“易数学”：哲学视域中的实践创生

摘要：在“易思想”的哲学视域中提出“易数学”的教育主张，引领学校数学课程的创新与发展。“易数学”课程在目标建构上立足学科本体、实践主体、能动个体，在内容创生上注重资源的融通汇合、教材的融会贯通、练习的融为一体，在课堂实施中关注个体学习、同伴学习、社群学习，建构了“易数学”的“学习-对话”模型。

关键词：易数学；目标；内容；实施；数学教学

中图分类号：G420 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2018）04A-0017-05

在中国传统文化中，易是一种哲学思想。“易”者三义，一曰简易，二曰变易，三曰不易。简易是样态，变易是方式，不易为核心。变易与不易，看似矛盾对立，实则有无相生、缺一不可，可谓相辅相成、辩证统一。

以“易”作为数学教育哲学，一是基于对中华优秀传统文化的传承，二是基于对教育教学规律、学科教学本质、儿童成长规律的把握，既具有文化传承性又具有时代发展性。

以“易思想”审视数学教育教学，我们可以清晰地感受到：“变易”直观表达了万事万物的运动与变化属性，也蕴含着教育的发展性与儿童的生长性；“不易”集中体现了规律的确定性与恒常性；“简易”含蓄道出了“大道至简”的追求。

在“易思想”的视域中，“易数学”之“易”意為：一为简易，删繁就简、化繁为简，解决结构与流程的问题；二为变易，改良升级、变革优化，关注过程与结果的创新；三为不易，聚焦核心素养的提升、基于儿童主体的立场、立足数学学科的本质不易，遵循教育与儿童成长的规律。

我们所理解的“易数学”课程，是有根（源于儿童生活，基于学生实际）、有魂（聚焦学科本质，指向核心素养）、有趣（不仅有意义，而且有意思）的数学课程，是易学（易于主动学习）、易用（易于推广应用）、易创（易于师生创生）的数学课程。

一、目标建构：立足三个“体”

在“易思想”的观照下，我们从“学科本体”“实践主体”“能动个体”三个层面对“易数学”课程目标体系进行了整体解读。

对于数学这一“学科本体”而言，就小学来说，无论是基本概念还是基本法则，无论是自然数、整数、负数、分数、小数还是点、线、面、体，无论是加减乘除还是运算定律、面积体积计算公式，都需要把握住最基础、最本质的核心内容进行目标建构。辩证看待变易与不易的关系，寻找到知识的生长点、经验的迁移点与结构的连接点，进行根目标的建构，进而在根目标的基础上延展出可生长的枝干目标群。

对于教师这一“实践主体”而言，在“易数学”的课程目标设定时需要进行四个方面的立体思考与整体建构。第一个方面是教育哲学，解答“为什么培养人”这一核心问题；第二个方面是学科哲学，回答“数学究竟是什么”这一本源问题；第三个方面是核心素养，重点解决“培养什么样的人”这一基本问题；最后一个方面是学科素养，研究“学科核心素养是什么”这一焦点问题。从教育哲学、学科哲学、核心素养及学科素养四个方面进行探问与追索，从而形成关于教育、数学、数学教育、数学教学的自我回答。

对于学生这一“能动个体”而言，“易数学”的目标需要从群体到个体进行结构化思考。对于学生群体来说，“易数学”目标应该是一个系统的目标集合群。既有基于全局视野的数学课程标准整体目标的校本化解读，也有基于全程视线的各个学期目标的系列化建构。对于学生个体来讲，“易数学”目标则是一条动态的目标生长线：既有基于学生当下基础目标的适切建构，也有指向学生未来发展目标的长程设计；既有基于普适目标的个别化调整，也有基于进步曲线的超越式更新。

通过广泛的学习与调研、研究与对话，我们将“易数学”的课程总体目标确定为培养数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养，引导学生培育数学的理性精神与严谨态度，会用数学的眼睛观察现实世界，会用数学的语言描述现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的方法探索现实世界，会用数学的技术改变现实世界。根据整体目标框架，逐步建构起各个年段、各个学期、各个单元，进而到各个课时的目标群与目标链。

二、内容创生：用好三种“镜”

“易数学”的课程内容在设计与实践时借鉴“二八原则”进行，约80%的苏教版教材基础内容加上约20%的各类资源拓展内容，既保证了基础性内容的达标，又实现了拓展性内容的增能。

1.用好“广角镜”：资源可以“融通汇合”

