仿水黾高速水上运动机器人划水产生的半球涡特征及其推进特性分析

郑 俊，张嘉钟，于开平，王宝寿，陈玮琪

（1.江苏大学 能源与动力工程学院，江苏 镇江 212013；2.哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨 150001；3.中国船舶科学研究中心，江苏 无锡 214082）

0 引 言

水黾划水并在水面上高速运动的物理与力学机理已得到实验层面的广泛揭示[1-10]，然而对水黾等水面昆虫在水面上划水推进力的计算却还没有得到充分的开展。虽然可以给出推进力的一般积分形式，但是由于水黾划水时足部与水的接触区域处于变化之中，所以积分域也就相应地变化，因此要将积分形式的推进力展开并得到具体结果是不现实的[11-12]。关于推进力的主要理论结果是基于二维的数值计算获得的[11]，在二维计算中，只关注一个足部横截面以指定的轨迹运动时产生的流体动力，因此依然无法给出推进力的理论表达形式。可见，从微尺度的流固耦合角度来对水黾推进进行考察，是较为困难的。

因此，目前关于水黾及仿水黾机器人的足部受力的分析主要还是针对准静态的情形，也就是主要关注水黾处于漂浮状态时的足部的静态受力以及能够在水面上保持漂浮状态的临界条件[13-19]。然而当水黾处于高速运动时，水黾足部用力划水，在这过程中当中，静力学的结果无法提供足够且合理的信息。虽然这对水面仿生机器人研制产生的困难并不明显，因为只要仿生机器人的划水速度足够低，那么准静态的结果就可以适用[15，20-21]，然而对于高速水面运动的机器人而言，动力学特性的了解是至关重要的[22-23]。

考虑到水黾在水面划行时产生宏观的类似于半球涡的双极涡（dipolar vortex）流动结构[4-5，12]，因此可以从其宏观的流动结构上去考察水黾划水推进的流体动力。关于水黾产生的双极涡的仅有实验测量表明，水黾高速划水时，双极涡内流体的动量占水黾输送到流体中全部动量的64%[24]，非常接近于理论分析结果2/3[25]。表1中为Akira在实验室中测量得到的2.5 mg的水黾在不同运动速度下时，流体中的动量以及双极涡中的动量与动能数据[24]。然而关于双极涡的大小以及在流体中的移动速度等物理量，该实验却并未给出测量结果。Hu对10 mg的水黾以最大速度100 cm/s在水面飞奔时，通过观察，估测半球涡的半径接近于4 mm而移动速度接近4 cm/s[4，12]，但是在后文，本文会指出这个估测是不够合理的。

表1 不同运动速度下水黾的流体动力特性的实验结果[24]Tab.1 The experimental measurements on the fluid dynamics of the water strider with different speeds[24]

已有的实验观测研究中，另一个对建立水黾高速运动时宏观流体动力特性有益的信息是水黾足部划水的最大速度与身体运动的最大速度是基本相等的。Hu发现大多数水黾足部划水的特征速度分布在70±10 cm/s，而对应的身体特征速度为60±10 cm/s[5]，而且在其另一研究中也发现当水黾足部最大速度为100 cm/s时，身体的最大速度也可达到100 cm/s[4，12]。Akira在实验中也观测到身体速度为59 cm/s时，足部的最大速度约为72 cm/s[24]。这些数据对于仿水黾机器人足部的运动规划是极为重要的信息。

本文首先对半球涡模型用于近似双极涡流体动力的合理性进行了考察，表1的实验数据提供了分析和比较的依据。在此基础上，继而给出半球涡的半径以及半球涡在液体中移动速度等几何与动力学特征及影响因素，并将半球涡内动量与动能的理论预测值与实验值进行了比较，进一步地又给出了水黾划水产生推进力的理论计算方法并与实验结果做了对比，继而给出仿水黾机器人划水推进时足部的划水力矩以及电机的推进功率的计算方法，从而为高速水面运动仿生机器人的设计与动力学预测提供了理论参考依据。

1 水黾主要几何特征及划水产生的半球涡流动结构

水黾的典型几何特征如图1（a）所示，从已有的实验结果已知，水黾足部与水接触的区域主要分布在其腿部的第二关节（second tarsal）上，因此第二关节的长度L2是影响水黾产生半球涡尺度的一个主要特征量。对于不同的水黾而言，虽然个体尺寸或质量有所差别，但是构成其身体材质的密度是接近的，即水黾的密度为[12]

