例谈排列组合中的典型问题与方法

■广东省兴宁市第一中学 蓝云波 刘宇峰

排列组合是高考的热点,也是学好概率的基础。以排列组合为考点的考题融知识性、方法性、应用性、趣味性于一体,且题型新颖、方法灵活,因此不少同学感到困难。基于此,下面从题型与方法入手,通过典型例题总结出求解排列组合问题的常见解题方法和策略,以帮助同学们提高学习效率,达到举一反三的效果。

一、两个计数原理的运用

分类加法计数原理是每类做法中的每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是独立的。分步乘法计数原理是每步中的某一种方法只是完成这件事的一部分,而未完成这件事,步与步之间是相关联的。

例1 (1)现有4种不同颜色的染料,给如图1的4个不同区域染色,每个区域只染1种颜色,相邻区域染不同的颜色,不同颜色可重复使用,则共有 种不同的染色方法。(用数字作答)

(2)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊5个人玩抢红包游戏,现有4个红包,每人最多抢1个,且红包被全部抢完,4个红包中有2个2元,1个3元,1个4元(红包中金额相同视为相同红包),则甲、乙都抢到红包的情况有 种。

图1

解析:(1)第一类:只用2种色(即中间三角形染一种颜色,另外三个弓形染同一种颜色),有A24种方法;第二类:用3种色(中间一种颜色,另三个弓形有两个染同一种颜色,余下一个染第3种颜色),有种方法;第三类:用4种色,有种方法。

故共有=108(种)方法。

(2)当甲、乙都抢到2元时,有=6(种)方法;当甲、乙抢到2元和3元时,有=12(种)方法;当甲、乙抢到2元和4元时,有=12(种)方法;当甲、乙抢到3元和4元时,有=6(种)方法。故甲、乙都抢到红包的情况有6+12+12+6=36(种)。

点评:合理分类与准确分步是运用计数原理正确解答排列组合问题的第一步。在解决含有约束条件的排列组合问题时,应该按照元素性质有计划地分类,按事情发生的过程分步。

【变式训练1】(1)将4本完全相同的小说,1本诗集全部分给4名同学,每名同学至少1本书,则不同分法有( )。

A.24种 B.28种

C.32种 D.16种

(2)某大学的8名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名,分乘甲、乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有( )。

A.24种 B.18种

C.48种 D.36种

解析:(1)由题意得,每名同学至少1本书,可分为两类方法:第一类是每名同学先各分得1本小说,再把1本诗集分给其中一名同学,共有C14=4(种)分法;第二类是把诗集单独分给一名同学,2本相同的小说分给另一名同学,共有A24=12(种)分法,此时共有4+12=16(种)分法,故选D。

(2)分类讨论,有两种情形:①孪生姐妹乘坐甲车 ,则=12;②孪生姐妹不乘坐甲车,则=12。因此,共有12+12=24(种)坐法。故选A。

二、特殊位置（元素）优先法

特殊位置或元素优先法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其他元素。若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置。若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。

例2 (1)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( )。

A.24 B.48 C.60 D.72

(2)6位互联网大咖参加在乌镇举办的第二届世界互联网大会时从左至右排成一排合影留念,若最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有____种。

解析:(1)由题意知,要组成没有重复的五位奇数,则个位数应该为1、3、5中之一,其他4个位置随便排共A44种可能,所以奇数的个数为3A44=72,故选D。

(2)由于甲和乙比较特殊,故可优先排甲和乙,依题意可分成两类:甲在最左端或乙在最左端。第一类甲在最左端,有A55=120(种)排法;第二类乙在最左端,有=96(种)排法,所以共有120+96=216(种)排法。

