散点，即λi为34。若计算得出的k的数值小于34，那么该问题就属于非线性的超定方程问题[12]。非线性超定方程一般没有解析解，但是可以求出它的广义最小二乘解X*,使其满足：

‖Y-AX*‖2=min‖Y-AX‖2且x∈R*，

(5)

在非线性最小二乘问题中常用相关指数R2来评价拟合情况的好坏，相关指数是一个取值在0～1之间的数，越接近1表示拟合的精度越高，拟合的方案越好，其定义为：

(6)

误差可以由误差的平方和SSE(Sum of squares for error，σSSE)和残差(Residual，e)表示，计算公式如下：

(7)

e=y-ya.

(8)

3 有效集法

现实中存在很多有界约束优化问题，模型如下：

minf(x) s.t.l≤x≤u,

(9)

其中f(x)是优化的目标函数，l为下界，u为上界。

有效集法是求解式(9)的一种十分成功的方法，求解时定义在点x*(最优解点)处的有效集为：

S(x*)=L(x*)∪U(x*),

(10)

其中

(11)

有效集法[13]的基本思想就是从问题的某个初始点x0出发，随着算法的进行，在每一步迭代产生一个有效集的估计值S(xk)，将问题转化为等式约束问题，即进行寻优迭代过程，通过反复多次筛选，使得S(xk)→S(x*)，获得问题的最优解。有效集法是一种增量的迭代方法，迭代的过程就是不断地在识别有效集和工作集的过程，当工作集和有效集都被识别时，优化问题得到了最优解[14]。有效集方法的最大难点就是初始点的选择，初始点选取的好坏会直接影响到迭代的次数和结果，MATLAB软件能很好地解决这一问题。

首先导入已知的AM1.5可见光波段数据λ和f(λ)，将调研得到的Epitex公司的大功率单色LED峰值波长λp和半高全宽Δλ导入数据库作为有效集，然后将已知的大功率单色LED的峰值波长λp半高全宽Δλ带入拟合公式(1)，将相关指数R2最大写成最优化函数的优化目标。由于解的结构是非负的，定义初始值x0(非负)，利用MATLAB编程得出满足R2最大的解，输出最优解x*和相应使用的大功率LED的峰值波长λp和半高全宽Δλ。

4 最佳拟合结果及其分析

通过MATLAB软件对AM1.5可见光波段进行光谱拟合，得到最优的LED的峰值波长、半高全宽和拟合系数(P)，数据如表1所示。

最优的比例组合采用24种单色LED，其中紫色4种、蓝色4种、绿色4种、橙色2种、红色10种，得出残差平方和SSE为0.3643，相关指数R2为0.8502。图1和图2为最优解下的单色LED匹配AM1.5的光谱图和残差图。

在图1上可以清楚地看出，空心圆圈为已知的AM1.5的散点，实心圆点为拟合求出的数据点，曲线为拟合曲线。众所周知，拟合曲线是由无数的拟合点连接得到的，拟合点的精确程度决定了拟合曲线的精确程度。以往研究者的模型都比较复杂，没有精确到某一个波段或是某一点，本文将AM1.5标准太阳光谱可见光数据作为已知，画出散点，可以清楚地看出每一个波长对应的光谱辐照度，也求出了每一个散点波长对应的拟合数据，这样做出来的曲线更加真实可信。

图1 最佳24种单色LED的光谱匹配图Fig.1 Spectral matching diagram of the best 24 monochromatic LED