一是对不同版本教材进行优势组合。对于数学教学而言，“一标多本”给教师提供了多视角、可借鉴的教材资源库。每一个版本的教材编写都有其特点与优点。同一内容，各个版本的编写思路可能就完全不同。如：《乘法分配律》的编排，苏教版教材是在学生熟悉的跳绳情境中进行的，关注的是情境中几个几的乘法意义；北京师大版教材是围绕生活中墙面贴瓷砖这一实际问题展开的，求长方形面积的两种不同思路直观而可视。当教师具有多版本视野时，就能引领学生跳出教材学数学。在多变的呈现方式背后，更清晰地感受到数学的核心与本质，从而抓住关键与根本，对不同版本的内容进行适度融合，形成更为适合本班学生的数学内容表达。

二是对数学绘本、故事进行优选融合。数学教师可以借助教研组的力量，在海量的绘本与故事资源中，进行优选组合，形成与教材配套的数学绘本故事资源库，从而将适宜的数学绘本与数学故事引入课内学习与课外阅读。如：在四年级教学《角》这一单元时，认识角时可以引入《两条射线手牵手》这一数学绘本；而在探索角的大小与边的长短无关而与两边叉开的大小有关时，可以加入《角兄弟》这一数学故事。

三是对自编数学童话进行优创整合。童话是儿童耳熟能详且非常喜欢的文学体裁，当它与数学相遇时，往往就能发挥出1+1>2的作用。自2014年起，王岚数学名师工作室的全体成员，合作共同完成了与最新版苏教版小学数学教材配套的《小罗庚》《叮当历险记》《古城西安游记》《魔法森林》等12本数学童话故事。这些数学童话故事一经使用，立刻受到了学生们的热捧。这些数学童话故事，既可以作为课前预习的材料，又可以作为课中指引的读本，还可以作为课后复习的资料，为学生提供了学习的导航图与研究的预览图。

四是对数学实验手册进行优化结合。强调具身学习的重要性，引导学生在“做中学”中“做数学”。重视教材中配套数学实验的组织与实施，同时加入“义务教育数学实验资源开发与建设”总课题组，共同开发并运用与苏教版教材配套的12册《数学实验手册》。引导学生自主提出实验猜想、合作进行实验验证，并最终得出实验结论。在借助实物进行操作实验的同时，也可以引入技术手段进行模拟实验。如：验证三角形的内角和是180°。传统教学中，往往是通过测量三角之和相加，或将三个角拼成平角进行验证。而借助几何画板这一软件进行模拟操作实验，学生通过点击鼠标拖拽三角形的任意一个顶点，就可以直观地看到无论三角形的形状发生什么改变、三角形的三个内角度数如何发生变化，三角形的三个内角的和始终是180°。这样的模拟实验，因其实验数据的随机性与可变性、实验结果的稳定性与具象性，更具说服力。

2.用好“透视镜”：教材可以“融会贯通”

一是主题块的横向衔接。对于苏教版教材中横向的两个或多个知识点进行整体连接，形成集约化的结构化设计，从而沟通看似不同知识点之间的内在联系，引导学生发现“变易”中的“不易”。如：数学教材中，关于数的加减，有整数的加减法、分数的加减法和小数的加减法。这些加减计算，外在的形式看似并不完全相同，整数加减法是数位对齐也就是末位对齐，分数加减法需要转化为同分母后进行计算，小数加减法是数位对齐也就是小数点对齐。这三者之间，整数加减法与小数加减法，联系似乎更为紧密。然而在进行小数加减法计算时，仍然有部分学生受整数加减法末位对齐这一经验的干扰而形成负迁移。进行主题块的横向衔接之后，整数、小数及分数加减法都可以统一到“相同计数单位才可以直接相加减”这一更为上位的规则之中。在此上位规则的统领下，整数加减法、小数加减法需要数位对齐后再相加减，异分数分数需要通分后转化为同分母分数再进行加减，对于学生而言就不再仅仅是一种规定的算法，而是合乎基本算理的变式表达。这样的寻根求源，经历了化散为聚，实现了以一抵多。

