逆向思维在解决高中数学问题中的应用

江苏省射阳县第二中学 王 浩

数年数学的学习，让学生们形成了一种思维定式，即审完题后由条件出发向答案靠近，这种思维方式在解决偏中低难度的题目时显得快捷方便，但是在解答一些中高等难度的问题时，就可能会给解题带来难度，花了大把的时间才能理出自己的解题思路，而逆向思维的使用总能起到事半功倍的效果，省时又省力，是学生们不可或缺的一种解题技能。

一、逆向思维——求“对”

对立事件问题是常见的一类概率问题，出题者往往会让学生求一个组成极其烦琐的事件的概率，而学生往往也会顺着出题者的想法解题，进而浪费大把的时间和精力。但如果采用逆向思维，求其对立事件的概率，继而求其概率，就会显得容易许多。

例1 在20件成品中，其中有15件一级品，5件二级品，取三件成品，至少有一件是二级品的概率是多少？

解析：如果此题按常规思路求解，则需计算取一件二级品、取两件二级品、取三件二级品三个事件的概率总和，消耗大把时间，计算还极其烦琐，但如果计算其对立事件——三件都不是二级品的概率，继而求出此事件的概率就会很容易，即

由此题可见，求解某一事件对立事件的概率有时比起求解此事件的概率的计算量要小许多，解题效率也要高许多，在以后解答此类对立事件概率题时，不妨多使用这一思维方式，让问题变得更加简易。

二、逆向思维——逆推

几何作为高中数学重要的组成部分，也是同学们需要重点掌握的一块知识，常见的证明题同学们也是见多不怪了，但是出题者往往会利用学生的惯性思维，让学生的解题思路断层，故而此时应用逆向思维可以为学生的解题打开一扇新的窗户，让解题变得更加高效、省时，大大提升了学生的解题能力。

例2 (2016江苏高考试卷第13题）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，

解析：出题者只给出了几个与求解的值关系不大的条件，学生想要将条件向问题靠拢的困难比较大，于是应该使用逆推法将问题向条件靠拢，由题意可知根据这些关系式，很容易就能将的结果求出来。

出题者总会有意地掩盖题目中的条件和问题之间的关系，而找到这其中的关系就是解题的突破口，逆推法便是找出其中关系的一种重要且容易领悟的方法。在证明题中，即使不能使用逆推法直接解题，但至少也为解题理清了思路，规划好了解题方向。掌握逆推法能为数学解题打开一片新视野。

三、逆向思维——反证

在大题目中的证明题往往是逆推法无法直接解决的，故而解决此类问题还需要一种新的数学方法，那就是反证法。在高中数学中，反证法虽然不是一个教学重点，但的的确确是一个难点。反证法有三个步骤：（1）反设；（2）归谬；（3）结论。反设即设出一个与原命题相反的结论；归谬即使用反设作为条件，并证明存在矛盾；最后得出结论：原命题成立。

例3 已知数列{bn}的通项公式为求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列。

解析：首先假设存在三项成等差数列：bx，by，bz，所以2by=bx+bz,即左边为奇数，右边为偶数，得出矛盾，所以原命题成立。

此题如果不采用反证法解题，会给解题者带来非常大的思考量和运算量，相比较而言，反证法所节约的时间和精力是很高的，可以说是事半功倍。掌握了反证法这一重要的解题方法，可以大幅提高学生的解难题能力，让学生不再因为这类题目而一筹莫展。

总之，逆向思维是一种极其重要的数学思维方式，是一种出奇制胜的秘密武器。在高中数学解题中，逆向思维有着广泛的运用，在函数、方程、数列、几何等知识点中均有其身影。熟练运用这一思维方式不仅可以提升学生在数学方面的分析问题、解决问题的能力，同时，也可以在其他学科的解题中带来不同程度的帮助。