其中：下标“s”表示为水黾。因此对于不同尺寸的水黾而言，其长度的比值与它们之间质量的比值存在以下关系

其中：ηL，ητ，ηM分别为长度、体积和质量的比值。因此Akira实验中并未给出的水黾腿部的第二关节长度L2也可以方便地由Hu实验中的水黾第二关节长度来计算得到：

其中：MAkira=2.5 mg，MHu=10 mg分别为Akira[24]和Hu[4]实验中水黾的质量，而L2Hu=3 mm则为Hu实验中水黾腿部第二关节的长度。

图1 （a）水黾的外形特征；（b）水黾产生的双极涡[4]；（c）双极涡的理想化模型：半球涡结构流动结构[4]Fig.1(a)The geometric features of a water strider;(b)The dipolar vortices produced by the water strider[4];(c)Idealized model of dipolar vortex:hemispherical vortex[4]

水黾在水面上划水时产生的双极涡流动结构如图1（b）所示。事实上图1（c）中的半球涡流动结构是对图1（b）中水黾产生的双极涡的一种理想化的近似，然而尚未有工作对水黾产生的半球涡的尺寸以及水黾输入到半球涡内的动量、动能进行过考察，而这正是本文的主要工作之一。值得注意的是，水黾在水面飞奔时，其后腿也在水中制造出双极涡的结构，然而后腿产生的双极涡极小，因此对推进力的贡献很小[12]。

2 水黾划水产生的半球涡的几何特征与动力学特征

图1（c）中的半球涡流动可以在图2的坐标系下进行求解分析。当半球涡以速度-Vv沿x轴移动时，则相当于无穷远来流以速度Vv绕过半球的流动。

图2 水面下的半球涡流动结构Fig.2 The hemispherical vortex beneath the water surface

2.1 半球涡流动求解及其内部的流体动量与动能

如果将水面当做映射平面，则利用镜像原理可知，半球涡的流动相当于Hill球涡的流动在镜面以下的部分，因此可以利用Hill球涡的求解方法来求解水面下半球涡的流动。为简洁考虑，Hill球涡的求解过程，在这里不再引用，而只简单地给出Hill球涡内流体动量与动能的表达式，即：

其中：下标“H”表示的是Hill球涡对应的物理量，而R为半球涡的半径，ρl则为液体的密度。因此半球涡内所含的动量与动能为：

由于水黾中间双腿产生两个半球涡而且后腿也产生两个相对较小的半球涡，因此水黾产生的总的半球涡内所含有的动量和能量可以表述为：

其中：Φ为后腿产生的半球涡相比较于中间腿产生的半球涡的动量之比，如果半球涡的移动速度相同，则Φ可以认为是后腿与中间腿产生的半球涡的尺寸之比。由于对于同一种水黾的不同个体而言，后腿与中腿的比值是基本不变的，因此Φ对同一种水黾而言是一固定值。对于水黾而言，由于后腿的第二关节长度明显小于中腿的第二关节长度，所以

一般对于真实的水黾而言，后腿对推进力的贡献非常少[12]，因此

然而值得注意的是，对于仿水黾机器人，如果将后腿的第二关节长度设计为大于中腿的第二关节长度，则Φ显然可以大于1，而具体取值的大小则要视具体的长度比例而定。

半球涡的理论模型（6）和（7）是否能够合理预测水黾产生的双极涡的动量与动能，有待于基于实验数据的考察。如果（6）式和（7）式预测的理论结果与实验结果符合，则说明半球涡模型用于预测水黾产生的流体动力是合理的。

2.2 半球涡的半径

现在根据（6）式和（7）式以及表1中的实验数据来对水黾产生的半球涡的半径进行考察。根据（6）式和（7）式可以得到

于是可以得到

在这其中Φ的值并未确定，但是从（10）式可以看到R是Φ的单调函数，所以当Φ取0和1时，R具有最大和最小值。表2中给出了Φ取0，0.125，1时半球涡的预测值。可以看到Φ取0时，对于不同运动速度，R的预测值集中于1.6 mm左右，与（3）式给出的L2的长度1.89 mm极其接近，这也就是说半球涡的半径与水黾中间腿的第二关节长度L2是成正比的而且及其接近，因此半球涡的体积τ则与中间腿的第二关节长度L2的立方成正比，即

