类岩石材料力学特性参数多元线性回归模型

林海飞，杨二豪，赵鹏翔，卓日升，赵 波

(1.西安科技大学 安全科学与工程学院，陕西 西安 710054；2.西安科技大学 西部矿井开采及灾害防治教育部重点实验室，陕西 西安 710054)

0 引 言

物理相似模型试验是研究各类工程地质问题的重要手段。相似材料是模型试验的关键环节，相似材料的选择、配比决定着模型试验材料的力学性质和相似程度，对模型试验的准确性和可靠性起着决定性作用[1-3]。抗压强度、弹性模量、容重是物理模型相似材料的关键力学特性参数，国内外学者针对此问题做过大量的研究。意大利模型与结构试验研究所(ISMES)和葡萄牙里斯本国立土木工程研究所(LNEC)针对大型水利工程较早开展了对高容重、低抗压强度的类岩石模型材料的研究[4]。Consoli等系统地研究了水泥含量、空隙率、水分含量等因素对类岩石材料强度的影响，认为空隙率与水泥含量之比可作为定量化评价类岩石材料强度的参数指标[5-7]。Razouki等基于类岩石材料在路基中的应用，探讨了水分对石膏胶结砂材料的强度和刚度的影响规律[8-9]。韩伯鲤等研制的MIB材料通过改变胶粘剂浓度和成型荷载调节相似材料的力学参数[10]。李仲奎等在NIOS相似材料的研制过程中发现，石膏和水泥作为胶结剂都可以较线性地调节相似材料的力学参数，且水泥的调节作用更加显著[11]。李术才等应用地质力学模型试验的流-固耦合相似理论，研制出一种由砂、重晶石粉、滑石粉、水泥、凡士林、硅油组成的新型流-固耦合相似材料(SCVO)，采用水泥和凡士林2种调节趋势相反的成分控制材料的力学参数[12]。张杰等研发了一种由砂、石蜡、大白粉组成的固-液耦合相似材料，以石蜡作为胶凝剂实现相似材料的非亲水性和稳定的变形性能[13]。李树刚等选用砂子为骨料，石蜡和油为胶结剂，研制出一种满足固-气耦合模拟试验抗压强度要求的相似材料，并将该材料应用于煤层开采的固气耦合物理模型试验[14]。王汉鹏等用煤粉作骨料，腐殖酸钠作胶结剂，制备了一种新型含瓦斯煤体相似材料，抗压强度与胶结剂浓度呈线性正相关关系[15]。

研究表明，相似材料的力学特性一般由内因、外因多重因素共同影响作用，且彼此存在着较复杂的耦合关系[16-18]。为此，论文开展了同时考虑配比变化、制作工艺等多重因素对类岩石相似材料力学特性参数变化的影响研究。采用正交试验方法，得到不同试验方案类岩石材料力学特性参数，对试验结果进行敏感性方差分析，挑选显著性因素进行多元线性回归分析，建立类岩石相似材料抗压强度、弹性模量、容重与显著因素的多元线性回归方程模型。

1 正交试验方案及结果

1.1 正交试验方案设计

地层沉积岩主要由颗粒物和胶结物组成，所以国内外学者通常以此为依据选取骨料和胶结物制作类岩石材料。河砂作为类岩石材料的骨料具有造价便宜、取材方便等优点，而水泥、石膏通过水化作用具有一定的强度和脆性，是大多数类岩石材料胶结剂的普遍选择[19-20]。因此，本试验选取陕西渭河天然河砂为骨料，325#硅酸盐水泥、雪花牌石膏为胶结剂制作类岩石材料。此外，正交试验法是采用正交表来研究多因素多水平的一种设计方法，具有简单、高效等特点，常用于多因素试验设计与分析[21]。此种方法将所要考察的结果称为指标，对指标有影响的变量称为因素，每个因素在试验中的具体条件称为水平。由于类岩石材料应用于物理模拟试验时，抗压强度、弹性模量、容重是其中重要的力学参数指标，对试验结果的准确性和可靠性影响显著，所以文中将抗压强度、弹性模量、容重选定为相似材料力学参数考察指标。相关研究表明，除胶结剂含量的影响因素外，骨料粒径和制模时冲击力、冲击次数也是影响类岩石材料力学参数指标的重要因素。为探讨各因素的影响程度，同时定量化表征类岩石材料的3个力学参数，选取5个影响因素：因素A(水泥含量)、因素B(石膏含量)、因素C(骨料粒径)、因素D(冲击力)、因素E(冲击次数)，每个因素设置5个水平，得到表1的正交试验因素水平设计。