二是主题链的纵向承接。同样，对于教材中纵向的两个或多个内容知识点，也可以通过其内在的逻辑关系，寻找到链接点与生长点，引导学生发现“不易”中的“变易”。如：认识整万数和认识整亿数，在教材中是两个不同课时的内容。在“易思想”的指导下来关注这两个内容，我们会发现其纵向上有着明显的承接关系。认识整万数，对于学生而言，是一次认识上的飞跃，从“一个一个数、十个十个数……”进而到“一万一万地数”，需要学生在“满十进一”这一十进制计数法则的基础上，联系“个、十、百、千”，对應地创造出“万、十万、百万、千万”这四个计数单位。并且在此基础上，完成对“个级”和“万级”的认识。而认识整亿数与认识整万数，其方法论与知识体都是一脉相承的。完全可以通过整万数的建构经验，自主衍生出“亿、十亿、百亿、千亿”这四个计数单位，进行完成对“亿级”的认识。而这样的满十进一、四位一级的经验型创造，还会引领学生继续探究，比千亿更大的计数单位是什么？亿级左边还有什么数级？进而自主在课外拓展研究与学习“兆”“京”等等的计数单位。主题链的纵向承接，承接的不仅是知识、是内容，更是结构、是方法，是数学思想的生本化表达。

三是主题群的立体对接。主题群超越了单一维度的主题块及主题链的概念，既可以横向发生联系，又可以纵向加以推进。在主题群的立体对接中，既可以是基于教材的整体内容进行系列设计，也可以是基于学生的生活实际进行项目推进。如“运算律”这一内容就可以进行主题群的整体设计。首先设问：加减乘除这四则运算，是否都有交换律？进而通过系列化的提出猜想、举例验证、得出结论，最终发现在小学范围内加法和乘法具有交换律，而关于减法和除法提出的猜想与实际例证并不相符。同时，在此基础上，发现两个数具有加法交换律、乘法交换律，在三个数、四个数、五个数……中，加法交换律与乘法交换律仍然成立，进行纵向延伸。换一个角度进行思考，还可以进行横向推广，思考三个数相加、相减、相乘、相除是否具有结合律，再次经历猜想与验证、结论与运用的过程。又如：在学校组织郁金香节系列活动时，我们数学老师就可以根据这一主题组织学生开展项目化学习，将体积的测量、质量的测量、高度的测量、时间的记录、数据的收集与整理、统计图的绘制与分析等内容巧妙对接。学生通过对多个郁金香种球进行跟踪研究，比较郁金香种球的体积或质量，在同样的光照、土壤、天气、水、肥料等条件下，提出系列猜想。对比这些郁金香的发芽时间、植株高度、开花时间等，制作复式折线统计图，回看当初提出的猜想是否具有普遍意义。通过标准化的对比实验与大样本的数据采集，形成属于自己的理解。

3.用好“显微镜”：练习可以“融为一体”

一是立足细微，深度解读。将教材的某一个习题，深读、精读、反复读，用足、用好、用到位，以极简代替繁复，就能达到以一当多的效果。如苏教版教材中有一道练习题，主要内容是：一枚1元的硬币大约重6克，1亿枚1元的硬币大约重多少吨？如果仅仅将目标锁定在学生通过计算选择正确的答案，那就真可谓一叶障目而不见整片森林。如果教师能够用好“显微镜”，深度解读并改良优化，就能把简单的计算、枯燥的数据与鲜活的经验、丰富的体验对接起来。在学生选择600吨后，不妨继续追问：“如果用载重量为5吨的卡车来运输这些硬币，需要多少辆？”当120辆卡车这一数据形象化地呈现在学生头脑中时，远比600吨的数据来得真切与实在，以致学生都不由自主地发出惊叹：“1亿枚硬币真重呀！”这时候，再来一次适时追问：“一枚一元硬币大约厚2毫米，猜一猜，1亿枚一元硬币叠加起来有多高？可以试着与珠穆朗玛峰的高度进行比较。”又会引发学生惊异不已的感叹：“1亿枚硬币叠放太高啦！”这样的体验与感悟，看似乃题外之意，实则乃数学核心素养的应有之义。

二是聚焦变式，广度拓展。一个好的练习，往往不是孤立的，而是立于系统之中的。因此，在解读各类练习时，往往需要一组一组对比着观察与思考。在教材现有的编排中，这样的以“组”为单位呈现的练习可谓比比皆是，如乘法数量关系与除法数量关系的比较、单位1已知与单位1未知的题组等等。同样，在设计与组织练习时，也需要教师甚至师生共同进行变式创造，从而引导学生在万变中寻找其宗。如：教材中，对于平面图形与立体图形的关系，就可以借助平面图形进行系统建构。一个长方形，既可以通过平移，形成长方体。也可以一边为轴旋转360°，形成圆柱。一个圆形，同样也可以通过平移，形成圆柱体。也可以直径为轴旋转180°，形成球。一个三角形、一个等腰梯形也可通过平移或旋转形成立体图形。在这一过程中，学生就在不同的介质中，寻找到了开启平面图形与立体图形通道的基本方式——平移与旋转。平移与旋转前后，数据的联系与变化，平面图形与立体图形之间的沟通与联系，就在多样的变式、广度的拓展中，不断清晰与明朗起来。

