二元函数不等式的证明方法

朱东海

(云南省蒙自市蒙自一中 661199)

在本刊2016年第34期中，我们谈了一元函数不等式的证明方法，本文中我们来看如何证明二元函数不等式.

对于二元函数不等式的证明，首先考虑能不能转化为一元不等式来证明.

一、变型后转化为一元不等式的证明问题

1.利用函数的单调性变成同一函数的两个函数(值)间的大小比较

(1)讨论函数f(x)的单调性；

解(1)依题意f(x)的定义域为(0,+∞),

②若a-1<1,而a>1,故1

则当x∈(a-1,1)时，f′(x)<0;

当x∈(0,a-1)或x∈(1,+∞)时，f′(x)>0.

故f(x)在(a-1,1)单调减少，在(0,a-1),(1,+∞)单调增加.

③若a-1>1,即a>2,同理可得f(x)在(1,a-1)单调减少，在(0,1),(a-1,+∞)单调增加.

(2)由于当x1>x2>0时,

只需证明f(x)+x在(0,+∞)上是增函数.令函数

对于幂、指数形式的不等式，可以先取对数，再化为对数不等式来证明

例2 (山东省桓台第二中学2015届高三数学理21)设函数f(x)=x-a(x+1)ln(x+1) (a≥0).

(1)如果a=1，求函数f(x)的单调递减区间；

(2)若函数f(x)在区间(-1,e-1)上单调递增，求实数a的取值范围；

(3)证明：当m>n>0时，(1+m)n<(1+n)m.

解(1)依题意f(x)的定义域为(-1,+∞)，f′(x)=1-aln(x+1)-a.

当a=1时，f′(x)=-ln(x+1)，令f′(x)<0得x>0，所以函数f(x)的单调递减区间是(0,+∞).

由(1)知，当a=1时，函数f(x)=x-(1+x)ln(1+x)在区间(0,+∞)单调递减，所以当x>0时，f(x)n>0时，g(m)

例1 (广州市2015届高三)已知函数f(x)=ax2-blnx在点(1,f(1))处的切线为y=1．

(1)求实数a，b的值；

(2)是否存在实数m，当x∈(0,1]时，函数g(x)=f(x)-x2+m(x-1)的最小值为0，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由；

解(1)f(x)=ax2-blnx，其定义域为(0,+∞)，

解得a=1,b=2.

(2)g(x)=f(x)-x2+m(x-1)=m(x-1)-2lnx,x∈(0,1]，

①当m≤0时，g′(x)<0，则g(x)在(0,1]上单调递减，

∴g(x)min=g(1)=0.

∴g(x)min≠0.

综上所述，存在m满足题意，其取值范围为(-∞,2].

(3)证明：

令g(x)=x-1-2lnx，由(2)知，当m=1时，g(x)=x-1-2lnx在(0,1)上单调递减,

∴x∈(0,1)时，g(x)>g(1)=0, 即x-1>2lnx.

二、借助第三量

例1 (太原五中2014—2015学年度第二学期阶段检测高三数学(理))已知函数f(x)=lnx.

(2)若直线y=ax+b是曲线y=f(x)的切线，求ab的最大值；

(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3，y3)是曲线y=f(x)上相异三点，其中0

三、用端点变量法构造函数

在某一个区间上证明不等式，若不等式涉及的两变量就是区间的两个端点，则把其中的一个端点视为自变量来构造函数.

例1 (2009年重庆沙坪坝区校级模拟)已知f(x)=ex-ln(x+1)-1(x≥0)，

(1)求函数f(x)的最小值；

(2)如果求0≤y≤x，求证： ex-y-1>ln(x+1)-ln(y+1).

若不等式涉及的两个变量不是区间的两个端点，同样可以把其中一个视为自变量来构造函数.

(1)求实数a，b的值；

(2)若φ(x)=f(x)-g(x)，求证：当x∈(-1,+∞)时，φ(x)≤0恒成立；

(2)当a=0,b=1时，φ(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x,

φ(x)max=φ(0)=0，从而φ(x)≤0成立，故当x∈(-1,+∞)时，φ(x)≤0恒成立.

四、转化为代数不等式来证明

例1 (贵州省八校联盟2015届高三第二次联考数学理21)已知函数f(x)=lnx.

(1)求函数g(x)=f(x+1)-x的最大值；

五、转化为最值之间的关系

1.|f(x1)-f(x2)|≤M⟺[f(x)]max-[f(x)]min≤M

(1)若存在x>0，使f(x)≤0成立，求实数m的取值范围;

(2)设1

x(0,-m)-m(-m,+∞)f ′(x)-0+f(x)↘极小值↗

所以对∀x>0，f(x)>0恒成立，则实数m的取值范围是(-e，0]．

故∃x>0，使f(x)≤0成立，实数m的取值范围是(-∞，-e]∪(0，+∞)．

参考文献：

[1]朱东海. f(x)≥ag(x)恒成立的一个充要条件[J].语数外学习,2012(06).

[2]朱东海.利用导数证明不等式时怎样构造函数[J].语数外学习,2013(11).