表1 正交试验因素水平设计Tab.1 Orthogonal test factor level design

注：水泥含量和石膏含量是指水泥和石膏占骨料的质量百分比，骨料粒径为平均粒径。

1.2 试件制作方法

相似材料试件的制作采用西安科技大学自主研发的高频冲击仪完成。设备由300 t压力控制系统、1 t冲击控制系统及应力、位移传感器等组成，可完成各类材料力学参数测定试验与冲击试验。最大冲击荷载1 t，最短冲击时间0.3 s.以冲击方式制作试件相较于人工落锤方式大大提高了试件性能的稳定性与成型良率，制作工艺更加接近二维物理模拟试验台搭建过程。

试件制作过程如下

1)选用直径1，0.8，0.6，0.4，0.2 mm的多级组合筛，筛选出5种粒径的河砂备用；

2)依照表1方案称取相应质量的砂、水泥、石膏；

3)将骨料河砂倒入搅拌皿中，依次倒入水泥、石膏、和水，搅拌均匀；

4)搅拌均匀的相似材料装入双开模具，如图1(a)所示；

5)运用高频冲击仪，按试验方案的压力和次数制作试件，如图1(b)所示；

6)将试件脱模，在室温23 ℃左右的条件下自然养护7 d.

为使材料性能更加稳定，容易脱模，确定每种配比的加水量为固体材料总质量的1/9.试件样品在同一时期制作且养护周期完成后立即进行试验，排除时间效应的影响。类岩石材料试件为φ50 mm×100 mm的标准圆柱体试件，如图1(c)所示。

图1 类岩石材料的制作Fig.1 Preparation of rock-like materials samples

1.3 试件力学性能参数测试方法

相似材料试件的抗压强度及弹性模量测定试验在DYD-10万能材料试验机上完成，如图2所示。试验机由显示及加载控制器、微调手柄和1t伺服压力加载系统共同构成。参数测定试验开始前，试件依次进行称重、量高。单轴压缩试验采用位移控制静态加载，加载速度0.1 mm/min；荷载加载到5 N时开始记录数据，以减小端面误差；当抗压强度衰减到峰值强度60%时，试验结束。

图2 单轴压缩试验Fig.2 Uniaxial compression test

1.4 正交试验结果

试验考虑5因素5水平影响，采用SPSS(Statistical Package for the Social Science)软件中数据(Data)子菜单正交设计(Orthogonal Design)功能完成L25(55)正交试验方案，最终正交试验结果和抗压强度结果见表2.类岩石材料抗压强度变化范围0.132～0.845 MPa，弹性模量变化范围14.297～80.882 MPa，容重变化范围14.963～17.238 kN/m3.

表2 正交试验结果Tab.2 Orthogonal test results

2 多因素对相似材料力学特性的影响

2.1 多因素对相似材料力学特性的敏感性分析

方差分析的显著性检验不仅可以得到各因素对参数指标的敏感性大小，还能够对影响因素的显著程度进行精确和科学的定量化描述。所以选取显著性水平α= 0.05对表2中的力学特性参数测定结果应用方差分析研究各因素对力学参数的显著性见表3～5.