现在来考察考虑后腿产生半球涡的影响下，半球涡的半径R的预测值。根据（4）式可知，半球涡移动速度相等的情况下，后腿产生的半球涡的动量与中间腿产生的半球涡动量比值Φ等于它们半球涡体积的比值，即

对真实的水黾，从图1（a）或图1（c）可见，后腿的第二关节长度与中间腿第二关节长度之比约为0.5左右，因此从（12）式中可求得表2中给出了Φ=0.125时半球涡半径R的测值，主要集中于1.6 mm附近，这与中间腿第二关节长度L2=1.89 mm也是极其接近的。特别地，考虑极不符合实际的情形，即假设水黾后腿产生的半球涡与中间腿产生的半球涡大小相等，也就是Φ=1时，则（10）式给出R的预测值也将完全不符合实际情况，如表3所示，此时R预测值分布在1.3 mm附近，这证明后腿产生的半球涡尺寸不可能接近中间腿产生的半球涡大小。综上所述，当水黾在水面划水推进时，中间腿产生的半球涡的半径R与L2接近。但L2并非全部触水长度，在实际的问题中，触水长度或半球涡半径R可计算为

其中：ε称之为触水长度因子，根据表2中的结果，在预测仿生水黾机器人划水所产生的半球涡半径时，将其估计为腿部触水长度或第二关节的长度L2的0.85～0.9是合理而且简便的。如果在获得半球涡移动速度的条件下，将（13）式代入（6）式和（7）式中，就可以直接计算出半球涡内的动量与动能，因此下面来考察半球涡移动速度的特征。

2.3 半球涡的移动速度

首先来考察基于（6）式和（7）式预测的半球涡移动速度是否合理。根据（6）式和（7）式可得到

因此表1中的水黾在不同速度下产生的半球涡的移动速度可以被计算得到如表2中所示。从表2中可以看到半球涡在流体中的移动速度为1.81～4.72 cm/s，这与Hu在实验中观测到半球涡的移动速度4 cm/s的量级是接近的。可见，基于半球涡模型（6）式和（7）式对水黾产生的半球涡的移动速度在量级上的预测是合理的。根据（14）式以及表1中实验数据计算得到的半球涡移动速度与水黾运动速度之比β，如表2所示。

然而在实际情况下，事先并不知道半球涡内的动量与动能，而只知道仿水黾机器人的质量Ms与仿水黾机器人期望达到的速度V，此时计算出半球涡的运动速度是设计中最为关注的问题。已有的理论和实验研究指出[24-25]，当水黾以较高速度运动时（＞72 cm/s），半球涡内的动量可达到水黾输入到流体中总动量的2/3，

其中：γ为2/3，V为水黾的速度，而If，Is则是流体和水黾的动量，由于流体和水黾之间的动量交换，这两者是相等的。于是，根据（13）式给出的半球涡半径以及（6）式就可计算出半球涡内的动量，并将（6）式代入（15）式可以得到

考虑到水黾的质量与体积成正比且水黾身体几何形状相似，因此水黾质量可以表达为

其中：λ为一系数，该系数对于水黾而言可以认为是一固定值，比如对Hu实验和Akira实验中的水黾，都可以计算得到

将（17）式代入（16）式变形后可以得到

从（18）式可知，不考虑任何偶然因素的影响下，半球涡移动速度与水黾运动速度之比β可以认为是一个常数。对于Akira实验中的水黾，利用常数Φ=0.125，γ=2/3，ε=0.85就可以计算得到

对比表2中β的观测数据来看，半球涡移动速度与水黾速度比值β的计算方法（18）式是合理的，基于该系数计算得到水黾不同运动速度下半球涡移动速度如表2中Vv2所示。因此对于水黾和仿水黾机器人而言，半球涡的移动速度可以直接估测为

综上所述，给定一个水黾，根据（13）式可获得其产生半球涡大小的信息，而根据（19）式就可以估计出水黾不同运动速度下半球涡的移动速度，相应地根据（6）式与（7）式就能较合理地计算出水黾在水面运动时传递到半球涡内的动量与动能。