点评:对于有附加条件的排列组合问题,一般优先考虑特殊的元素或位置。针对元素的特殊位置进行分析,需要条理清晰,并考虑周全。

【变式训练2】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有( )。

A.144个 B.120个

C.96个 D.72个

解析:万位不能为0,位置比较特殊,故可先排万位,根据题意知万位上只能排4或5。若万位上排4,则有2×A34个偶数;若万位上排5,则有3×A34个偶数。所以共有2×A34+3×A34=120(个)偶数,故选B。

三、正难则反间接法

有些排列组合问题,正面考虑比较复杂,而它的反面比较简捷,可先求出它的反面,再从整体中淘汰。

例3 (1)甲乙两人从4门课程中各选修2门,则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )。

A.30种 B.36种

C.60种 D.72种

(2)安排甲、乙、丙、丁4位教师参加星期一至星期六的值日工作,每天安排1人,甲、乙、丙每人安排1天,丁安排3天,并且丁至少要有2天连续安排,则不同的安排方法种数为( )。

A.72 B.96 C.120 D.156

解析:(1)因为甲乙两人从4门课程中各选修2门,有种选法,其中甲乙所选的课程完全相同的选法有种,所以甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有=30(种),故选A。

(2)可用间接法,若甲、乙、丙每人安排1天,丁安排3天,有=120(种)安排方法;若甲、乙、丙每人安排1天,丁安排3天,并且丁3天值日且没有连续值日的安排种数为=24。则不同的安排方法种数为120-24=96,故选B。

点评:辩证思维就是正难则反,变静为动,从而化难为易。如果不符合条件的元素较少而且较易选出来,宜采用间接法。

【变式训练3】(1)在报名的5名男生和4名女生中,选取5人参加志愿者服务,要求男生、女生都有,则不同的选取方式的种数为____。(结果用数值表示)

(2)学校计划利用周五下午第一、第二、第三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座,每科一节课,每节至少有一科,且数学、理综不安排在同一节,则不同的安排方法共有( )

A.36种 B.30种

C.24种 D.6种

解析:(1)从这报名的5名男生和4名女生中,选取5人参加志愿者服务共有C59=126(种)方法,这些方法中只有男生的选取方法种数为=1。因为女生只有4名,所以不可能选取的学生都是女生。故在报名的5名男生和4名女生中,选取5人参加志愿者服务,要求男生、女生都有,不同的选取方式的种数为126-1=125。

(2)由于每科一节课,每节至少有一科,必有2科在同一节,先从4个中任选2个看作整体,然后做3个元素的全排列,共=36(种)方法,再从中排除数学、理综安排在同一节的情形,共A33=6(种)方法,故总方法数为36-6=30,故选B。

四、相邻问题捆绑法

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法解答,即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其他元素一起进行排列,同时注意合并元素内部也必须排列。

例4 (1)甲、乙、丙、丁、戊5位同学站成一排照相留念,则在甲、乙相邻的条件下,甲、丙也相邻的概率为( )。

(2)含有甲、乙、丙的6位同学站成一排,则甲、乙相邻且甲、丙2人中间恰有2人的站法的种数为( )。

A.72 B.60 C.32 D.24

解析:(1)5位同学站成一排,甲、乙相邻排法共有=48(种),而在甲、乙相邻的条件下,甲、丙也相邻的排法共有=12(种),所以在甲、乙相邻的条件下,甲、丙也相

(2)由题知关于甲、乙、丙3人的相对位置共有以下四类站法:乙甲**丙,丙**甲乙,甲乙*丙,丙*乙甲,前两类在排好这5人后可看作一个整体和剩余1人进行排列,均有种方法,后两类在排好这4人后可看作一个整体和剩余2人进行排列,均有种方法,所以共有=60(种)方法,故选B。