由表3～5可以得出

1)各因素对抗压强度的敏感性排序为：水泥含量(A)>石膏含量(B)>骨料粒径(C)>冲击力(D)>冲击次数(E)；各因素对弹性模量的敏感性排序为：水泥含量(A)> 骨料粒径(C)>石膏含量(B)>冲击力(D)>冲击次数(E)；各因素对容重的敏感性排序为：冲击力(D)>水泥含量(A)> 骨料粒径(C)>冲击次数(E)>石膏含量(B)；

2)水泥含量对抗压强度和弹性模量的影响非常显著，对容重的影响不显著；石膏含量对抗压强度的影响非常显著，对弹性模量的影响显著，对容重的影响不显著；骨料粒径对抗压强度和弹性模量的影响显著，对容重的影响不显著；冲击力对抗压强度和容重的影响显著，对弹性模量的影响不显著；冲击次数对3个力学参数的影响皆不显著；

3)根据方差理论，显著性因素强的因素应优先考虑，而不显著的因素可以在任意水平上选择。所以，在相似材料制作时，应优先考虑前4种因素的影响，可以暂不考虑冲击次数因素的影响。

表3 抗压强度方差分析Tab.3 Variance analysis of compressive strength

表4 弹性模量方差分析Tab.4 Variance analysis of elastic modulus

表5 容重方差分析Tab.5 Variance analysis of unit weight

2.2 多因素对相似材料力学特性的影响规律

为更加直观分析各因素对相似材料抗压强度的影响，根据表2做出影响因素直观分析图，如图3所示。

从图3中可以看出，试件的抗压强度与水泥含量线性相关，随着水泥含量的增大而增大，可较大范围调节试件的抗压强度(图3(a))；抗压强度与石膏含量呈近似线性相关关系，抗压强度随着石膏含量的增加而增大，但对抗压强度的调节范围相对水泥较小，这与方差分析的结果相吻合(图3(b))；抗压强度与骨料粒径呈负线性相关关系，这

图3 各因素与力学参数的关系Fig.3 Relationship between factors and mechanical parameters

是因为随着河砂平均粒径变大，骨料颗粒间的缝隙变大，相互接触面积减小，导致胶结剂的胶结作用变弱(图3(c))；抗压强度随着制模冲击压力的增大而增大，但调节范围最小，这说明在制模压力改变了相似材料试件的密度，密度越大骨料颗粒接触越紧密，胶结作用越强(图3(d))。水泥含量、石膏含量、骨料粒径、冲击力四者与弹性模量皆呈线性关系，其中前三者与弹性模量之间的线性程度较高，冲击力的线性程度次之。弹性模量随着水泥含量、石膏含量、冲击力的增大而增大，随着骨料粒径的减小而减小。容重与水泥含量和冲击力线性关系程度较高，并随着两者的增大而增大。

3 相似材料力学特性多元线性回归模型

3.1 多元线性回归原理及回归模型的确定

设多元线性回归模型自变量xi与因变量y的方程如下

(1)

其中a0，a1，…，am为回归方程系数，将试验测试结果yi(i=1，2，…，n)代入方程(1)，残差平方和可以表示为

(2)

运用最小二乘法，Q取极小值时，方程(2)应满足下如下关系

(3)

通过方程(3)计算结果，得到如下线性方程组

(4)

对方程(4)作等价代换，代换关系式如方程(5)～(8)

(5)

(6)

(7)

(8)

则方程(4)最终化简为

(9)

解线性方程组(9)，得到回归方程系数a0，a1，…，am，回代至方程(1)得到最终多元线性回归模型。

结合方差分析结果，在线性回归分析中优先考虑显著因素的影响，从而确定构建抗压强度yσ(MPa)、弹性模量yE(MPa)、容重yγ(kN/m3)的回归模型如下

(10)