表1 最优解的24种LED的组合比例Tab.1 Ratio of the 24 LED combinations of the optimal solution

图2 各波长处的残差图Fig.2 Rsidual plots of each wave’s merit

根据已知的AM1.5散点可大致分成三段：第一段在380～550 nm波段，相邻小波段间峰起伏变化比较突出，且峰值间隔较小，急促的起落使得目标曲线中出现许多难以复制的个性细节。该波段内AM1.5呈现明显的上升趋势，且上升的速度比较快，在390～400 nm上升的幅度最大，到了450～550 nm趋于平稳状态，在480 nm达到了最大光谱辐照度，且在530～540 nm下降最快。该波段的仿真误差较大，有两种原因造成这样的结果：一方面，AM1.5作为目标谱线其中包含众多明显峰以及不明显的隐藏峰，这些峰的高低起伏影响到拟合光谱的准确性；另一方面，由于相邻波长间隔较小，且波峰波谷的起落较大，拟合曲线不能同时满足较大的跳动程度。此外，380～550 nm波段内使用了11种大功率单色LED，在450～550 nm误差较大的波段使用的单色LED的半高全宽都比较大，说明在光谱变化比较陡峭的波段不适合使用半高全宽值较大的LED。进而再看该波段内的残差图，残差值都分布在0.2 W·m-2·μm-1范围内，在460 nm左右的误差较大，这是由于440～460 nm急剧上升的目标光谱导致的。第二段为550～690 nm波段，该波段内的散点分布比较均匀，没有急促的上升或者下降，拟合的效果最好。另外从残差图可以看出，该波段内的残差也非常小，有的残差逼近于0，说明拟合点和目标点基本没有误差。在550～690 nm波段使用了7种单色的LED，并且这7种单色LED的半高全宽值较小，说明光谱变化平稳的波段更适合使用半高全宽较小的单色LED，组合中LED的半高全宽越小越有利于呈现目标光谱的细节变化。另外使用橙色600 nm半高全宽15 nm和红色660 nm半高全宽16 nm的单色LED数量较多，但却没有影响到拟合的精度，说明拟合的精度并不会受使用的单色LED数量的影响。第三段为690～780 nm波段，该波段内的散点分布比较密集，在750 nm处出现了聚堆的现象，且在760 nm处达到了最低的光谱辐射强度。由残差图分析可知，该波段的拟合情况居中，共使用了6种单色LED，使用最大的LED的波长值为780 nm。在762.5 nm拟合的误差较大，达到了0.314 1 W·m-2·μm-1，由拟合的结果可知在760 nm AM1.5骤降，并且在767.5 nm又骤升，这种急促的骤降和骤升使拟合结果出现了较大的误差。但是该程序为了保证整体拟合效果最佳，权衡了整体和局部的关系，以牺牲762.5 nm的部分细节来保证整体的拟合达到最优。

接下来对标准光源CIE-D65[15]也进行了拟合分析，在380～780 nm可见光范围内，每隔10 nm选一个散点作为目标散点，由结果可知使用了25种大功率的单色LED，如表2所示，共用5种紫光、4种蓝光、4种绿光、1种黄光、2种橙光、9种红光。得出残差平方和SSE为0.091 0，相关指数R2高达0.940 5。表2为模拟D65标准光源所用到的最优的LED的峰值波长、半高全宽和拟合系数(P)。图3和图4分别为最优解下的单色LED匹配标准光源D65的光谱图和残差图。

采用的单色LED数据库与AM1.5的相同，这一次的拟合指数高达0.940 5，说明目标光谱的变化程度直接影响着拟合的准确程度，且使用了25种单色LED，使用的单色LED的种类越多拟合精度越高。由残差图分析可知在380～500 nm波段的误差比较大，在500～720 nm波段的误差最小，在720～780 nm误差居中。由误差分析可知D65和AM1.5在450 nm左右的误差都比较大，且在450 nm使用LED种类也相同，可能是单色LED峰值波长和半高全宽数据不全造成的。接下来为了验证最佳组合的可靠性和可优化性，进行如下优化分析实验。

表2 最优解的25种LED的组合比例Tab.2 Ratio of the 25 LED combinations of the optimal solution

图3 D65与25种单色LED的光谱匹配图Fig.3 Spectral matching diagram between D65 and 25 monochromatic LED

图4 D65各波长处的残差Fig.4 Residual plots of D65 wave strengths

5 优化拟合实验分析

最佳的单色LED组合虽然能很好地拟合AM1.5和标准光源D65，但是使用的单色LED种类较多，另外为了验证最佳组合的可靠性和方案的可优化性，分别在最佳组合中依次增加或减少单色LED的种类，每次增加或减少单色LED的种类为1种。增加试验中添加的单色LED种类为随机，但与最佳组合中已选用的单色LED种类不重复，减少试验中，每次删除拟合中对整体贡献最小的单色LED，添加或减少LED后运行优化程序，得到相关指数与LED种类变化的关系见图5。

