论高中数学中的周期函数

杨好

【摘要】周期函数是高中数学学习中的一大重难点，掌握其基本性质和主要特点，对于提升学生们的解题能力有很大帮助。本文简单介绍了周期函数的定义和基本性质，并结合教材内容进一步详细探讨了关于应用周期函数需要注意的几点问题，希望能够帮助高中生更好地掌握这门课程。

【关键词】高中数学 周期函数 性质分析 应用探讨

一直以来，周期函数在高中阶段的数学学习中都占有十分重要的地位，并且在物理、化学等其他学科中也有着极为广泛的应用。因此，学好周期函数对于促进高中生整体综合素质水平的提升而言具有十分积极的意义。高中生在学习这部分内容时，首先应理清周期函数的基本性质，其次要深入了解课本上所没有提到的注意事项，做到灵活运用周期函数知识来解决数学实际问题，拓宽自己的数学学习思维。

一、周期函数的基本概念

根据高一课本教材中的定义，周期函数是指：对于函数f（x），若存在一个常数T（T≠0），使x取定义域内的任一值时，均存在f（x+T）f（x）=恒成立，则这样的函数被称为周期函数，T为该函数的周期。在理解周期函数的基本概念时，我们需注意以下几点内容：

第一，若函数f（x）为周期函数，则该函数的定义域一定为无界区间；

第二，若函数f（x）为周期函数，周期为T，则KT也是函数f（x）的周期；

第三，并不是所有的函数都存在最小正周期，例如，当函数f（x）的值为固定值时，即f（x）=c，任意一个非零的实数，我们都可以将其称为f（x）的周期值，不存在最小正周期的说法；

第四，周期函数不都是三角函数，如常函数f（x）=c，包含三角函数符号的也不一定是周期函数，如f（x）=sin|x|等。

第五，部分非周期函数在其部分定义域分段上可以为周期函数，如函数f（x）=sin|x|等。

二、周期函数的重要性质

根据课本教材内容，一般而言，周期函数重要包括以下几点重要性质：

性质1：若f（x）的定义域为R，且该函数的图像关于两条不同的直线x=a和x=b对称，则函数f（x）的周期T=2b-2a。特别地，如果f（x）为偶函数，图像关于直线X=a对称，则其周期T=2a。

证明过程如下：

由于f（x）图像关于直线x=a和x=b对称，所以可以得到：f（x）=f（2a-x）和f（x）=f（2b-x），即f（2b-2a+x）=f（2b-（2a+x）），化简可得：f（2a-x）=f（x），性质1得证。

性质2：若一个定义在R上的函数f（x）关于点P（a，0）和直线x=b对称，则称该函数为周期函数，且周期T=4b-4a

证明如下：

f（x）关于点P（a，0）和直线x=b对称，

f（x）=-f（2a-x），f（x）=f（2b-x）

则可得：

f（4b-4a+x）=f（2b-（4a-2b-x））

=f（4a-2b-x）

=f（2a-（2b-2a+x））

=f（（2b-2a+x））

=f[2b-（2a-x）]

=-f（2a-x）

=f（x）

由以上证明，不难得出f（x）为周期函数，且周期值为4b 4a。

性质3：若函数f（x）定义域为R，且函数图像关于点（a，0）和点（b，0）对称，则我们称函数f（x）为周期函数，周期T=2（a-b）。

证明如下：

由于函数f（x）关于两个不同的点（a，0）、（b，0）对称，所以有：

f（2a-x）=f（x），f（2b-x）=f（x），

则f[2（a-b）+x]=f[2a-（2b-x）]

=f（2b-x）

二-[-f（x）]

二f（x）

由上可证，函数f（x）为定义在R上的一个周期函数，且周期值为2（a-b）。

三、学习周期函数需要注意的几点问题

高中生在学习周期函数这部分内容时，除了要把握课本教材上的基本概念以外，还应注意以下几点问题，以彻底弄懂周期函数的性质内涵。

一是，周期函数的性质对于其定义域内的每一个x值都成立。即f（x）=f（x+T）对于任意一个x∈R都成立，所以我们在判断一個函数是否为周期函数时，只需列举一个反例证明即可。

二是，注意理清“x”的内涵。函数的周期性是针对定义域内的x值而言，学生在进行换算时，一定要注意理清x值的概念。

三是，并不是每个周期函数都有最小正周期。例如，常函数f（x）=a，任意一个正数都可以作为它的周期，而正数不存在最小的数值，所以该函数没有最小正周期。

四是，若一个定义在R内的函数f（x）周期值为T，则kT（k∈z，k≠0）也是该函数的周期。

五是，周期函数不一定是三角函数，学生们在学习这部分内容时一定要克服思维上的习惯定势，紧扣周期函数的定义来思考和解决问题。

四、结语

综上所述，作为高中阶段数学学习中的重要内容，周期函数一直都是高中生普遍感到学习起来较为吃力的一个知识点。要想彻底掌握周期函数知识，学生们除了要熟练把握课本上的基本概念和性质以外，还应结合具体例题来展开深层次的探究，理清周期函数的内涵和主要特点，并将其灵活地应用于解决数学实际问题，从而不断促进自身综合素质水平的提升。

参考文献：

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