其中aij(i=σ，E，γ；j=1，2，3，4)为模型回归系数；x1(%)为水泥含量；x2(%)为石膏含量；x3(mm)为骨料粒径；x4(t)为冲击力。

3.2 多元线性回归模型条件判定

在计算回归方程之前，首先要确定合适的回归模型并对多元线性模型进行检验，构建的模型是否满足线性趋势、变量独立性、残差正态性、残差方差齐性。

1)线性回归的前提条件是自变量与因变量要存在线性关系。由图3可知，水泥含量、石膏含量、骨料粒径、冲击力4个因素与抗压强度和弹性模量均呈线性关系；而与容重呈线性关系的有水泥含量和冲击力2个因素，满足自变量与因变量线性趋势关系的要求。

表6 力学参数影响因素共线性分析Tab.6 Collinearity analysis of influential factorson mechanical parameters

2)回归模型共线性诊断分析结果见表6，要考察的3个力学特性参数的各维数特征根均大于0且条件索引均小于10，可认为各因素之间相对独立，不存在多重共线性；

3)图4(a)～(c)所示为回归模型的标准化残差直方图，从中可以看到回归值与实验值的标准化残差值大致符合正太分布。在图5(a)～(c)中各回归模型的标准化残差散点图中，残差均匀的分散在0两侧，并且没有明显的规律性，说明标准残差结果满足方差齐性。

图4 回归模型标准化残差直方图Fig.4 Standardized residual histogram of regression model

图5 回归模型标准化残差散点图Fig.5 Standardized residual scatter diagram of regression model

综上所述，构建的抗压强度、弹性模量、容重的多元线性回归模型符合多元线性回归分析的前提条件。

3.3 多元线性回归模型及检验

运用SPSS多元线性回归分析，代入正交试验结果，得到类岩石材料力学特性的多元线性回归模型方程

(11)

其中，抗压强度回归方程确定系数R2=0.951，弹性模量回归方程确定系数R2=0.921，容重回归方程确定系数R2=0.622，说明各方程都可以解释大多数试验结果。表7所示为模型显著性分析结果，各模型方程显著性水平均在0.05以上，说明回归模型方程有效且可行。多元线性方程较复杂函数模型在工程应用中更加简单便捷、可操作性高。

正交试验各因素条件回代线性模型方程(2)得到抗压强度、弹性模量、容重的回归值yr，与表2正交试验结果值yt相比较考察模型误差大小。根据公式(3)计算得到残差百分比如图6所示。

表7 模型显著性分析Tab.7 Model significance analysis

(12)

图6 模型残差百分比Fig.6 Residual percentage of model

从图6中可以看出，除去试验号1，12，16，18，21这5个试件，其余的20个试件的抗压强度回归结果残差值百分比都小于15%；弹性模量除去试验号11，16，22，23，24，其余结果残差值百分比都小于20%；容重结果残差值均小于5%.试验模型基于方差理论和多元线性回归理论建立，主要考虑线性显著因素的影响作用，未纳入方程考虑范围的因素将引起一定误差。但模型误差精度满足模型试验精度要求，回归模型可应用于类岩石材料力学特性参数的预测。

4 结 论

1)得到类岩石材料多重影响因素对力学特性参数抗压强度、弹性模量、容重的敏感性顺序及显著程度。其中，水泥含量、石膏含量、骨料粒径和冲击力对抗压强度的影响显著，水泥含量、石膏含量和骨料粒径对弹性模量的影响显著，冲击力对容重的影响显著；

2)类岩石材料的抗压强度随着水泥含量、石膏含量、冲击压力的增加而增大，与骨料粒径呈负线性相关关系。弹性模量与水泥含量、石膏含量、冲击压力呈正线性关系，与骨料粒径呈负线性相关关系。容重变化主要受冲击压力影响，随冲击力的增加而增大；

3)通过多元线性回归分析得到类岩石材料的力学特性参数多元线性回归模型显著性高，可以在一定范围内用来预测不同配比和制作工艺条件下类岩石材料的力学特性参数。

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