以偏差绝对值期望为风险度量的最优投资组合问题研究与数值实现

姜丽华

【摘要】在现代金融领域内，如何度量风险以及如何采取相应的对策使风险最小化，已经逐渐地成为人们关注的热点问题。马科维茨作为现代投资组合理论的创始人，他建立了经典的均值方差模型，用方差来度量证券的投资风险。本文首先将在经典的均值一方差模型基础上，建立用偏差绝对值期望来代替方差度量风险的模型，并且新建立的模型中目标函数将含有绝对值，本文称新的模型为偏差绝对值期望模型。然后，对模型进行简化。由于偏差绝对值期望模型的目标函数含有绝对值，不方便计算，所以对模型做适当的转化。将问题转化为线性规划问题再进行计算，这样将简化计算的复杂性，避免了通常所需的方差、协方差等数据，拥有计算量更少以及操作更为简便的优点，具有实际意义。其次，查找不同证券在不同时期的收益数据，并扩大数据维数。

【关键词】投资组合 风险度量 偏差绝对值期望 线性规划

一、模型的假设

根据题目要求，我们对均值绝对偏差模型做了如下几点假设：

（1）证券市场是信息流通的，每个投资者都可以获得所有流通的信息，并能够得知各种可能的收益率的概率分布情况；

（2）投资者在进行投资决策时往往只关注两个参数：即投资期望收益率和偏差绝对值期望。期望收益率反映了投资者对未来收益水平的衡量，而偏差绝对值期望反映的是投资者对风险的估计。

（3）投资者所追求的目标是：风险一定的情况下，收益率达到最高；当收益率一定的情况下，风险达到最小。投资者都是风险规避的。

二、模型的建立

偏差绝对值期望模型的风险定义为：

所以在均值方差模型的基础上，改变风险度量后建立的新模型为：

式中：R1，R2，…，Rn表示n中资产的收益率，x1，x2，…，xn表示对n种资产的投资比例，rp表示n种资产投资组合的预期收益率，μi表示投资者想在资产i中投资的最高比率（j=0，1，…，n），假设不允许卖空，xj≥O。

三、模型的转化

由于偏差绝对值期望模型的目标函数含有绝对值，在计算过程中很麻烦。所以对模型进行简化，将其转化为线性规划问题，进而对模型求解以及数值实现。

四、模型的求解

单纯形法是求解线性规划的基本方法，并且不管是大法、还是两阶段法，最终都是转换为基本单纯形法。单纯形法是由美国数学家丹兹格于1947年首先提出的，是公認的20世纪最伟大的算法之一。单纯形法的计算步骤：①首先确定一个初始基可行解。②计算非基变量的检验数。③基变换。当初始基可行解不是最优解并且不能判断它是无界的时候，就再找一个新的基可行解。④迭代（旋转运算）。