在递增实验中，随机增加不同种类的单色LED并没有提高相关指数R2的值，说明在最优解的条件下随机增加单色LED并不能改变混合光谱对AM1.5光谱的拟合效果。在递减实验中，从24种单色LED减少到14种单色LED，LED种类数与相关指数R2符合Logit函数分布，而Logit函数模型可以预测模型和方案的准确性，说明利用大功率单色LED模拟AM1.5方案是可行的。具体在递减实验中，当减少的LED的种类较少时，对拟合的影响比较小。图6中的(a)～(d)给出了在最优的组合减少到22种、20种、17种、16种时，混合光谱对AM1.5拟合情况。从拟合结果可以发现最佳组合的24种LED直到减少到19种时，拟合指数R2变为0.842 6，仅仅减小了0.007 6，拟合情况基本与最优解相近，能很好地呈现目标光谱的细节变化。但是在接下来19种继续往下减时，每减少一种单色LED，R2的值都有明显的降低，最严重的是从17种减少到16种时，R2的值从0.618 2下降到0.394 1,下降了0.224 1。而且在16种LED以后，拟合的相关指数R2只有0.35左右，已经不能很好地拟合AM1.5，混合光谱只能在整体的变化趋势上满足AM1.5光谱，对目标光谱没有呈现任何的细节变化。对比这几种拟合情况还可以发现在540 nm和760 nm的拟合情况都不好，残差值都比较大，综合本方案考虑，本方案为了满足整体的拟合效果最好，权衡整体和局部的关系，牺牲部分细节处来保证整体拟合效果最好。

图5 递增和递减实验中相关指数与LED种类变化的关系Fig.5 Relationship between correlation index and species variation of LED in increasing and descending experiments

图6 递减实验中不同组合拟合AM1.5光谱图Fig.6 AM1.5 spectra of different combinations in the descending experiment

仿真实验结果表明：虽然市场上的大功率单色LED还存在着部分波长的缺失，大功率LED的数据库还不够完善，受制造水平的限制也不能制造出任意半高全宽的单色LED，但仿真结果表明应用现有的单色LED峰值波长和半高全宽的数据库已经可以很好地模拟出AM1.5标准太阳光谱和D65标准光源，这对今后进行人工健康照明和植物生长补光有着重要的意义。

6 结 论

本文主要从工程实践的角度出发，调研了Epitex公司的大功率单色LED的峰值波长和半高全宽的数据。将得到的大功率单色LED峰值波长和半高全宽数据做成一个数据库。利用修正的高斯模型作为拟合模型，求出单个LED拟合数据，将目标的AM1.5和标准光源D65的光谱辐照度作为目标散点，最后将相关指数R2最大作为优化目标，通过有效集算法控制拟合的系数为非负，利用MATLAB软件编程来求解超定方程组，求出R2最大时的最小二乘解(即为最优的单色LED种类组合)。得出了最优解下的拟合图形和残差图；在拟合优化实验中增加和减少单色LED的种类，得出了不同的拟合图形，其主要结论如下：

(1)采用现有的单色大功率LED可以实现对目标光谱AM1.5和标准光源D65很好的拟合。在拟合AM1.5中最佳组合包含24种不同种类的LED，拟合得到的相关指数达到了0.850 2，在拟合标准光源D65中最佳组合包含25种不同种类的LED，拟合的相关指数高达0.940 5。通过拟合图形和残差图对AM1.5进行分段分析，得到在光谱变化比较平稳的波段适合半高全宽较小的LED，在光谱变化比较陡峭的波段不适合半高全宽较大的LED。

(2)为了验证方案的可行性和可优化性，对拟合方案进行了优化分析，通过增加和减少LED实验看出不同的单色LED种类决定了拟合效果的好坏。增加实验中，增加最优组合以外的单色LED并不能提高拟合指数。在减少实验中，当LED种类从24种减少到19种时，R2值变为0.842 6，仅仅减小了0.007 6；在从17种减少到16种LED时，R2的值从0.618 2下降到0.394 1，此时16种单色LED已经不能很好地拟合出目标光谱。优化实验中，LED种类数目与相关指数R2符合Logit函数分布，进一步说明利用大功率单色LED模拟AM1.5方案是可行的。

在实际工程中，应该根据实际的精度需要来调整LED的种类和数量，尽量只通过改变LED点亮的个数来调整拟合光谱，仅在必要时使用电流作为微弱的调整。频繁地调整电流会使LED的温度升高，会对拟合光谱的形状造成很大的影响。本文使用的有效集算法在求解界约束优化问题中具有高效性和收敛速度较快的特点，对大规模的支持向量机和高效算法有重要的意义。相信随着科技的进步，基于LED的类日光照明技术将越来越完善，能更好地满足人类日常生活和生产的需要。

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