2.4 半球涡内流体动量与动能的理论计算

根据已经获得的半球涡尺寸以及半球涡移动速度Vv2，利用（6）式与（7）式，并取半球涡半径为R=1.6 mm以及Φ=0.125，可以预测得到半球涡内流体的动量Iv_p与动能Ev_p，如表2所示，其中误差定义为

从表2中可以看到动量预测的最大误差为9.52%，而动能预测的最大误差为23.5%。可见利用（6）～（7）式以及（13）式给出的半径R以及（19）式给出的水黾产生的半球涡的移动速度，就可以较为准确地获得半球涡内的动量与动能，这也进一步证明半球涡模型计算水黾产生的双极涡内的动量与动能是合理的。

为了进一步考核半球涡模型（6）、（7）、（13）式和（19）式的合理性，图 3 给出了 R 取 0.8～0.9L2范围内，不同速度下半球涡内动量的计算误差。从图中可见，在该范围中半球涡动量的计算误差最大不超过25%，特别是在0.84～0.87L2的范围内，不同速度下的动量预测误差不超过13%。这说明半球涡模型（6）、（7）、（13）式和（19）式对于计算水黾产生的双极涡内的动量与动能是完全合理的。对于其它研究者的实验对象，以上结果同样可以给出合理的预测结果。Hu实验中水黾质量为10 mg，而最大速度为100 cm/s，中间腿的第二关节长度 L2=3 mm，利用（6）、（13）、（19）式可预测到水黾输入到半球涡内总动量为

而水黾的总体动量为 Is=1.0×10-5kg·m·s-1，因此根据（15）式计算可以得到，Iv占 Is的比例为 0.669 1，接近于2/3。然而值得注意的是，Hu在研究中曾估测半球涡的移动速度为4 cm/s以及半球涡的半径为4 cm，并直接认为水黾交换到流体中的动量全部为半球涡内的流体质量与半球涡移动速度的乘积，即Iv=Is，展开可得到

从以上分析可见，Hu对半球涡半径R及半球涡内流体动量的计算是不合理的[4，12]。

图3 不同半径取值下半球涡内流体动量的预测误差Fig.3 The error of predicted momentum in the hemispherical vortex

表2 基于半球涡模型的水黾的流体动力计算Tab.2 The fluid dynamics of the water strider based on the hemispherical vortex

续表2

3 仿水黾机器人划水推进的推进力模型及推进特性分析

根据以上的理论和实验数据分析可知，在仿生机器人的表面超疏水特性接近真实水黾表面的超疏水特性的条件下，给定机器人的质量Ms之后，那么根据（1）式确定的机器人密度ρs及（17）式确定的机器人足部第二关节长度L2来设计的仿生水黾机器人，其足部产生的半球涡几何特征满足（13）式而运动特征则满足（19）式。与此同时，在实验中还发现，对于同一只水黾，不同划水速度下，其划水持续的时间ts基本不变[24]。而且在引言中已经指出，足部划水的最高速度Ul与身体运动的最高速度V，两者接近[5，24]，即

根据这两个信息，可以建立水黾划水推进力与足部划水速度之间的关系。由于机器人划水产生的半球涡大小及半球涡移动速度都已获得，因此可根据（6）式以及（15）式获得全部流体内的动量。根据已获得的动量，则可以获得水黾在划水持续的时间内的平均推进力。

3.1 水黾划水推进的平均推进力

根据动量守恒，可以获得在时间间隔内水黾划水的平均推进力为

根据（15）、（6）、（13）、（19）式和（21）式可以立刻获得

根据推进力的模型，就可以近似计算得到水黾的加速度a。表2中给出了不同速度下，水黾的推进力和水黾加速度的计算值，计算时取划水时间为表1中的14 ms。实验Case1中测得水黾速度为72 cm/s的情况下，加速度为57.4 m·s-2而对应的推进力为14.85 dynes[24]，对比表2中的计算结果，可见两者的数值是非常接近的。因此采用（23）式计算水黾足部总推进力是合理的。

3.2 仿水黾机器人推进特性的分析

从（23）式可看到水黾划水时产生推进力大小的几个重要的影响因素，即L2，Ul，ts。可以发现，划水速度越高、划水时间越短则产生的推进力越大。而水黾足部的第二关节L2，其产生的推进力也越大，这是符合物理事实的。从图1（a）中可见，当水黾划水时，水黾的腿绕着与身体的连接点进行旋转，在这过程中，只有第二关节与水接触，因此半球涡的形成主要决定于第二关节在水面的运动，而第二关节越长，根据（13）式可知，形成的半球涡就越大，从而根据（6）式可知，其半球涡内动量就越大，水黾获得反冲量也越大。