点评:对于相同类别不可分开的,要先进行捆绑。处理此类问题时一般遵循“先整体,后局部”的原则。

【变式训练4】(1)甲、乙、丙等5人在参加阅兵庆典后,在天安门广场排成一排拍照留念,甲和乙必须相邻的排法有( )种。

A.24 B.48 C.72 D.120

(2)从字母a,b,c,d,e,f中选出4个排成一列,其中一定要选出a和b,并且必须相邻(a在b的前面),共有( )排列方法。

A.36种 B.72种

C.90种 D.144种

解析:(1)先排甲、乙,共有=2(种)方法,再把甲、乙作为一个整体看成一个元素,与其余3人进行排列,共有=24(种)方法。

故共有2×24=48(种)排法,选B。

(2)分两步进行:第一步从c,d,e,f中任选2个,有种不同的方法;第二步再将选出的2个字母和a,b排成一列,a,b必须相邻,有种不同的方法。共有=36(种)不同的方法,故选A。

五、不相邻问题插空法

在排序问题中,经常涉及某些元素不相邻问题。解决这类问题,可先将其他元素排好,再将不相邻元素插空到已排好的元素中。

例5 (1)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙2人至少有1人参加,当甲、乙同时参加时,他们两人的发言顺序不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为 ( )。

A.360 B.520 C.600 D.720

(2)在高三某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生,如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排第一个,那么出场顺序的排法种数为____。

解析:(1)甲、乙2人只有1人参加,有=480(种)情况,甲、乙2人都参加可用插空法,有=120(种)方法,共480+120=600(种)方法,选C。

(2)2位男生不能连续出场的排法种数为=72,其中2位男生不能连续出场且女生甲排第一个的排法种数为=12,则2位男生不能连续出场且女生甲不能排第一个的排法种数为72-12=60。

点评:从解题过程可以看出,不相邻问题是指要求某些元素不能相邻,由其他元素将其隔开,此类问题可以先将其他元素排好,再将特殊元素插入。

【变式训练5】(1)某滨海城市原计划沿一条滨海大道修建7个海边主题公园,现在由于资金的原因,打算减少2个海边主题公园,若两端的海边主题公园不在调整计划之列,相邻的两个海边主题公园不能同时调整,则调整方案的种数是( )。

A.12 B.8 C.6 D.4

(2)高三某班课外演讲小组有4位男生,3位女生,从中选拔出3位男生和2位女生,然后5人在班内逐个进行演讲,则2位女生不连续演讲的方式有( )。

A.864种 B.432种

C.288种 D.144种

解析:(1)从7个海边主题公园中抽走2个与在5个空中插入2个是等价的,故本题可转化为在原有5个海边主题公园的基础上插入2个海边主题公园,要求不能插在两端,也不能把两个海边主题公园同时插入一处,也就是在5个海边主题公园的4个空中选2个插入,则方法有=6(种),选C。

(2)从该班课外演讲小组中选出3位男生,2位女生,共有=12(种)方法,所选的5人先确定3位男生的顺序,共有=6(种)方法,3位男生可形成4个空位,可选出2个空位确定这2位女生的顺序,共有=12(种)方法,因此,共有12×6×12=864(种)方法,选A。

六、选排混合先选后排法

排列问题与组合问题混在一起时,应先用组合公式将符合题意元素选出,再应用排列公式进行排列。

例6 (1)从6名女生中选4人参加4×100米接力赛,要求甲、乙2人至少有1人参赛,如果甲、乙2人同时参赛,她们的接力顺序就不能相邻,不同的排法种数为( )。

A.144 B.192 C.228 D.264

(2)某班要从A,B,C,D,E5人中选出3人担任班委中三种不同的职务,则上届任职的A,B,C3人都不连任原职务的方法种数为( )。

A.30 B.32 C.36 D.48

解析:(1)若甲、乙只有1人参赛则有=192(种)排法。若甲、乙都参赛,则=72(种)排法。因此,共有192+72=264(种)排法,选D。

(2)共5人,从中选出3人担任职务,则A,B,C3人至少选中1人,应分三种情况。第一种情况,A,B,C3人都入选,A有2种选择,余下的B和C只有1种选择,方法共=2(种)。第二种情况,A,B,C3人只有2人入选,假如选中A,B,先安排A,若A安排的是B原来的职务,则剩余2人随意安排;若A安排的是C原来的职务,则B只有1种安排方法,因此共有+1)=18(种)方法。第三种情况,A,B,C3人只有1人入选,则D,E必选中,假如选中A,先安排A,有2种选择,剩下的2人D,E随意安排,共有=12(种)方法。所以共有2+18+12=32(种)方法,故选B。

