对一道例题的反思

张 冰

（陕西省西安交大附中 陕西西安 710048）

在高中数学实验教材（北师大版）选修2-2《导数的几何意义》中介绍了一道例题，课堂上讲解这道题目之后，又有了很多想法和反思，现将课后对这道题目的反思记录下来，希望对今后的教学有所启发。

1.例：已知曲线

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求曲线过点处的切线方程。

解：（1由曲线的几何意义，曲线在点处的切线的斜率是

所以曲线在点处的切线方程为：

即：

（2）曲线过点处的切线可能（1）P是切点；（2）P不是切点

当P是切点时，即第（1）小问的情形，曲线在点处的切线方程为：

当P不是切点时，假设切点为

这时曲线的切线方程为：

通过图像可以验证曲线过点P的曲线确实有两条。

课堂的例题分析、讲解是结束了，在课后回顾这道例题的时候，突然想到是否对任意的一条三次曲线，过曲线上任意一点都是有两条切线吗？

对于三次函数过曲线上任意一点作切线，切线的情形如何？

因为以点P为切点的切线一定存在，切点不是点P的切线是否一定存在？

假设切点由点Q在曲线上，

得：

又，点Q在切线上，切线PQ的斜率

由导数的几何意义可得：

所以，

当时，点Q与点P重合，过点P有且只有一条切线；

当∆≠0，即时，过点P的切线有两条，切点分别是点P和点Q。

所以，如果，过点P的切线有且只有一条，否则有两条切线，切点分别是点P和点Q。另一方面，正好也是的对称轴，这样进行判断时就很容易了。

有什么特别的意义吗？

我们知道是以为中心的中心对称图形，也是中心对称图形吗？其对称中心又是什么呢？

设函数的对称中心为

按向量将函数的图像平移，则所得函数是奇函数。

所以

化简得：

上式对恒成立，有

以上证明告诉我们：函数是中心对称图形，其对称中心为：

，该点在其导函数：

的对称轴上。

从对这道例题的反思中让我更加体会到了教学的乐趣，一天的课下来，在无人的时候，翻着自己的教案，重温课上的每一个细节，什么地方精彩，什么地方失败，哪一句话引起了学生的共鸣，什么地方调动了学生的积极性，再对教案进行更进一步的修改，同时记录下课上的一些突发奇想，某个灵感或突然间悟到的一种更好的调控课堂的方法，与学生沟通的方式等。时间一长，就发现自己对这些看似鸡毛蒜皮的课堂细节的总结，在不知不觉中形成了自己独特的教学风格。但细节每堂都有，总结每天进行，收获乐趣多多。