生化反应中一类p+q次多项式微分系统的闭轨不存在性

孙志阳, 冯世林, 何志蓉

(四川大学 数学学院, 四川 成都 610064)

1 引言及预备知识

以下是一类描述p+q分子反应的生化反应模型

它可被描述为以下微分方程[1]:

(1)

其中,x,y≥0,参数a≥0,b>0,p、q为整数且p,q≥1.

当a=0时,文献[2-4]分别对p=1,q=2及p=1,q≥3的情况讨论了极限环的存在性、唯一性及不存在性;文献[5]则研究了p≥1,q=2时Hopf分岔产生闭轨及p≥2,q=2时闭轨的不存在性;文献[6]讨论了p≥1,q≥2时闭轨的存在性及全局结构,及p≥2,q≥2时闭轨的不存在性.

类似文献[7]里对Brusselator模型的研究,a≠0也是很重要的.当a≥0,b>0时,文献[8]对p=1,q=2时的分支做了讨论,得出闭轨的存在及不存在的条件;文献[9-10]考虑了更一般的模型:

研究了其稳定性及极限环的存在性(其中V(x,y)对非负的x,y是有界实值函数);文献[1]则对系统(1)(其中xpyq显然无界)中一般的p、q讨论了平衡点的性质、鞍结分岔及Hopf分岔产生极限环;文献[11-12]对一般的p、q分别分析了Bogdanov-Takens[13]分岔及无穷远点情况.

本文讨论了系统(1)关于a≥0,b>0的情形,对一般的p、q进行了分析,讨论了闭轨不存在的充分条件.

2 闭轨的不存在性

为了方便讨论,定义如下3个集合.

定义1Κ={(a,b)|a≥0,b>0,a≥(q-1)b},

Μ={(a,b)|a≥0,b>0,a<(q-1)b},

Λ={(a,b)|a≥0,b>0,a<(q-1)b，

其中

H=(p-1)p+q-1pp+q(p+q-1)-(p+q-1)×

(p+2q-1)p+2q-1.

定理1(i) 对任意的正整数p=1,q≥3,若(a,b)∈Κ,则系统(1)无闭轨;若(a,b)∈Μ,则系统(1)在区域

上无闭轨.

(ii) 对任意的正整数p,q≥2,若(a,b)∈Κ或(a,b)∈Λ,则系统(1)无闭轨.

证明用Dulac判据[14-15]来考虑闭轨不存在性.选择Dulac函数B(x,y)=y-q,则

-pxp-1+((q-1)b-a)y-q.

(2)

当p=1时,(2)式化为

div(PB,QB)=((q-1)b-a)y-q-1.

首先,若(q-1)b-a≤0,因为y≥0,所以div(PB,QB)<0,由Dulac判据,当(a,b)∈Κ={(a,b)|a≥0,b>0,a≥(q-1)b}时,系统(1)在{(x,y)|x≥0,y≥0}内无闭轨.其次,若(q-1)b-a>0,考虑曲线Φ:((q-1)b-a)y-q-1=0,即y=((q-1)b-a)1/q,在其上div(PB,QB)=0.此时,由Dulac判据,系统(1)在区域{(x,y)|x≥0,y≥0,y<((q-1)b-a)1/q}∪{(x,y)|x≥0,y≥0,y>((q-1)b-a)1/q}内无闭轨.(i)得证.

当p≥2时,同上知(a,b)∈Κ={(a,b)|a≥0,b>0,a≥(q-1)b}时,系统(1)在{(x,y)|x≥0,y≥0}内无闭轨.下面考虑(q-1)b-a>0.考虑曲线Γ:-pxp-1+((q-1)b-a)y-q=0,即

在其上div(PB,QB)=0.如果系统(1)有一条闭轨γ,由Dulac判据,我们断言γ∩Γ={A,B}≠Ø.设A、B是2个交点,则向量场(P,Q)在A和B分别指向Γ的两边.由向量场的连续性,在曲线Γ的弧线段AB上存在一点S,使得曲线在S的切向量与S处的向量场一致,即

上式可写为

(3)

简化上式得

(4)

其中

为了简化方程,令z=y-1/(p-1),则方程(4)可写为D(z)=0,其中

D(z)=Azp+2q-1+Bzq+C.

(5)

当p是偶数时,有D(0)<0,D(+)<0;当p是奇数时,有D(-)<0,D(+)<0.计算D(z)的导数,得D′(z)=k1zp+2q-2+k2zq-1,其中

k1=-qp-1/(p-1)(p+2q-1)bcp/(p-1)<0,

k2=q(pqb+(p-1)(pa+c))>0.

显然,D′(z)有唯一的正实零解

(6)

计算D(z)在z0的二阶导得

这表示了z0是D(z)的极大值点.因此,若D(z0)<0,则(3)式无解.于是寻找在什么参数条件下,会有D(z0)<0.将(6)式代入(5)式得

(7)

化简(7)式得

D(z0)=T{(((2p-1)(q-1)+p)b+

其中

因此,当(a,b)∈Λ(Λ见定义1)时,有D(z0)<0.实际上,Λ是非空的,因为取b=0.1,a=0.01,p=2,q=2时满足不等式D(z0)<0.这暗示(1)式对任意的(a,b)∈Λ无闭轨.(ii)得证.定理证毕.

特别地,取a=0,则D(z0)<0可化为

这即是文献[6]中定理2结论之一.

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