三、课堂实施：关注三种“学”

课堂的本源意义，在于学生主动学习与深度学习的真实发生。需要教师从关注“这个班”到关注“这一类”，进而走向关注“这一个”。因此，我们着力研究学习共同体中“人与自我”“人与他人”“人与社群”的关系。提出了三种“学”，聚焦“个体学习”“同伴学习”“社群学习”三大维度中每一位学生的学习与发展。

“个体学习”也称“个学”，强调自我学习。引导学生关注自身，与自我对话，倡导自我反思。每一个人都需要正确认识自我，并借助自我的力量实现不断自生长。个体学习，恰恰是给学生提供了足够的自我认识、自我提升、自我反思的时间与空间，从而培养独立学习、独立思考、独立表达的意识与能力。事实上，教育与学习的真正意义就是让每一个人成为“自己”，成长“自己”，成就“自己”。

“同伴学习”也称“互学”，强调从游学习。引领学生协同学习，与同伴对话，相互引领启发。梅贻琦先生曾经形象地描述“从游”关系：“大鱼前导，小鱼尾随，是从游也。”同伴学习、同桌互学，是学习阶段发生频率最高的协同式学习。有成果相互分享，有疑惑相互启迪，有收获相互碰撞，真正让同学成为“同学”。这样的追从、师从的过程，正是同伴间互为榜样、共生同长的过程。

“社群学习”也称“合学”，强调合作学习。指导学生小组学习，与团队对话，实现差异引领。建构4人或6人异质小组，小组分工根据需求进行，组长可以轮值，根据学习任务的不同设立观察员、操作员、记录员或辩题的正反方陈述者等。通过指向共同目标的任务合作、议题讨论、疑难会诊等，提升每一个成员的学习力、思考力、表达力以及对于组织的贡献力。

在这样的背景下，我们提出了“易数学”的“学习-对话”模型（如图1），以核心问题驱动为特征，以核心素养提升为导向，以对话交流为方式，以主动学习为样态，即“个学：与自我对话；互学：与同伴对话；合学：与团队对话”，借助学与教的对换、学与学的互助，实现课堂教学的轉型。

个学：内化已学会的，找出有疑问的。互学：外化已学会的，说出有疑问的。合学：深化已学会的，跳出有疑问的。“个学”自主能学会的，在“互学”中充分分享，“个学”自主有疑问的，在“互学”中充分交流。“合学”环节，由组长组织开展系统性交流，整体对核心问题进行不同维度、多种方式的个性解读，对于互学中有疑问的部分重点开展交流。合学展示环节，由不同组的同学进行主题性介绍与补充性分享。对于仍然有分歧、有疑问的部分，教师主动介入，进行指导性交流。最终，形成对于该核心问题的整体认知。

而在聚焦“三学”的过程中，“学”——多样的学、丰富的学、可变的学、真正的学，成为了核心与关键。教师成为了导学者、助学者，学生成为了自学者、互学者。在这样的课堂中，每个人的学习起点是有差异的，每个人的学习方式是有差异的，每个团队的表达是有差异的，……但这样的差异成为了最可宝贵的资源。导学与助学的一个重要关键点就是关注差异背后的相同。学生能够在不同中寻找相同，也就是在多样的变化寻找到了不变的数学的规律、方法与思想。

责任编辑：杨孝如

“Yi-Mathematics”： Practical Creation in the Perspective of Philosophy

WANG Lan

（Primary School Attached to Changzhou University， Changzhou 213161， China）

Abstract： In the philosophical perspective of “Yi-thoughts”， “Yi-mathematics” is proposed as an educational idea， which can guide the innovation and development of mathematics in school. The goal of “Yi-mathematics” is based on courses themselves， practical subjects and enabling individuals. Also， its creation of contents attaches importance to confluent infusion of resources， integration of teaching materials， and unity of exercises. Meanwhile， it focuses on individual learning， peer learning and group learning in class， finally having constructed the model of learning and dialogue in “Yi-mathematics”.

Key words： Yi-mathematics； goal； content； implementation； mathematics teaching