点评:从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定位置上,可用先选后排的方法。解决这类问题需要同学们不但有扎实的基本功,还要有分析问题和解决问题的能力。

【变式训练6】某校从8名教师中选派4名教师去4个边远地区支教,每地1人,其中甲和乙不能同去,甲与丙同去或者同不去,则不同的选派方案有____种。(用数字作答)

解析:分甲去和甲不去两类。若甲去,则丙同去,乙不能去,故有=10(种)选法,再安排到四个边远地区有=24(种)方法,所以甲去有10×24=240(种)方法;若甲不去,则丙不去,故有=15(种)方法,再安排到四个边远山区有=24(种)方法,所以甲不去有15×24=360(种)方法。

因此,共有240+360=600(种)不同的方法。

七、先分组再排列问题

例7 (1)某高校安排5名大学生到4个单位实习,每名大学生去一个单位,每个单位至少安排1名大学生,则不同的安排方法的种数为____。(用数字作答)

(2)某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲,乙,丙三所高校的自主招生考试,每人限报一所高校,若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考,那么这5名同学不同的报考方法种数共有( )。

A.144种 B.150种

C.196种 D.256种

点评:求解这类问题要注意是平均分组还是平均分组分配,还是部分平均分组,特别要关注是否有重复。

【变式训练7】数学活动小组由12名同学组成,现将这12名同学平均分成4组分别研究4个不同课题,且每组只研究一个课题,并要求每组选出1名组长,则不同的分配方案有( )种。

解析:第一步将12名同学平均分成4组种方法,每组有3人,第二步将这4组分配到4个不同的课题组有A44种方法,第三步每个组选出1名组长有3×3×3×3=34(种)方法,所以共有)不同的分配方案,选B。

八、元素相同隔板法

元素相同的 “至少”类型问题,是一类较为常见的题型,具有一般规律,总结如下:将其转化为“至少1个”的问题,即将n个相同元素分成m份(n≥m,m、n为正整数),每份至少1个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中。

例8 (1)将7个相同的球放入4个不同的盒子中,则每个盒子都有球的放法种数为( )。

A.22 B.25 C.20 D.48

(2)将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是____。

解析:(1)将7个相同的球放入4个不同的盒子,即把7个球分成4组。因为要求每个盒子都有球,所以每个盒子至少放1个球,不妨将7个球摆成一排,中间形成6个空,只需在这6个空中插入3个隔板将它们隔开,即分成4组,不同的插入方法共有C36=20(种),故选C。

(2)将5张券排成一排,插入3块隔板,这样确保分成4份并且有2张券连号,则一共有C34种分法,再考虑将这4份分给4个人,则一共有C34A44=96(种)方法。

点评:本例(1)是使用隔板法的基本题型,对于 “至少”的问题利用隔板来构造模型较为方便。本例(2)中5张券分给4人,1人得连号,那么用3个隔板分成4份就可以实现,同时再对4份全排列,本例的参观券虽是不同的,但在分组的时候可看成相同的以便于分组,故可用隔板法。所以对于较复杂的排列问题可以通过设计另一种情境,构造隔板模型解决问题。

【变式训练8】有10个三好学生名额,分配给高三年级7个班,每班至少1名,则不同的分配方案种数为____。(用数字作答)

解析:因为10个名额没有差别,把它们排成一排,相邻名额之间形成9个空。在9个空中选6个位置插6个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插隔板方法对应一种分配方法,所以共有C69=84(种)方法。