考虑到水黾在水面的推进主要由于水黾的腿部在水面上绕着与身体连接的连接处旋转来获得推进力，因此根据（23）式就可以获得水黾划水时足部需要施加的力矩。根据（23）式给出的两根腿上的总推进力，于是可获得每根腿部第二关节平均长度上的推进力为

根据图1（a）可知，不考虑第二关节绕第一关节附加转动时，那么（23）式中划水速度与划水的角速度关系为

其中：L，ω分别为总的腿长与角速度，而θ为腿部划水的角位移。那么第二关节某微小距离上的力矩为

其中：r为第二关节上某点到腿部与身体连接部位的距离。于是整根腿部上的力矩为

如果设水黾腿部划水时，划水速度经历匀加速与匀减速两个阶段，那么划水时间ts则可近似估算为

考虑到划水持续时间ts在同一个水黾或机器人中被设定为常数，于是水黾推进时，足部的力矩可以计算为

而电机需要输出的功率则为

从（29）式可知划水时腿的角位移θ越大，则水黾划水获得的力矩也越大；而且水黾输出的功率与角位移的平方成正比，因此角位移越大，水黾获得的动能也越大。

3.3 仿水黾机器人最大推进功率

设水黾腿部第二关节与腿长的比例为

显然s对于同一类水黾可以认为是定值，于是（30）式成为

很显然，其中的系数

对任何水黾或仿水黾的机器人，是基本相同或接近的。从图1（a）可以看到水黾角位移θ的最大值约接近于180°，由（32）式可知，θ=π时仿生水黾机器人可以从电机内获得的最大功率为

从该式可以看到，提高仿生水黾机器人获得动能的途径是将腿的长度L加长或将划水的时间ts缩短。因此为了让仿水黾机器人获得超越真实水黾的运动速度，那么可以在保证条件（1）中密度ρs和质量Ms不变的前提下，尽可能让L变得越长，于是根据（31）式可知L2就越大，于是根据（13）式可知半球涡的半径就越大，继而根据（6）式可知，半球涡内动量就越大，从而仿水黾机器人从流体中可获得反作用力就越大，于是同样质量下的仿水黾机器人，其加速度就越大。由于密度（1）和质量Ms都不变，因此机器人的总体积不变，所以当L变得更长时，仿水黾机器人身体上其余部位的体积就要相应缩小。可见，在保证总体积不变的情况下，适当设计仿水黾机器人的形状，确实是可以达到水面仿生机器人超过真实水黾运动速度的目的。

4 结 论

本文基于半球涡模型分析了水黾划水推进时产生的半球涡的半径以及半球涡在流体中的运动速度。研究表明半球涡的半径与水黾腿部第二关节长度是接近的，比值接近0.85，而半球涡的移动速度与水黾运动速度或划水速度成正比，比值为0.056 9，这两个比值对于所有水黾可认为是接近或相同的常数。根据水黾的身体几何信息以及水黾的运动速度以及半球涡理论模型，计算了水黾产生的双极涡中的动量与能量并与相关实验做了对比。对比表明，动量的理论计算误差小于10%，而动能的计算误差小于23.5%，说明了半球涡模型用于计算水黾划水产生的流体动力是合理的。

根据半球涡理论模型并根据动量定理给出了水黾划水获得推进力的理论模型并获得了水黾划水时腿部的力矩以及功率，并给出了仿水黾机器人划水时最大电机功率的计算表达式，从而为仿水黾机器人电机特性的选取提供了理论依据。公式表明最大推进功率与腿的长度五次方成正比而与划水持续时间的立方成反比，因此仿水黾机器人的推进机械机构可以通过缩短运动周期来提高每个划水周期内的推进力。

本文研究为仿生水黾机器人的形状设计也提供了参考依据，即在保证材料超疏水特性以及密度与真实水黾相同的条件下以及在保证腿部第二关节长度与腿的总长比例不变的前提下，同样质量的机器人，可以通过形状设计将腿的长度加长来获得更大的推进力或推进功率，从而获得比真实水黾更大的运动加速度。

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